2025-2026学年湖南省岳阳市汨罗市第三中学高一下册5月期中考试数学试题 含解析

/数学总分150分一、单选题1.已知为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.2.如图，在平行四边形中，E为的中点，则（）A. B. C. D.3.下列说法正确的是（）A.若，则 B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是长度相等的向量4.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（）A. B. C. D.5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A. B. C. D.6.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）A.B.C.四边形的面积为D.四边形的周长为7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（）.A. B.100m C. D.8.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.269.若复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第四象限D.复数满足，则的最大值为10.下列四个命题中为假命题的是（）A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D.通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积11.如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（）A.直线与所成角为B.平面平面C.三棱锥的体积是正方体体积的D.直线与平面所成角的正弦值为三、填空题12.在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm3.14.如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.四、解答题15.已知向量，满足，，且，的夹角为．（1）求；（2）求在上的投影向量；（用表示）（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．16.如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．（1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB；（2）若平面AEC，求证：E是PD中点．17.设的内角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求角的值；（2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求．18.如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且．（1）以为一组基底表示向量；（2）求MN的长度；（3）求，两向量夹角的余弦值．19.如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.（1）若向量的“完美坐标”为，求；（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.

数学总分150分一、单选题1.已知为虚数单位，则复数（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程.2.如图，在平行四边形中，E为的中点，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：E为的中点，，是平行四边形，，.3.下列说法正确的是（）A.若，则 B.零向量的长度是0C.长度相等的向量叫相等向量 D.共线向量是长度相等的向量答案：B解析：解答过程：对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误；对于B，零向量的长度是0，故B正确；对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误；对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误.4.一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱，底面边上的高为.当底面水平放置时水面高度为16（如图①）.当侧面水平放置时（如图②），水面高度为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用水的体积不变计算可求解.解答过程：设底面的面积为，当底面水平放置时水面高度为16，所以水的体积为，设侧面水平放置时，水呈四棱柱体，设四棱柱体的底面梯形的面积为，则水的体积为，所以，所以，设四棱柱体的底面梯形的高为，则可得，解得.故选：D.5.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用正弦定理求出，即可求出．解答过程：由正弦定理得，所以，因为，所以，所以，则，故选：B．6.如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（

）A.B.C.四边形的面积为D.四边形的周长为答案：D解析：思路：根据斜二测画法，画出原图，结合长度、面积、周长等知识进行分析，从而确定正确答案.解答过程：对于A、B，由题设易得，原平面图如下，，，故A、B错误；对于C，四边形的面积为：，即C错误．对于D，在原图形中，过作交于点，则，由勾股定理得，故四边形的周长为：，即D正确；7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（）.A. B.100m C. D.答案：C解析：思路：先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.解答过程：由题意，而，由正弦定理可得，即，解得，注意到，从而.故选：C.8.如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A.5 B.10 C.13 D.26答案：C解析：思路：分别取线段的中点为，则可求得和，再根据即可求出.解答过程：分别取线段的中点为，因为圆心，则，则，，又为边的中点，则，则.故选：C9.若复数，则（）A.B.C.在复平面内对应的点位于第四象限D.复数满足，则的最大值为答案：BCD解析：思路：根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项．解答过程：，，，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确；复数满足，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，，故的最大值为，故D正确．故选：BCD．10.下列四个命题中为假命题的是（）A.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B.过空间中任意三点有且仅有一个平面C.若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D.通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积答案：BCD解析：思路：由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B、C的真假，根据圆锥的性质及三角形面积公式，知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假.解答过程：A：且为不同的三个点，若为不同平面且，，，，则，则为异面直线与题设矛盾，故为同一平面，正确；B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误；C：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误；D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面，若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误；故选：BCD11.如图，已知正方体边长为1，则下列说法正确的是（）A.直线与所成角为B.平面平面C.三棱锥的体积是正方体体积的D.直线与平面所成角的正弦值为答案：BC解析：思路：连接和，得到，利用异面直线所成角的求法，可判定A不正确；利用线面垂直和面面垂直的判定定理，可判定B正确；利用锥体的体积公式，可判定C正确；利用线面角的定义，得到为直线与平面所成角，可判定D错误.解答过程：对于A，连接和，在正方体中，可得，所以直线与所成角即为直线与所成角，因为等边三角形，可得，则直线与所成角为，故A不正确；对于B，在正方体中，可得平面，因为平面，可得，又因为正方形，可得，，且平面，所以平面，又因平面，所以平面平面，故B正确；对于C，因为平面，所以三棱锥的高，又由，所以三棱锥的体积为，所以C正确；对于D，设和交于点，因为平面，即平面，所以为直线与平面所成角，因为正方体的棱长为，可得，在直角中，可得，所以D错误.三、填空题12.在平行四边形中，对角线与相交于点O，若向量，对应的复数分别是，，则向量对应的复数是______________.答案：解析：思路：利用复数的几何意义，由求解.解答过程：因为向量，对应的复数分别是，，所以故方法提示：本题主要考查复数的几何意义以及平面向量的减法运算，属于基础题.13.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm3.答案：解析：思路：先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果.解答过程：正六棱柱体积为圆柱体积为所求几何体体积为故方法提示：本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题.14.如图所示，已知在三棱锥中，二面角为直二面角，，，，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为_____.答案：解析：思路：取的中点，由面面垂直的性质定理可得平面，可得，外接球的球心在上，设为，利用求出外接球的半径可得答案.解答过程：取的中点，连接，因为，所以，因为二面角为直二面角，平面平面，平面，所以平面，因为，，所以，，，所以，，因为，所以外接球的球心在上，设为，连接，则，可得，其中，解得，即外接球的半径为，所以该球的体积为.四、解答题15.已知向量，满足，，且，的夹角为．（1）求；（2）求在上的投影向量；（用表示）（3）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用向量模及向量数量积的运算律，计算求解；（2）利用投影向量的计算公式计算求解；（3）结合已知条件构造不等式，解不等式求实数的取值范围（1）已知，，且，的夹角为，，．（2）根据投影向量的定义，在上的投影向量为，，，投影向量为．（3）已知向量与向量的夹角为钝角，，且与不反向共线；则，即，解得；若两向量反向共线，则存在实数，使得，，即，将代入，得到，由，解得，与不反向共线，，综上可得，实数的取值范围是．16.如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点．（1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB；（2）若平面AEC，求证：E是PD中点．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：思路：（1）取中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可知，利用线面平行的判定定理可证平面；（2）连接，交于，连接，因为平面，利用线面平行的性质定理可得，且为中点，可证E是PD中点．（1）证明：取中点，连接，，在中，因为，分别为所在边的中点，所以，且，又因为底面ABCD为平行四边形，为的中点，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）连接，交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以，在中，为中点，所以为中点.17.设的内角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求角的值；（2）若，．，边上的两条中线，相交于点，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据，得到，再利用余弦定理求解；（2）法1：由，，利用余弦定理求得边a，再利用中线长公式求得MC，BN，由是的重心，得到MP，NP，在中，利用余弦定理求解；法2：利用向量法，由，，利用夹角公式求解；法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系，利用夹角公式求解.（1）解：因为，所以由正弦定理得：，整理得：，所以，又因为，所以；（2）法1：因为，，所以，由中线长公式知：，，得，，又因为是的重心，所以，，连结，则，在中，；法2：（向量法），，，，，故，同理得，所以；法3：以为坐标原点，所在直线为x轴，过点且垂直于的直线为y轴，建立直角坐标系，则，，，所以，，所以18.如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且．（1）以为一组基底表示向量；（2）求MN的长度；（3）求，两向量夹角的余弦值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解；（2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解；（3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可．（1）因为，所以．（2）因为，所以，所以，所以．（3）因为，所以，，所以．19.如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”.（1）若向量的“完美坐标”为，求；（2）已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；（3）若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域.答案：（1）（2）证明见解析（3）解析：思路：（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可；（2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证；（3）