第五章 提升 练习2　与ex、ln x有关的常用不等式

提升课练习2与ex、lnx有关的常用不等式一元函数的导数及其应用第五章

高中数学

选择性必修

第二册必备知识练关键能力练拓展突破练必备知识练

A.

(－∞，1)B.

(0，1)C.

(1，e)D.

(1，＋∞)

D1234567891011122.已知0＜x1＜x2＜1，则(

D

)A.

＞

B.

＜

C.

x2ln

x1＞x1ln

x2D.

x2ln

x1＜x1ln

x2D123456789101112

1234567891011123.

(多选)已知函数f(x)＝(x－1)ln

x，x∈(1，＋∞)，则下列选项中，正

确的是(

ABD

)A.

f(x)＞0B.

f(x)在(1，＋∞)上单调递增C.

f'(x)＝ln

x＋

－1D.

f(x)＜(x－1)2ABD123456789101112

1234567891011124.

(多选)下列不等式中，恒成立的是(

ACD

)A.

ln(x＋1)≥

，x＞－1B.

ln

x≤

(x－

)，x＞0C.

ex≥x＋1D.

cos

x≥1－

x2ACD123456789101112

123456789101112

123456789101112

1234567891011125.已知实数a，b，c满足ac＝b2，且a＋b＋c＝ln(a＋b)，则a，

b，c的大小关系为

⁠.

c＜a＜b

1234567891011126.已知对任意x，都有xe2x－ax－x≥1＋ln

x，则实数a的取值范围

是

⁠.

(－∞，

1]

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123456789101112

1234567891011128.已知函数f(x)＝x2－(a－2)x－aln

x(a∈R).(1)求函数y＝f(x)的单调区间；

(2)当a＝1时，证明：对任意的x

＞0，f(x)＋ex＞x2＋x＋2.123456789101112

123456789101112

123456789101112

123456789101112

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10.已知函数f(x)＝ex－ax－1，g(x)＝ln

x－ax－1，其中0＜a＜1，e

为自然对数的底数，若∃x0∈(0，＋∞)，使f(x0)g(x0)＞0，则实数a的

取值范围是

⁠.

123456789101112

12345678910111211.已知函数f(x)＝a(ex－1)－x2＋x.(1)当a＝1时，求f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程；解：

(1)当a＝1时，f(x)＝ex－1－x2＋x，∴f'(x)＝ex－2x＋1，∴f'(0)＝1－0＋1＝2，又f(0)＝1－1－0＋0＝0，∴f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x.(2)若a≥1，证明：当x＞0时，f(x)＋cos

x＞1.123456789101112

(2)当a≥1，x＞0时，f(x)＋cos

x＝a(ex－1)－x2＋x＋cos

x≥ex－1－x2＋x＋cos

x，要证f(x)＋cos

x＞1，只需证ex－1－x2＋x＋cos

x＞1，令g(x)＝ex－1－x2＋x＋cos

x(x＞0)，则g'(x)＝ex－2x＋1－sin

x≥ex－2x，令h(x)＝ex－2x(x＞0)，则h'(x)＝ex－2，∴当x∈(0，ln

2)时，h'(x)＜0；当x∈(ln

2，＋∞)时，h'(x)＞0，∴h(x)在(0，ln

2)上单调递减，123456789101112在(ln

2，＋∞)上单调递增，∴h(x)≥h(ln

2)＝2－2ln

2＝2(1－ln

2)＞0，∴g'(x)＞0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴g(x)＞g(0)＝1，即ex－1－x2＋x＋cos

x＞1，∴当a≥1，x＞0时，f(x)＋c