湖北省黄冈市部分高中2025-2026学年高二数学上学期期中试题含解析

本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘

贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿

纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的

非答题区域均无效．

4．考试结束后，请将答题卡上交．

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.在空间直角坐标系Oxyz中，点3,4,5关于平面yOz对称点的坐标为（）

A.3,4,5B.3,4,5C.3,4,5D.3,4,5

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标平面的对称特征可得.

【详解】点x,y,z关于坐标平面yOz对称点为x,y,z，所以点3,4,5关于坐标平面yOz对称的点

坐标为3,4,5.

故选：D

2.直线x3y80的倾斜角为（）

5π2πππ

A.B.C.D.

6336

【答案】A

【解析】

【分析】将方程变为斜截式，可得斜率，根据斜率与倾斜角的关系，即可求得答案.

383

【详解】直线x3y80，变形可得yx，

33

3

所以斜率k，

3

又倾斜角0,π，ktan，

5π

所以.

6

故选：A

11

3.已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，且OPOAOBOC，若P，A，B，

43

C四点共面，则（）

5171

A.B.C.D.

1212123

【答案】A

【解析】

【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案.

11

【详解】因为P，A，B，C四点共面，且OPOAOBOC，

43

115

所以1，解得.

4312

故选：A

2222

4.已知圆C1：xay232与圆C2：x2ya128恰有3条公切线，则实数a的

值为（）

A.10B.4C.14或10D.10或4

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可知圆C1和圆C2外切，利用C1C2r1r2列等式求解即可

【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

C1C1a,2r142C2C22,ar282

∵圆C1与圆C2恰有3条公切线，圆C1和圆C2外切，

22

C1C2r1r2，即(a2)(2a)122，解得a14或a10，

故选：C

5.甲乙两人同时射击同一目标，若每人独立击中目标的概率为0.6，则这个目标能够被击中的概率为（）

A.0.84B.0.72C.0.36D.0.16

【答案】A

【解析】

【分析】利用对立事件的概率公式结合独立事件的性质求解即可.

【详解】设甲击中目标是事件A，乙击中目标是事件B，

由题意得这个目标能够被击中的对立事件为两个人都没击中，

由题意得P(A)P(B)0.6，

则这个目标能够被击中的概率为1(10.6)(10.6)0.84，故A正确.

故选：A

6.已知OA0,1,1，OC1,0,1，若点P在直线OA上运动，则PAPC的最小值为（）

791

A.B.C.D.1

882

【答案】B

【解析】

【分析】令PAOA(0,,)，应用向量线性关系的坐标运算求出PA,PC，再由向量数量积的坐标运

算列式求最值.

【详解】由题意，令PAOA(0,,)且R，PCPAOCOA(1,1,2)，

2

2399

所以PAPC012232，

488

39

当且仅当时取等号，则PAPC的最小值为.

48

故选：B

7.若a,b0,2,4,6,8，则函数yax2bx2有零点的概率为（）

79211

A.B.C.D.

2525525

【答案】D

【解析】

【分析】根据古典概型的概率计算公式即可.

【详解】记a,b为样本点，则总体样本空间Ωa,b∣a,b0,2,4,6,8，共有25个样本点，

①当a0时，ybx2，函数有零点，则b2,4,6,8，

所以满足函数有零点的样本点有0,2,0,4,0,6,0,8共4个；

②当a0时，若函数yax2bx2有零点，则Δb28a0，即b28a，

所以满足函数有零点的样本点有2,4,2,6,2,8,4,6,4,8,6,8,8,8，共7个，

记“函数yax2bx2有零点的概率”为事件A，

4711

则PA，

2525

故选：D

8.已知直线l1:kxy4k130与直线l2:xky11k60相交于点P，过点P作圆C：

22

x3y44的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB面积的最大值为（）

A.435B.85C.165D.325

【答案】C

【解析】

【分析】根据直线恒过定点及两直线垂直，可求得点P的轨迹方程，分析可得，要使四边形PACB面积的

最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计

PCPCmaxPAmax

算即可得答案.

【详解】l1:kxy4k130变形为k(x4)y130，恒过(4,13)，

l2:xky11k60变形为x6k(y11)0，恒过(6,11)，

因为k1(1)k0，所以l1l2，

所以交点P的轨迹是以(4,13)和(6,11)为直径端点的圆，

则圆心坐标为D(1,1)，半径22，

r11411313

所以点P到圆心C的最大距离为22，

CDr1(13)(14)1318

因为A为切点，所以PAAC，

所以222，

PAmaxPCmaxAC18485

1

所以四边形PACB面积的最大值SACPA2285165.

2max

故选：C

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要

求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知AB为圆C：x2y216的直径，直线l：xky2与x轴交于点P，则（）

A.直线l过定点2,0

B.直线l与圆C恒有公共点

C.PAB面积的最大值为4

D.直线l被圆C截得弦长的最小值为43

【答案】ABD

【解析】

【分析】P是一个在圆内的定点，可以判断AB选项；根据AB是定值可以判断到的距离最大时，三角形面积

最大，从而判断C选项；l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，从而判断D选项.

【详解】直线l：xky2过定点2,0，A选项正确；

直线l:xky2与x轴交于点P，P(2,0)，

且P在圆C:x2y216内部，

所以l与C恒有公共点，B正确；

P到AB的最大距离，即到圆心的距离为2，

1

S828，故C错误；

ABP2

l被C截得的弦的长度的最小时，圆心到直线的距离最大，

且此距离为P到圆心的距离为2，故弦长为2422243，故D正确.

故选：ABD

10.抛掷一红一白的两枚骰子，用a表示红色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用a,b表

示一次实验结果．记事件A：“a4”，B：“ab10”，C：“b3”，D：“ab20”，则

（）

A.事件B与C互斥B.事件C与D对立

C.事件A与C相互独立D.事件A与D相互独立

【答案】ACD

【解析】

【分析】列举出事件A、B、C、D所包含的基本事件，利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定

义判断B；利用独立事件的定义判断CD.

【详解】事件A包含的基本事件有：(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，共6个基本事件，

事件B包含的基本事件有：(5,6),(6,6),(6,5)，共3个基本事件，

事件C包含的基本事件有：(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)，共12个

基本事件，

事件D包含的基本事件有：(4,6),(5,5),(5,6),(6,6),(6,5),(6,4)，共6个基本事件，

对于A，BC，事件B与C互斥，A正确；

对于B，CD，即事件C与D互斥，而事件C与D可以同时不发生，

如事件3,3发生，因此事件C与D不对立，B错误；

对于C，事件AC包含的基本事件有：(4,1),(4,2)，共2个基本事件，

6112121

P(A),P(C)，P(AC)P(A)P(C)，事件A与C相互独立，C正确；

3663633618

61

对于D，事件AD包含的基本事件有(4,6)，共1个基本事件，P(D)，

366

1

P(AD)P(A)P(D)，事件A与D相互独立，D正确.

36

故选：ACD

11.在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，点P满足BPBCBB1,0,1，点Q满足

，则（）

A1QtA1C0t1

1

A.当t时，BQ3

2

B.当时，线段的最小值为

A1P22

C.当时，与的夹角为定值

0A1QBP

3

D.AQPQ的最小值为2

31

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用空间向量求解计算即可判定各选项的正误.

【详解】考虑棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1，建立空间直角坐标系，以点B为坐标原点：

B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,2,0)，B1(0,0,2)，C1(2,0,2)，A1(0,2,2)，D1(2,2,2).

由，其中，，，

BPBCBB1BC(2,0,0)BB1(0,0,2),[0,1]

得：BP2,0,00,0,22,0,2,

所以点P的坐标为(2,0,2).

由，其中，，

A1QtA1CA1C20,02,022,2,2t[0,1]

得：.

A1Qt2,2,22t,2t,2t

设Qx,y,z，则：x,y2,z22t,2t,2t,

解得：x2t,y22t,z22t,

所以点Q的坐标为(2t,22t,22t).

选项A：

1111

代入t，得Q2,22,221,1,1

2222

距离BQ(10)2(10)2(10)21113.

故选项A正确.

选项B：

由，得P(2,0,2)，点A1(0,2,2)，

距离：2222222.

A1P(20)(02)(22)444(1)88881

1113

函数f()21在[0,1]上的最小值为f1.

2424

3

最小值AP8622，不相等.

14

故选项B错误.

选项C：

由，得，,.

0P(0,0,2)BP0,0,2A1Qt2,2,22t,2t,2t

夹角的余弦：

AQBP2t02t02t24t4t1

cos1t0,0.

∣∣∣∣∣∣∣∣2

A1QBP2t,2t,2t0,0,212t223t23

1

当t0且0时，cos为常数，夹角为定值.

3

故选项C正确.

选项D：

∣∣∣∣∣∣222,

A1QA1QtA1Ct2(2)(2)t1223tt0

33

所以：AQ23t2t.

313

表达式为2tPQ，其中PQ是点P(2,0,2)与点Q(2t,22t,22t)的距离：

PQ(22t)2(022t)2(222t)22(t)2(t1)2(t1)2.

对固定t，取t，1t（均在[0,1]内），则：

PQ2(tt)2(t1)2(1tt1)220(t1)202∣t∣121tt1,

此时：2tPQ2t21t2

当t，1t时，等号成立（例如t0时0，1，QA1(0,2,2)，P(0,0,2)，

PQ2，和为2;t1时1，0，QC(2,0,0)，P(2,0,0)，PQ0，和为2),

故最小值为2.

选项D正确.

选项A、C、D正确，选项B错误.

故选：ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

22

12.与圆x2y34关于直线yx对称的圆的方程为______．

22

【答案】x3y24（或x2y26x4y90）

【解析】

22

【分析】先求得圆x2y34的圆心和半径，根据点关于直线对称点的求法，可求得圆心(2,3)

关于直线yx的对称点，分析即可得答案.

22

【详解】圆x2y34的圆心为(2,3)，半径为2，

设(2,3)关于直线yx的对称点为(a,b)，

b3

1

a2a3

则，解得，即对称点坐标为(3,2)，

b3a2b2

22

22

所以对称圆的方程为x3y24.

22

故答案为：x3y24（或x2y26x4y90）

13.在鳖臑（四个面均为直角三角形的三棱锥）SABC中，SA底面ABC，ACBC，

SAACBC1，D，E分别是AB，SC的中点，则异面直线CD与BE所成角的余弦值为______．

【答案】3

6

【解析】

【分析】把三棱锥SABC放置在一个棱长为1的正方体中，以O为原点，求得CD,BE的坐标，结合向量

的夹角公式，即可求解.

【详解】把三棱锥SABC放置在一个棱长为1的正方体中，以O为原点，建立空间直角坐标系，

1111

如图所示，可得C(1,1,0),D(,,0),B(0,1,0),E(1,,)，

2222

1111

则CD(,,0),BE(1,,)，

2222

1

CDBE43

设异面直线CD与BE所成角为，则coscosCD,BE，

266

CDBE

22

3

所以异面直线CD与BE所成角的余弦值为.

6

故答案为：3.

6

14.给正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点涂色，规则：从顶点A开始涂色，之后每选取一个未涂色顶点

且与上次所涂顶点不在同一条棱上的顶点进行涂色．若涂色3次，则第3次恰好涂在A1点的概率为______．

1

【答案】

6

【解析】

【分析】按照分步乘法计数原理即可得到结果

【详解】

正方体ABCDA1B1C1D1中，从顶点A开始涂色，第一次涂色后，与A不在同一条棱上的顶点有

C,C1,B1,D1,共4种选择；

第二次涂色时，需选择一个与第一次所涂顶点不在同一条棱上的顶点。

假设第二次涂C,则第三次可选A1,B1,D1,共3种；

假设第二次涂C1,则第三次可选A1,B,D,共3种；

假设第二次涂B1,则第三次可选D1,C,D,共3种；

假设第二次涂D1,则第三次可选B1,B,C,共3种；

21

所以总的路径为12种，其中第3次恰好涂在A1点的有2种，所以概率为.

126

1

故答案为：

6

四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是边长为4的正方形，PD6，点E，F

分别为CD，PA的中点．

（1）求EFPB；

（2）求点F到平面PBC的距离．

【答案】（1）18

（2）613

13

【解析】

【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出向量EF与PB的坐标，再根据向量数量积的坐标运算公式求

解；

（2）方法一：先求出平面PBC的法向量，再利用点到平面距离的向量公式计算点F到平面PBC的距离；

方法二：先求出三棱锥PABC体积，再求出△PBC面积，利用等体积法求出F到平面PBC的距离.

【小问1详解】

如图以D为原点DA,DC,DP分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系，

则P0,0,6，A4,0,0，B4,4,0，C0,4,0，E0,2,0，F2,0,3，

EF2,2,3，PB4,4,6，

∴EFPB24243618．

【小问2详解】

方法一：由（1）知

CBDA4,0,0，BP4,4,6

设平面PBC的法向量为mx,y,z，则

4x0,

令y3,则m0,3,2，

4x4y6z0,

mFP6613

FP2,0,3，d．

m1313

613

点F到平面PBC的距离为．

13

11

方法二：三棱锥PABC体积为V44616．

32

PD平面PCD，CD平面PCD且PDCDD，PDBC，BCDC,

根据线面垂直定理可得BCPC，根据勾股定理可得PC213，

∴△PBC面积为413．

11213

设A到平面PBC的距离为d，则413d16，∴d．

313

613

因为点F是AP的中点，所以点F到平面PBC的距离为．

13

16.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的两个顶点B2,4，C6,2．

（1）求边BC所在的直线方程；

（2）若BC边上中线AD的方程为9xy190，且ABC面积为33，求点A的坐标．

【答案】（1）3x4y100

（2）1,10或3,8

【解析】

【分析】（1）根据两点式方程，化简整理，即可得答案.

（2）先求得BC长，根据面积，可求得点A到直线BC的距离，结合点到直线距离公式，化简计算，即可得

答案.

【小问1详解】

y2423

由两点式方程得，整理得3x4y100．

x6264

【小问2详解】

22

∵BC622410，

d33

设Ax,y到直线BC距离为d，则1033，∴d．

25

3x4y1033

∴d，联立9xy190，

55

解得x1，y10或x3，y8，

∴A的坐标为1,10或3,8．

3

17.小明参加投篮比赛，每次投中的概率为，且每次是否投中相互独立．

4

（1）若规定连续两次未投中就停止投篮，求小明恰好投篮4次停止投篮的概率；

（2）求小明投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中的概率．

3

【答案】（1）

64

81

（2）

512

【解析】

【分析】（1）由相互独立事件同时发生的概率公式和互斥事件的加法公式即可求解；

（2）由相互独立性事件同时发生的概率公式和互斥事件的加法公式即可求解.

【小问1详解】

依题意有第3，4次没投中，第2次必中，则所求概率为

331113113

．

4444444464

【小问2详解】

记投中为√，不中为×，投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中情形有：

×√√×√，×√×√√，√×√√×，√××√√，√√×√×，√√××√，共6种．

32

3181

其概率为6．

44512

18.已知斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面A1B1BA是边长为2的菱形，且与底面ABC的夹

角为60，A1AB60，点O为AB中点．

（1）求证：平面ABC平面A1OC；

（2）求平面A1OB与平面A1OC1夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；

（2）213.

13

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.

（2）结合（1）中信息，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面A1OB与平面A1OC1法向量，再利用

面面角的向量法求解.

【小问1详解】

在斜三棱柱ABCA1B1C1中，由点O为ABC边AB中点，得COAB，

在菱形A1B1BA中，由A1AB60，得AA1B为正三角形，A1OAB，

而A1OCOO,A1O,CO平面A1OC，则AB平面A1OC，又AB平面ABC，

所以平面ABC平面A1OC.

【小问2详解】

由（1）知A1OC为侧面A1B1BA与底面ABC所成的角，则A1OC60，

由，得，则△为正三角形，

AA1ABACBC2A1OCO3A1OC

在平面A1OC内过点A1作A1DOC于D，由平面ABC平面A1OC，

平面ABC平面A1OCOC，则A1D平面ABC，过O作Oz//A1D，

则直线OB,OC,Oz两两垂直，以O为原点，直线OB,OC,Oz分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

33

则O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),A(0,,)，

122

33

OA(0,,),OB(1,0,0,),ACAC(1,3,0)，

12211

mACx3y0

11

设平面AOC的法向量为，则，取，得，

11m(x,y,z)33z1m(3,3,1)

mOAyz0

122

nOBa0

设平面的法向量为n(a,b,c)，则，取，得，

A1OB33c1n(0,3,1)

nOAbc0

122

|mn|4213

所以平面A1OB与平面A1OC1夹角的余弦值|cosm,n|.

|m||n|13213

19.设直线l1：x0，l2：4x3y0，过点P3,6斜率为k的直线l与l1，l2分别交于点A，B（A，

B纵坐标均为正数），O为坐标原点．

（1）求AOB面积的最小值；

MP

（2）设点Mx,y且满足2．

MO

①求点M的轨迹方程；

②若3x4ya123x4y为定值，求实数a的取值范围．

22

【答案】（1）12（2）①x1y220；②a11105

【解析】

【分析】（1）设l：ykx36，再得到点A，B，表示出AOB面积，再通过换元法求最值即可；

22

x3y6

（2）①依据题意2，再化简即可得到点M的轨迹方程；②设直线m：3x4ya0，

x2y2

3x4ya3x4y12

n：3x4y120，则T为定值，即该圆在两平行直线m，n之间，结合