2025-2026学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年天津市河北区高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i是虚数单位，则(2−i)(1+i)的虚部为(

)A.3 B.1 C.i D.−i2.抛掷3枚质地均匀的硬币，记事件A={至少1枚正面朝上}，事件B={至多2枚正面朝上}，事件C={没有硬币正面朝上}，则下列正确的是(

)A.C=A∩B B.C=A∪B C.C⊆A D.C⊆B3.设向量a=(1,x−1)，b=(x+1,3)，则“a与b同向”的充要条件是(

)A.x=2 B.x=−2 C.x=±2 D.x=4.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为(

)A.9π B.12π C.16π D.24π5.甲、乙两名射击运动员进行比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人各射击一次恰有一人中靶的概率为(

)A.0.26 B.0.28 C.0.72 D.0.986.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A.若m//α，n//α，则m//n

B.若α//β，m⊂α，n⊂β，则m//n

C.若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β

D.若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥β7.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，A.2

B.22

C.8.如图所示，平行四边形ABCD中，BE=2EC，点F为线段AE的中点，则AC=(

)A.34AE+12BF B.39.已知三个不共线的向量OA，OB，OC满足OA⋅(AB|AB|+CAA.内心 B.外心 C.重心 D.垂心10.如图，两个正交的全等正四面体(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点)，若正四面体棱长为2，则这两个正交四面体公共部分的体积为(

)A.26

B.23

C.2二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。11.某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数(AQI)，分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为______．12.一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队全体运动员中抽出一个容量为14的样本.如果样本按比例分配，那么应抽取的男运动员人数为

．13.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E是B1C1

14.天津是一个历史悠久的文化古都，五大道、石家大院、古文化街、鼓楼这四个景点是天津十分有名的旅游胜地.已知某游客游览五大道的概率为23，游览石家大院、古文化街、鼓楼的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立，则该游客至少游览三个景点的概率为

．15.如图，在菱形ABCD中，BC=2，∠ABC=60°，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则BM⋅BD=

；BP⋅BD的最大值是

三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

将一个红球和一个黑球任意放入标号为1，2，3的三个盒子里面．

(Ⅰ)用集合的形式写出试验的样本空间；

(Ⅱ)用集合的形式表示下列事件并求出事件的概率．

(i)A=“1号盒子不空”；

(ii)B=“每盒至多一个球”．17.(本小题10分)

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足cosB=13，bsinC=22．

(1)求sinB及边c的值；

(2)若△ABC的面积为418.(本小题10分)

为优化假期安排，调整学生学习节奏，某中学调查“五一”小长假学生外出体验的情况.随机选取了该校高一及高二共100名学生并对其进行了问卷调查.将外出时间(单位：小时)数据按照[5,7)，[7,9)，[9,11)，[11,13)，[13,15]依次分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(Ⅰ)求频率分布直方图中a的值；

(Ⅱ)已知该校高一及高二共有2000名学生，估计这两个年级“五一”小长假外出时间不少于9小时的人数，说明理由；

(Ⅲ)估计学生“五一”小长假外出时间的众数、中位数，说明理由．19.(本小题12分)

如图，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，F为DE中点，且DE=1．

(1)求证：BE//平面ACF；

(2)求证：CD⊥DE；

(3)求FC与平面ABCD所成角的正弦值．

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】B

11.【答案】89

12.【答案】8

13.【答案】214.【答案】3815.【答案】33+2

16.【答案】样本空间为Ω={(R1,B1)，(R1,B2)，(R1,B3)，(R2,B1)，(R2,B2)，(R2,B17.【答案】sinB的值为223，边c的值为318.【答案】0.105

1120人

众数为8，中位数为9.4

19.【答案】(1)证明：连接BD和AC交于O，连接OF，

∵ABCD为正方形，∴O为BD中点，

∵F为DE中点，∴OF/​/BE，

又BE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，

∴BE/​/平面ACF．

(2)证明：∵平面AEC⊥平面CDE，∠AEC=90°，平面AEC∩平面CDE=CE，AE⊂平面AEC，

∴AE⊥平面CDE，

又CD⊂平面CDE，∴AE⊥CD，

∵ABCD为正方形，∴CD⊥AD，

又∵AE∩AD=A，AD、AE⊂平面DAE，

∴CD⊥平面DAE，

∵DE⊂平面DAE，∴CD⊥DE．

(3)解：过F作FM⊥AD于M，连接CM．

由(2)得CD⊥平面DAE，CD⊂平面ABCD，

∴平面ABCD⊥平面DAE，

又∴平面ABCD∩平面DA