初中数学九年级（下）二次函数知识清单与考点透析

初中数学九年级（下）二次函数知识清单与考点透析一、二次函数概念与定义【基础】【核心】（一）二次函数的定义形如y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx+cy=ax2+bx+c（其中aaa、bbb、ccc是常数，且a≠0a\neq0a=0）的函数，叫做xxx的二次函数。判断一个函数是否为二次函数，必须严格按照定义进行化简和辨析。1、解析式的特征（1）等号左边是变量yyy，右边是关于自变量xxx的整式。（2）xxx的最高次数必须是222。（3）二次项系数a≠0a\neq0a=0。这是定义的核心条件，若a=0a=0a=0，则函数退化为一次函数或常数函数。（4）bbb和ccc可以是任意实数，包括000。2、特殊形式（1）y=ax2y=ax^{2}y=ax2（b=0,c=0b=0,c=0b=0,c=0）（2）y=ax2+bxy=ax^{2}+bxy=ax2+bx（c=0c=0c=0）（3）y=ax2+cy=ax^{2}+cy=ax2+c（b=0b=0b=0）（二）二次函数的整体系数【高频考点】【易错点】在一般式y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx+cy=ax2+bx+c中，aaa、bbb、ccc的几何意义与作用：★aaa的符号决定抛物线的开口方向。当a>0a>0a>0时，开口向上；当a<0a<0a<0时，开口向下。∣a∣|a|∣a∣的大小决定开口的宽窄，∣a∣|a|∣a∣越大，开口越窄（抛物线越陡峭）；∣a∣|a|∣a∣越小，开口越宽（抛物线越平缓）。★ccc是常数项，决定了抛物线与yyy轴的交点坐标。即当x=0x=0x=0时，y=cy=cy=c，因此抛物线与yyy轴的交点恒为(0,c)(0,c)(0,c)。★bbb与aaa共同决定抛物线的对称轴。对称轴公式为x=−b2ax=\frac{b}{2a}x=−2ab​。二、二次函数的图像与基本性质【重中之重】（一）二次函数的图像二次函数的图像是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。1、画法（五点作图法）（1）利用公式x=−b2ax=\frac{b}{2a}x=−2ab​求出对称轴。（2）找出顶点坐标(h,k)(h,k)(h,k)。（3）找出抛物线与yyy轴的交点(0,c)(0,c)(0,c)及其关于对称轴的对称点。（4）找出抛物线与xxx轴的交点（若存在，即解方程ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0）。（5）在对称轴两侧对称地取点，平滑连接。（二）二次函数的三种解析式及其互化【重要】【高频考点】1、一般式：y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx+cy=ax2+bx+c（a≠0a\neq0a=0）这是最基本的形式，直接反映了系数与坐标轴交点的关系。2、顶点式：y=a(x−h)2+ky=a(xh)^{2}+ky=a(x−h)2+k（a≠0a\neq0a=0）其中(h,k)(h,k)(h,k)为抛物线的顶点坐标。对称轴为直线x=hx=hx=h，最值为y=ky=ky=k。由一般式配方可得顶点式：y=a(x+b2a)2+4ac−b24ay=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{4acb^{2}}{4a}y=a(x+2ab​)2+4a4ac−b2​，即h=−b2ah=\frac{b}{2a}h=−2ab​，k=4ac−b24ak=\frac{4acb^{2}}{4a}k=4a4ac−b2​。3、交点式（两根式）：y=a(x−x1)(x−x2)y=a(xx_{1})(xx_{2})y=a(x−x1​)(x−x2​)（a≠0a\neq0a=0）其中x1x_{1}x1​、x2x_{2}x2​是抛物线与xxx轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0的两个根。此时对称轴为x=x1+x22x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}x=2x1​+x2​​。（三）二次函数的性质汇总表（以一般式为例）▲开口方向：当a>0a>0a>0时，开口向上；当a<0a<0a<0时，开口向下。▲顶点坐标：(−b2a,4ac−b24a)(\frac{b}{2a},\frac{4acb^{2}}{4a})(−2ab​,4a4ac−b2​)。▲对称轴：直线x=−b2ax=\frac{b}{2a}x=−2ab​。▲最值：若a>0a>0a>0，函数有最小值，y最小值=4ac−b24ay_{\{最小值}}=\frac{4acb^{2}}{4a}y最小值​=4a4ac−b2​；若a<0a<0a<0，函数有最大值，y最大值=4ac−b24ay_{\{最大值}}=\frac{4acb^{2}}{4a}y最大值​=4a4ac−b2​。▲增减性（单调性）：1.当a>0a>0a>0时，在对称轴左侧（即x<−b2ax<\frac{b}{2a}x<−2ab​），yyy随xxx的增大而减小；在对称轴右侧（即x>−b2ax>\frac{b}{2a}x>−2ab​），yyy随xxx的增大而增大。2.当a<0a<0a<0时，在对称轴左侧（即x<−b2ax<\frac{b}{2a}x<−2ab​），yyy随xxx的增大而增大；在对称轴右侧（即x>−b2ax>\frac{b}{2a}x>−2ab​），yyy随xxx的增大而减小。▲与坐标轴的交点：3.与yyy轴交点：(0,c)(0,c)(0,c)。4.与xxx轴交点：取决于一元二次方程ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}4acΔ=b2−4ac的值。1.5.当Δ>0\Delta>0Δ>0时，抛物线与xxx轴有两个不同的交点。2.6.当Δ=0\Delta=0Δ=0时，抛物线与xxx轴有一个交点（即顶点在xxx轴上）。3.7.当Δ<0\Delta<0Δ<0时，抛物线与xxx轴没有交点。三、二次函数图像的平移规律【难点】【必考】（一）平移口诀：“左加右减，上加下减”这是处理函数图像平移问题的核心法则，需深刻理解其作用对象。1、左右平移（针对自变量xxx）将抛物线y=a(x−h)2+ky=a(xh)^{2}+ky=a(x−h)2+k向左平移mmm个单位（m>0m>0m>0），得到的新解析式为y=a(x−h+m)2+ky=a(xh+m)^{2}+ky=a(x−h+m)2+k。将抛物线y=a(x−h)2+ky=a(xh)^{2}+ky=a(x−h)2+k向右平移mmm个单位（m>0m>0m>0），得到的新解析式为y=a(x−h−m)2+ky=a(xhm)^{2}+ky=a(x−h−m)2+k。【注意】左右平移直接改变顶点横坐标hhh，且是xxx本身加减，因此对于一般式，需先化为顶点式再应用，或者直接对xxx进行代换：向左平移mmm，则用x+mx+mx+m替换原式中的xxx；向右平移mmm，则用x−mxmx−m替换原式中的xxx。2、上下平移（针对函数值yyy）将抛物线y=a(x−h)2+ky=a(xh)^{2}+ky=a(x−h)2+k向上平移nnn个单位（n>0n>0n>0），得到的新解析式为y=a(x−h)2+k+ny=a(xh)^{2}+k+ny=a(x−h)2+k+n。将抛物线y=a(x−h)2+ky=a(xh)^{2}+ky=a(x−h)2+k向下平移nnn个单位（n>0n>0n>0），得到的新解析式为y=a(x−h)2+k−ny=a(xh)^{2}+kny=a(x−h)2+k−n。【注意】上下平移直接改变函数值yyy，即改变顶点纵坐标kkk。（二）平移的本质图像的平移不改变抛物线的形状和开口方向，即二次项系数aaa在平移过程中始终保持不变。平移只改变顶点的位置。四、二次函数解析式的确定【高频考点】【解题关键】（一）待定系数法根据题目条件，合理设出解析式的形式，代入已知点坐标，建立方程（组）求解。1、一般式法【适用条件】已知图像上任意三个点的坐标（这三个点不在同一直线上）。【解题步骤】设解析式为y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx+cy=ax2+bx+c，代入三点坐标，得到关于aaa、bbb、ccc的三元一次方程组，求解即可。2、顶点式法【适用条件】已知图像的顶点坐标(h,k)(h,k)(h,k)或对称轴及最值，且已知另一个点的坐标。【解题步骤】设解析式为y=a(x−h)2+ky=a(xh)^{2}+ky=a(x−h)2+k，代入另一个点的坐标，求出aaa的值，最后化为一般式。3、交点式法【适用条件】已知图像与xxx轴的两个交点坐标(x1,0)(x_{1},0)(x1​,0)和(x2,0)(x_{2},0)(x2​,0)，且已知另一个点的坐标。【解题步骤】设解析式为y=a(x−x1)(x−x2)y=a(xx_{1})(xx_{2})y=a(x−x1​)(x−x2​)，代入另一个点的坐标，求出aaa的值，最后化为一般式。五、二次函数与一元二次方程及不等式的关系【综合应用】【热点】（一）二次函数与一元二次方程抛物线y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx+cy=ax2+bx+c与xxx轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0的根。1、Δ>0\Delta>0Δ>0⇔\Leftrightarrow⇔方程有两个不相等的实数根⇔\Leftrightarrow⇔抛物线与xxx轴有两个交点。2、Δ=0\Delta=0Δ=0⇔\Leftrightarrow⇔方程有两个相等的实数根（即一个根）⇔\Leftrightarrow⇔抛物线与xxx轴有一个交点（顶点在轴上）。3、Δ<0\Delta<0Δ<0⇔\Leftrightarrow⇔方程无实数根⇔\Leftrightarrow⇔抛物线与xxx轴没有交点。（二）二次函数与一元二次不等式利用函数图像可以直观地解一元二次不等式。以a>0a>0a>0为例，设方程ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0ax2+bx+c=0的两根为x1x_{1}x1​、x2x_{2}x2​（x1<x2x_{1}<x_{2}x1​<x2​）。1、不等式ax2+bx+c>0ax^{2}+bx+c>0ax2+bx+c>0的解集是x<x1x<x_{1}x<x1​或x>x2x>x_{2}x>x2​。2、不等式ax2+bx+c<0ax^{2}+bx+c<0ax2+bx+c<0的解集是x1<x<x2x_{1}<x<x_{2}x1​<x<x2​。若a<0a<0a<0，则可先将不等式两边乘以−11−1化为a>0a>0a>0的情况处理，或直接结合开口向下的图像进行判断。六、二次函数的最值问题【难点】【压轴题常见】（一）顶点最值对于一般式y=ax2+bx+cy=ax^{2}+bx+cy=ax2+bx+c，其最值在顶点处取得，值为4ac−b24a\frac{4acb^{2}}{4a}4a4ac−b2​。这是整个定义域（x∈Rx\inRx∈R）上的最值。（二）区间最值（给定自变量取值范围）这是中考及各类考试中区分度较高的题目，需要根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论。1、定轴定区间对称轴固定，区间固定。直接计算区间端点及对称轴对应的函数值，比较大小即可。2、动轴定区间对称轴位置变化（含参数），区间固定。需要讨论对称轴相对于区间的三种位置：在区间左侧、在区间内部、在区间右侧。3、定轴动区间对称轴固定，区间端点变化（含参数）。需要讨论区间相对于对称轴的三种位置：区间整体在对称轴左侧、区间包含对称轴、区间整体在对称轴右侧。▲【解题口诀】“一看开口，二看轴，三看区间端点走”。无论哪种情况，最终的最值都在区间的端点或顶点（若顶点在区间内）处取得。七、二次函数的系数与图像特征的关系【高频考点】【图像信息题】（一）aaa、bbb、ccc的符号判定1、aaa的符号：看开口。开口向上⇒\Rightarrow⇒a>0a>0a>0；开口向下⇒\Rightarrow⇒a<0a<0a<0。2、bbb的符号：结合aaa与对称轴的位置。对称轴在yyy轴左侧，则−b2a<0\frac{b}{2a}<0−2ab​<0，即aaa与bbb同号；对称轴在yyy轴右侧，则−b2a>0\frac{b}{2a}>0−2ab​>0，即aaa与bbb异号；对称轴为yyy轴，则b=0b=0b=0。★口诀：“左同右异”（对称轴在yyy轴左边，aaa、bbb同号；在右边，aaa、bbb异号）。3、ccc的符号：看与yyy轴交点。交于正半轴⇒\Rightarrow⇒c>0c>0c>0；交于原点⇒\Rightarrow⇒c=0c=0c=0；交于负半轴⇒\Rightarrow⇒c<0c<0c<0。（二）特殊代数式的值1、a+b+ca+b+ca+b+c的值：即x=1x=1x=1时对应的函数值yyy，看图像上点(1,a+b+c)(1,a+b+c)(1,a+b+c)的位置。2、a−b+cab+ca−b+c的值：即x=−1x=1x=−1时对应的函数值yyy，看图像上点(−1,a−b+c)(1,ab+c)(−1,a−b+c)的位置。3、4a+2b+c4a+2b+c4a+2b+c的值：即x=2x=2x=2时对应的函数值yyy。4、4a−2b+c4a2b+c4a−2b+c的值：即x=−2x=2x=−2时对应的函数值yyy。5、b2−4acb^{2}4acb2−4ac的值：看与xxx轴交点的个数。有两个交点⇒\Rightarrow⇒b2−4ac>0b^{2}4ac>0b2−4ac>0；有一个交点⇒\Rightarrow⇒b2−4ac=0b^{2}4ac=0b2−4ac=0；无交点⇒\Rightarrow⇒b2−4ac<0b^{2}4ac<0b2−4ac<0。6、2a+b2a+b2a+b的符号：由对称轴与111的大小关系决定。例如，若−b2a=1\frac{b}{2a}=1−2ab​=1，则b=−2ab=2ab=−2a，即2a+b=02a+b=02a+b=0；若对称轴大于111，可得相应不等式。7、2a−b2ab2a−b的符号：由对称轴与−11−1的大小关系决定。八、二次函数的实际应用【必考】【建模思想】（一）常见模型1、利润最值问题【公式】利润=（售价进价）×销售量。【解题关键】根据题意确定售价与销售量之间的函数关系（通常为一次函数），从而建立总利润关于售价（或涨价、降价）的二次函数模型，利用顶点坐标求最值，同时注意自变量的取值范围（如售价不能低于进价，销售量不能为负，以及题目中关于“薄利多销”等实际约束）。2、面积最值问题【解题关键】在几何图形（如矩形、三角形、拱桥等）中，利用图形的面积公式，将面积表示为某一边长或某一线段的二次函数。通常需利用图形中的几何关系（如相似、勾股定理、线段和差）表示出其他边长，进而建立函数。注意自变量的取值范围需满足几何图形的存在性（如边长大于0，且符合三角形三边关系等）。3、抛物线型实际问题（如拱桥、喷泉、篮球、隧道等）【解题关键】建立恰当的平面直角坐标系是解题的突破口。（1）根据题意，选择合适的位置作为原点，使函数解析式尽量简洁（如顶点在原点或yyy轴上）。（2）根据已知数据，找出抛物线上关键点的坐标（如顶点、与xxx轴交点、经过的某点等）。（3）用待定系数法求出解析式。（4）将实际问题中的其他量（如水面宽度、车辆高度等）转化为点的坐标，代入解析式求解。（二）建模步骤1、审题：明确问题中的已知量和未知量，找出变量之间的等量关系。2、设变量：设出自变量xxx和因变量yyy。3、列函数：根据等量关系列出二次函数解析式，并注明自变量的取值范围。4、解函数：利用二次函数的性质（顶点、增减性）求出最值或特定值。5、检验：检验结果的合理性（是否符合实际意义和取值范围）。6、作答。九、二次函数的综合题解题策略【压轴题突破】（一）代数综合常与一次函数、反比例函数、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）结合。★解题关键：联立函数解析式，通过消元转化为一元二次方程，利用判别式判断交点个数，利用韦达定理解决线段长度、中点坐标等问题。（二）几何综合常与三角形（等腰、直角、相似）、四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）、圆等图形结合，考查存在性问题（如等腰三角形存在性、直角三角形存在性、平行四边形存在性、相似三角形存在性等）。▲解题模型与方法：1、等腰三角形存在性：通常用“两圆一线”法。即分别以已知线段的两端点为圆心，以该线段长为半径画圆，再作该线段的垂直平分线，这些图形与抛物线的交点即为所求点。然后代入抛物线解析式求解。2、直角三角形存在性：通常用“一圆两垂直”法。即以已知线段为直径画圆，过线段两端点作该线段的垂线，这些图形与抛物线的交点即为所求点。利用勾股定理或“k1⋅k2=−1k_{1}\cdotk_{2}=1k1​⋅k2​=−1”（斜率乘积为1，在高中常用，初中可用勾股定理列方程）求解。3、平行四边形存在性：通常利用中点坐标公式或平移法。若已知三个定点，求第四个点构成平行四边形，则分别以每两个定点所连的线段为平行四边形的对角线，利用对角线互相平分，求出第四个点的坐标。（三）最值综合1、线段和的最小值（将军饮马问题）：找对称点，利用两点之间线段最短。2、线段差的最大值：找对称点，利用三角形三边关系。3、三角形或四边形面积的最值：通常采用“铅垂高，水平宽”法表示面积，即S=12×S=\frac{1}{2}\timesS=21​×水平宽