小学四年级数学竞赛思维训练《“丁一杯”真题研析与策略构建》教案

小学四年级数学竞赛思维训练《“丁一杯”真题研析与策略构建》教案一、教学背景与设计理念（一）教材与竞赛融合分析【基础】本节课并非传统的教材章节教学，而是基于“2025年浙江省夏季奥林匹克\丁一杯\数学竞赛省级选拔赛四年级试题（B）卷”的深度研析课。【基础】竞赛试题内容涵盖了数论（数的组成、连续自然数）、几何图形（等积变形、巧求面积、图形规律）、应用题（盈亏问题、行程问题、归一归总、最优策略）以及计算技巧（简便运算）等多个领域。【基础】这些知识点源于小学数学四年级教材，如《大数的认识》、《长方形和正方形面积》、《四则运算》、《运算定律》等，但在竞赛维度上进行了深化、拓展与综合，强调知识的灵活运用和数学模型的建构。【基础】本设计旨在通过对真题的解剖，引导学生跳出题海战术，站在命题者视角审视试题背后的数学思想与方法，实现从“解题”到“解决问题”，再到“命题赏析”的思维跃迁。【重要】（二）学情分析【基础】授课对象为经过初步选拔、具备一定数学潜能的四年级学生。【基础】他们的优势在于基础知识较为扎实，对常规题型有较好的掌握；但面对竞赛题中复杂的数量关系、隐蔽的几何条件以及多步骤的逻辑推理时，往往缺乏系统性的分析策略，容易陷入“盲目尝试”的误区。【基础】此外，学生在面对行程问题、最优方案等实际问题时，将数学模型与生活情境相互转化的能力有待加强。【重要】本课需针对这些痛点，提供可操作的思维支架。（三）设计理念【核心】以“核心素养”为导向，秉持“少而精”的深度教学原则。【核心】本课不追求面面俱到的题海讲评，而是选取B卷中具有代表性、涵盖不同思维层级的四道核心例题，通过“一题一课”、“一题多解”、“多题归一”的方式，引导学生经历“独立思考—合作辨析—策略提炼—变式应用”的完整学习闭环。【核心】在教学中，深度融合数形结合、转化归纳、方程与函数等初级思想，为学生的后续理科学习埋下思维的种子。二、教学目标（一）知识与技能【基础】1.掌握利用“数位”概念解决数论中“添数”问题的方法。【基础】2.理解“盈亏问题”的数量关系，能熟练运用公式或方程求解。【基础】3.掌握列车过桥（隧道）问题中，路程、速度与时间的关系，能准确找出“路程”的特殊性。【基础】4.掌握“最优策略”问题中，通过计算“人均单价”并结合“空位”调整进行方案优化的方法。【基础】（二）过程与方法【重要】1.通过“盈亏问题”的对比分析，感悟数形结合思想，学会用线段图或示意图直观表达数量关系。【重要】2.通过“列车过桥”的动态演示，体验建模过程，提升空间想象能力和逻辑推理能力。【重要】3.通过“租车方案”的讨论与优化，体会运筹思想在解决实际问题中的应用，培养优化意识和策略多样化与最优化的辩证思维。【重要】（三）情感、态度与价值观【热点】1.在挑战有难度的竞赛题中，培养不畏困难、勇于探索的科学精神，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。【热点】2.通过小组合作辨析，培养倾听、质疑、合作的团队意识，感受集体智慧的力量。【热点】3.在“租车问题”中，渗透合理消费、节约资源的意识，将数学学习与现实生活紧密联结。【热点】三、教学重难点（一）教学重点【基础】1.核心数量关系的建构：盈亏问题的“（盈＋亏）÷两次分配差”原理；列车过桥问题中“桥长＋车长＝速度×时间”的模型。【基础】2.数学策略的优化过程：在多种租车方案中，通过比较和调整找到最优解。【基础】（二）教学难点【难点】1.几何直观的建立：在盈亏问题中，如何用图形准确表征“盈”与“亏”的部分，并将其与分配次数关联起来。【难点】2.隐含条件的挖掘：在列车过桥问题中，明确“路程”为什么是“桥长＋车长”，并能将此模型迁移至其他类似情境（如通过窗口、队伍行进等）。【难点】3.思维的严谨性与灵活性：在方案优化中，考虑到“人均单价低不一定总价最低”的例外情况，并能进行科学调整。【难点】四、教学准备多媒体课件（包含真题原题呈现、动态演示、变式练习）、磁性黑板贴（用于模拟租车）、学习任务单。五、教学实施过程（一）创设情境，真题导入（约5分钟）1.开篇引题：同学们，今天我们走进一场思维盛宴——2025年浙江省“丁一杯”数学竞赛四年级选拔赛B卷。【非常重要】竞赛不仅是智力的比拼，更是策略与心态的较量。我们不只看结果，更要探究这些题目背后的“门道”。【非常重要】2.呈现目标：大屏幕展示本节课将要挑战的四道核心母题（选自B卷）：㎡第1题（填空题）：数位上的“增增减减”。㎡第4题（填空题）：彩笔的“盈”与“亏”。㎡第12题（解答题）：动车过桥穿隧道。㎡第13题（解答题）：春游租车“省钱攻略”。3.激发动机：这四道题涵盖了数论、应用题、行程、优化四大板块，是竞赛中的“常客”。今天，我们就来当一回“解题分析师”，破解其中的思维密码。（二）探究一：数位之谜——“添数”问题（对应第1题，约10分钟）1.原题呈现：【基础】一个三位数为357，在它的后面添上数字“3”得到的四位数，比在它前面添上数字“7”后得到的四位数少（）。2.独立尝试，暴露思维：请学生独立列式计算。预设学生可能出现的几种情况：㎡直接写出两个四位数进行比较：357后面添3是3573，前面添7是7357，差为7357－3573＝3784。【基础】㎡部分学生可能因数位概念不清，写错数字（如写成3573和7357的顺序颠倒错误）。3.辨析深化，提炼方法【重要】：㎡追问：为什么“后面添3”是3573？为什么“前面添7”是7357？引导学生用数的组成解释：357后面添3，相当于原数扩大10倍再加3，即357×10＋3＝3573；前面添7，相当于在原数基础上加7个1000，即7000＋357＝7357。【重要】㎡变式拓展【热点】：如果原数是a，在后面添一个数字b（b是一位数），新数如何表示？（a×10＋b）在前面添一个数字b，新数又如何表示？（b×1000＋a或1000b＋a）【热点】㎡结论：解决此类“添数”问题，关键是理解不同数位的意义，将文字语言转化为数学算式。强调“在…后面添”就是“原数×10＋添数”；“在…前面添”就是“添数×相应的计数单位＋原数”。【非常重要】4.课堂即时练：一个两位数是18，在它的后面添上“0”，得到的数与原数相差多少？（162）如果将“0”添在前面呢？（=1782）（三）探究二：盈亏之辩——“分彩笔”问题（对应第4题，约15分钟）1.原题呈现：【基础】老师给幼儿园小朋友分彩笔，每个小朋友分6支就多出10支；每个小朋友分8支，则欠20支。彩笔有（）支。2.小组合作，表征问题【非常重要】：㎡要求：不能只列式，要用你喜欢的方式（画图、列表、讲故事等）把“盈”和“亏”的过程清晰地表示出来。㎡预设小组展示：——【数形结合】画线段图：用一条长线段表示彩笔总数。第一次分配，每份6支，多出10支（画出一小段表示多出的10）；第二次分配，每份8支，不够还差20支（用虚线画出缺少的20）。引导学生发现，第二次比第一次，每个小朋友多分了2支（8－6＝2），这多分的2支总量从哪里来？就是从“多出的10支”加上“欠的20支”里来的（即盈＋亏）。【非常重要】——【方程思想】设小朋友有x人。根据彩笔总数不变列方程：6x＋10＝8x－20，解得x＝15，彩笔数6×15＋10＝100。【重要】3.策略提炼【难点】：㎡师生共同总结“盈亏问题”的核心公式：【非常重要】（盈＋亏）÷（两次每人分配数量的差）＝人数㎡引导学生思考公式的变式：如果题目是“一盈一尽”或“两盈”呢？让学生尝试改编题目，并推导相应公式。例如：将“欠20支”改成“正好分完”，则公式为：盈÷（两次分配差）＝人数。【难点】㎡强调：无论题型如何变化，抓住“总差额”和“每份差额”之间的关系是解题的关键。总差额的来源就是两次分配结果的差异。【非常重要】4.变式挑战【热点】：幼儿园阿姨买来一些苹果，分给小朋友。如果每人分3个，则多8个；如果每人分5个，则少6个。问有多少个小朋友？多少个苹果？（列式为：(8+6)÷(53)=7人，3×7+8=29个）【热点】（四）探究三：行程之惑——“动车过桥”问题（对应第12题，约18分钟）1.原题呈现：【基础】一列动车通过一座长890米的铁桥用了50秒，紧接着穿过一条1330米隧道，用了70秒。这列动车车身长多少米？（这里的时间均指动车车头上桥或进隧道口直至车尾离开的时间）2.建立模型，化抽象为具体【非常重要】：㎡动态演示：利用flash动画或教具演示动车“上桥”（车头刚上桥）到“下桥”（车尾刚离开桥）的全过程。引导学生观察并思考：在这个过程中，车头行驶了多长的距离？【非常重要】㎡小组讨论：学生通过观察发现，车头行驶的距离＝桥长＋车身长。从而建立核心模型：桥长＋车长＝速度×时间。【非常重要】㎡类比迁移：同样的方法分析通过隧道的过程，得出：隧道长＋车长＝速度×时间。3.对比分析，消元求解【重要】：㎡将两个过程列式：①890＋车长＝速度×50②1330＋车长＝速度×70㎡引导学生对比两式，发现：隧道比桥长多少？（1330－890＝440米）而这440米在时间上对应了多少秒？（70－50＝20秒）由此，可以求出什么？（速度）【重要】㎡板书推导过程：速度＝(1330－890)÷(70－50)＝440÷20＝22（米/秒）。【基础】㎡再将速度代入任意一式求车长：车长＝22×50－890＝1100－890＝210（米）。【基础】4.总结归纳【非常重要】：㎡解此类题的关键在于理解“路程”的特殊性——必须包含车身的长度。㎡当遇到两个不同长度的隧道/桥梁时，可以通过“路程差”与“时间差”的对应关系先求出速度，这是一种重要的“消元”思想，能巧妙避开直接求车长的复杂运算。【非常重要】5.生活链接【热点】：想一想，生活中还有哪些现象类似于“火车过桥”？（如：人列队通过主席台，求队伍长度或行进速度；电梯运行等）【热点】（五）探究四：策略之优——“租车省钱”问题（对应第13题，约20分钟）1.原题呈现：【基础】湖畔小学组织全体师生去春游，共有326名学生，24名老师，提供的车辆有两种：大客车限载50人，租金860元；中客车限载30人，租金450元。请问怎样租车最省钱？最少需要多少钱？2.初步建模，感知策略【重要】：㎡数据预处理：总人数＝326＋24＝350（人）。【基础】㎡引导学生计算两种车的“人均单价”：大客车：860÷50＝17.2（元/人）≈17元多中客车：450÷30＝15（元/人）㎡初步结论：因为中客车单价更便宜，所以应该优先考虑多租中客车。【重要】3.深入探究，调整优化【难点】：㎡第一轮方案：全租中客车350÷30＝11（辆）……20（人），需租12辆，总价450×12＝5400元，空余座位30×12－350＝10个。【基础】㎡追问：空10个座位是不是太浪费？单价虽便宜，但空位太多可能不划算。引导学生尝试减少中客车，增加大客车，看能否减少空位，降低总价。【难点】㎡小组合作探究【非常重要】：学生分组列表尝试不同组合，教师巡视指导，引导学生有序思考，如从10辆中客开始尝试。㎡汇报交流，展示优化过程：——尝试租10辆中客：30×10＝300人，还剩50人，正好租1辆大客。总价：450×10＋860×1＝4500＋860＝5360元，空位0。【最优方案】——尝试租9辆中客：30×9＝270人，还剩80人，大客需2辆（50×2＝100），总价：450×9＋860×2＝4050＋1720＝5770元，空位多，更贵。——尝试租11辆中客（之前算过5400元），比5360元高。㎡得出结论：最优方案并非单纯选择单价低的车型，而是要综合考虑载客量与总价，追求“座位利用率最大化”。【非常重要】4.反思与建模【热点】：㎡师生共同总结解“最优租车/租船”问题的三步法：【非常重要】第一步：计算人均单价，初步确定优先车型。第二步：用优先车型进行全租，算出总价和空位。第三步：根据空位情况，有序调整（减少优先车型，增加另一种车型），通过对比找到最省钱方案。㎡强调：列表法或尝试法是解决此类问题最可靠的方法