2025-2026学年湖北楚天协作体高一下册4月期中考试数学试题 含解析

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知，那么（）A. B. C. D.4.在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（）A. B. C. D.5.为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（）A.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位C.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位D.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位6.在中，向量与满足，且，则为（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰非等边三角形7.如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（）A.3 B. C.4 D.8.已知函数在上存在最值，且是单调递增区间的子集，则满足条件的正整数的取值为（）A.3 B.4 C.3或4 D.4或5二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.的最小值为D.若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是10.函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的零点为−π6C.若实数满足fx1−D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为11.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（）A.的大小是B.的取值范围是C.若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为D.若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．13.已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则__________.14.在中，AB=2,BC=4,∠ABC=23π,D四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.（1）若，求的值；（2）若，求的大小.16.如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间；（2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？17.在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若，当的周长最小时，求的值.18.已知向量，函数.（1）求的最小正周期；（2）设函数满足.当时，函数与的图象有两个交点，求的取值范围；（3）当时，求函数的最大值.19.如图，设，且，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系.在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设分别为，正方向同向的单位向量，若向量，记向量在的斜坐标系中.（1）若向量，求；（2）已知向量，证明：；（3）若向量的斜坐标分别为和，，设函数，，求不等式的解集.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：B解析：思路：根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的几何意义，即可求解.解答过程：由复数，可得复数在复平面对应的点为位于第二象限.2.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：解答过程：由，得，解得或，则“”是“”的充分不必要条件.3.已知，那么（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：借助辅助角公式可得，再利用诱导公式整体代换计算即可得.解答过程：，则，则.4.在平行四边形ABCD中，是BC上的点，且交BD于，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据三角形相似计算出与的关系，再利用和表示出向量即可.解答过程：在平行四边形中有，因为，所以，所以.5.为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（）A.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位B.每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位C.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位D.每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位答案：B解析：解答过程：将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到，再向右平移个单位，得到.6.在中，向量与满足，且，则为（）A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰非等边三角形答案：D解析：思路：由方向向量和向量垂直可得的角平分线与边垂直，再根据数量积定义和三角形内角和定理判断三角形形状即可.解答过程：、分别是、方向的单位向量，两个单位向量的和方向为的角平分线方向，由条件，可知的角平分线与边垂直，因此，为等腰三角形.由向量数量积的定义，可得：是三角形内角，即，因此.结合得，可得，三个内角不全相等，故是等腰非等边三角形.7.如图，在中，M，N分别是AB，AC的中点，D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为（）A.3 B. C.4 D.答案：C解析：思路：根据平面向量共线定理可设，知；根据分别为的中点，可得到，由此求得；根据，利用基本不等式可求得最小值.解答过程：四点共线，可设，其中，，分别是的中点，，，，，，，是线段上两个动点，，，，当且仅当，结合，，即时取等号，的最小值为.8.已知函数在上存在最值，且是单调递增区间的子集，则满足条件的正整数的取值为（）A.3 B.4 C.3或4 D.4或5答案：A解析：思路：根据辅助角公式化简，确定ωx−π6解答过程：由辅助角公式，其中，知f(x)=由于，所以ωx∈0,ωπ4由于有单调递增区间，所以−π2+2kπ≤当时，x∈−π3ω,当时，x∈5π3ω,，代入，又，得3x−π6∈−故的值只能取3.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知向量，则（）A.若，则B.若，则C.的最小值为D.若向量与向量的夹角为锐角，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：选项A，结合向量坐标运算和向量相等求解；选项B，利用垂直向量的数量积和向量坐标运算列方程求解；选项C，将转化为关于的二次函数形式，再利用二次函数求最值；选项D，结合向量坐标运算计算与的坐标，再分别根据数量积大于0、不共线的条件列不等式，求解的取值范围.解答过程：选项A，计算，因此，A正确；选项B，，因为，所以，B正确；选项C，由，可得，这是开口向上的二次函数，时，取得最小值为，因此的最小值为，C错误；选项D，，，由夹角为锐角可得：若，反向共线，不满足夹角为锐角（不影响范围），所以范围是，D正确.10.函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的零点为C.若实数满足，则D.若在区间上的值域为，则实数的取值范围为答案：ACD解析：思路：根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断选项即可得出结论.解答过程：由函数的图象可知，，34T=7π12由，解得φ=−2因为，所以，fx=4sin对于B，令2x−2对于C，若实数满足，则分别取得最大值和最小值，必为半周期的整数倍，所以x1−对于D，x∈2π3,所以，解得，即实数的取值范围为13π12,311.已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列选项正确的是（）A.的大小是B.的取值范围是C.若是BC边上的一点，且，则的面积的最大值为D.若三角形ABC是锐角三角形，AE平分交BC于点，则的取值范围是答案：ABD解析：思路：利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出判断A；利用和差角的正弦公式化简，结合正弦函数性质判断B；利用数量积的运算律及基本不等式求出最大值，进而求出三角形的面积最大值判断C；利用三角形面积公式及差角的正弦公式变形，再利用正切函数的性质求出范围判断D.解答过程：在中，由及正弦定理，得，整理得，对于A，由余弦定理得，而，则，A正确；对于B，由选项A，得，令，则，，由，得，因此，，B正确；对于C，由，得，即，两边平方得，则，即，当且仅当时取等号，的面积，C错误；对于D，由选项A及为锐角三角形，得，则，由是内角的平分线，得，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为______．答案：解析：思路：本题可先根据向量垂直的性质求出的值，再根据投影向量的计算公式求出在上的投影向量的坐标.解答过程：已知，则.因为，根据向量垂直的性质可知，即.将代入上式可得，即，解得.

根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.将，，代入可得：.

故答案为.13.已知函数的部分图象如图所示，若存在，满足，则__________.答案：解析：思路：本题主要考查正弦型函数的综合应用，先根据图像确定，的值，从而得出函数的表达式.由正弦函数的对称性，将表示成的式子，再结合诱导公式，最后求出的值.解答过程：解：由图可知，则，又，所以，所以，又f7π12=0因此，，又，所以，当时，，此时；当时，，f(x)=又由图可知当时，f5π6=−1sin2×所以函数.当，则，所以，由正弦函数的对称性，，可得，且sin2所以cosx设，则，即，所以cosx14.在中，在边所在直线上，且满足，，则______.答案：解析：思路：利用正弦，余弦定理及二倍角公式化简整理，最后解直角三角形即可．解答过程：如图，由余弦定理得AC所以，因为，所以AD=72在中，由正弦定理得BCsinA=ACsin2π3在中，由余弦定理得DB2​因此得BD=72=AD所以tan∠在中，BD=7所以BE=四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，、分别是的边、上的点，且，，交于.（1）若，求的值；（2）若，求的大小.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助平面向量线性运算可用、表示、，再利用平面向量共线定理，可设，，则可借助与、及与、表示出，再利用平面向量基本定理即可得解；（2）借助平面向量夹角公式及模长与数量积关系计算即可得.（1）由，，则，，设，，则，，故3m4=n2由，即，，故；（2）由（1）知，，故，故.16.如图，某公园新建摩天轮，其半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，每15min转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻（单位：）时点距离地面的高度（其中，，求函数解析式及当点旋转到距离地面的高度为85m时需要的最短时间；（2）当点距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？答案：（1）；（2）解析：思路：（1）利用摩天轮半径可得、利用圆心距地面的高度可得，利用该函数周期可得，利用起始位置可得，即可得函数解析式；令，解出即可得需要的最短时间；（2）由题意可令，解出即可得一个周期内可以看到公园的全貌的时间，即可得解.（1）由题意可得，，周期，则，解得，由摩天轮上的点的起始位置在最低点处，则，即有，则，又，故，故；令，则，则或，解得或，故所需最短时间为；（2）令，即，则，解得，则一个周期内有可以看到公园的全貌，则当游客在上面游玩时，共有可以看到公园的全貌.17.在中，角，，的对边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若，当的周长最小时，求的值.答案：（1）（2）解析：思路：（1）借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得解；（2）借助余弦定理可用表示出、，从而可用表示出的周长，再借助基本不等式计算即可得解.（1）由正弦定理可得，又，则，即，又，故，则，故，即，又，故，即；（2）由余弦定理可得，由，故，整理得，故，当且仅当，即时，等号成立，故当的周长最小时，的值为.18.已知向量，函数.（1）求的最小正周期；（2）设函数满足.当时，函数与的图象有两个交点，求的取值范围；（3）当时，求函数的最大值.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用诱导公式、二倍角和辅助角公式可化简，根据正弦型函数最小正周期求法可求得周期，利用正弦函数性质求解值域即可.（2）将问题转化