2025-2026学年江苏省镇江市句容碧桂园学校高一下册期中测试数学试题 含解析

/数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.化简(

)A. B. C. D.2.设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.3.如图，在平行四边形中，E为的中点，则（）A. B. C. D.4.计算的结果等于（）A. B. C. D.5.在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（）A. B. C. D.6.在中，已知，则（）A.120° B.或 C.60° D.或7.（）A.-2 B.-1 C.1 D.28.如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（）A.当时，矩形为正方形 B.当时，C.面积的最大值为 D.矩形面积的最大值为二、多选题（每小题6分，共18分）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.11.如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（）A.B.C.满足的实数与的和为定值4D.的最大值为三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知，，且与的夹角为，则________．13.函数的最小正周期是___________.14.在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.四、解答题（第15题13分，第16，17题每题15分，第18，19题每题17分，共77分）15.已知复数，.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）若是关于的方程的一个根，求的值.16.已知平面向量，，，且，（1）求在方向上的投影向量；（2）求与的夹角．17.（1）已知，，是第三象限角，求的值．（2）已知，，求的值；18.在中，为角所对的三边，且满足.（1）求角的大小；（2）求边的长；（3）求的值.19.“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）已知，点为的费马点.①若，记，求；②若为锐角三角形，求的取值范围.

数学一、单选题（每小题5分，共40分）1.化简(

)A. B. C. D.答案：D解析：解答过程.2.设复数（i为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：由题意得，故3.如图，在平行四边形中，E为的中点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：E为的中点，，是平行四边形，，.4.计算的结果等于（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：逆用两角差的正弦展开公式求解即可.解答过程.5.在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：在中，大边对大角，最大，故角为最大角.由余弦定理得.代入,,，.6.在中，已知，则（）A.120° B.或 C.60° D.或答案：D解析：解答过程：由正弦定理，所以，又，所以所以或．7.（）A.-2 B.-1 C.1 D.2答案：B解析：思路：根据诱导公式、同角三角函数的关系、两角差的正弦公式等，化简计算，即可得答案.解答过程：原式.8.如图，在扇形中，半径，圆心角，是弧上的动点，矩形内接于扇形，下列说法正确的是（）A.当时，矩形为正方形 B.当时，C.面积的最大值为 D.矩形面积的最大值为答案：D解析：思路：结合图形，利用三角函数的定义求出相关边长可判断A项；对于B，C，D项，通过表示出相关边长，利用二倍角公式，三角恒等变换进行化简，将其化成正弦型函数，利用正弦函数的图象性质即可求出最值.解答过程：对于A，，，则，，，则，故A错误；对于B，当时，，，，则，故B错误；对于C，由B项已得，，因，则，故当，即时，取得最大值为，故C错误；对于D，由B项已得，，则，因，则，故当，即时，取得最大值为，故D正确.故选：D.二、多选题（每小题6分，共18分）9.下列等式成立的是（）A. B.C. D.答案：ACD解析：解答过程：对于A，，正确；对于B，，错误；对于C，，正确；对于D，，正确.10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.的面积为C. D.答案：AB解析：思路：由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可.解答过程：对于A，根据余弦定理，得，因此，故A正确；对于B，根据三角形面积公式，可得，故B正确；对于C，根据正弦定理，，可得，故C不正确；对于D，因为，所以，故D不正确．故选：AB.11.如图，是半径为1的圆O的两条不同的直径，，则（）A.B.C.满足的实数与的和为定值4D.的最大值为答案：BCD解析：思路：根据可直接判断A；建立坐标系，根据数量积的坐标运算可判断B；根据O，C，D三点共线的向量表示可判断C；根据向量的夹角公式求出的表达式，再结合三角函数的范围可求出的范围，进而可求的范围.解答过程：由题意知，，，，，故A错误；以O为原点，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，根据对称性，不妨取C在x轴上方，设，则，则，，，故B正确；，，O，C，D三点共线，，即，故C正确；，，，，，，，，，即，又，，的最大值为，故D正确.三、填空题（每小题5分，共15分）12.已知，，且与的夹角为，则________．答案：解析：解答过程：由题设.13.函数的最小正周期是___________.答案：解析：思路：根据恒等变换得，再求最小正周期即可.解答过程：由题意知，所以函数的最小正周期是14.在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________.答案：解析：思路：应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求.解答过程：由题设，即（负数舍去），又外接圆的半径，要使四边形的面积最大，只需的面积最大，由到的距离，则中边上的最大高为，所以最大.四、解答题（第15题13分，第16，17题每题15分，第18，19题每题17分，共77分）15.已知复数，.（1）若复数是纯虚数，求的值；（2）若是关于的方程的一个根，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）先进行复数的除法运算，再根据纯虚数的概念求得m的值；（2）将复数代入方程中，结合复数相等求出p，q的值.（1）由题意可知：，因为z是纯虚数，则，解得.（2）因为是关于的方程的一个根，则，整理得，则，解得，，所以.16.已知平面向量，，，且，（1）求在方向上的投影向量；（2）求与的夹角．答案：（1）（2）解析：（1），，因为，所以，解得，即，，因为，所以，即，解得，即，，因此在上的投影数量为，所以在上的投影向量为.（2），，设与的夹角为，，因为，所以解得.17.（1）已知，，是第三象限角，求的值．（2）已知，，求的值；答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角和的余弦公式，求出结果即可；（2）根据同角三角函数关系，求出，再根据两角差的正弦公式，求出结果即可；解答过程：（1）因，，则；又因，是第三象限角，则．故．（2)，，，因，则，所以；18.在中，为角所对的三边，且满足.（1）求角的大小；（2）求边的长；（3）求的值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由正弦定理及同角三角函数关系，结合题意可得，从而求得；（2）由（1）的结论及余弦定理可得；（3）结合（2）的结论由余弦定理的推论可得.（1）由正弦定理，得.又，∴，∴.∵，∴.（2）∵，.∴由余弦定理得，∴.（3）∵，∴.19.“平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十七世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法：当的三个内角均小于时，满足的点O为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.请用上述知识解决下面的问题：在中，角所对的边分别为，且.（1）求；（2）已知，点为的费马点.①若，记，求；②若为锐角三角形，求的取值范围.答案：（1）（2）①；②解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得；（2）①利用正弦定理可计算出，再分别在、中，使用正弦定理并作商即可得；②结合费马点定义可得，再利用等面积法计算可得，再利用正弦定理可用表示，结合