广东署山市2026届高三数学下学期二模试题含解析

一、单选题

1．设集合A1,3,5,7，Bx|x210，则AB（）

A．0,2B．1,3C．5,7D．1,3,5,7

2．设向量a3,7，b5,8，则ab（）

A．5B．8C．15D．17

3．等差数列1，46，91，…，2026共有（）

A．44项B．45项C．46项D．47项

4．函数fxlnx3ln3x，则（）

A．fx是奇函数B．fx是周期函数

C．fx的最大值为2D．f2f1

5．在ABC中，AB2，BC31，A105，则ABC的面积为（）

2131

A．B．2C．D．3

22

2n

x

6．有一组样本数据1，x2，x3，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，y3，…，yn，其中yixjxi

nj1

（i1,2,3,,n）则两组样本数据的数字特征不一定相同的是（）

A．中位数B．极差C．平均数D．方差

7．设A,B是两个事件，则“PAPB1”是“A与B互为对立事件”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不是充分条件，也不是必要条件

8．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PA，PB，PC分别为圆锥的母线，PAPB，OPOA1，则

三棱锥PABC体积的最大值为（）

13

A．2B．C．3D．

6344

二、多选题

9．设z1，z2为复数，若z1z2i，则（）

1

z

A．z1z2B．1C．z1z22D．z1z2i

z2

2

10．在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l交抛物线C:y4x于Ax1,y1，Bx2,y2两点，交x轴

于点m,0（m0），则（）

A．AB42B．AOB135

C．y1y2的等差中项是2D．m是x1，x2的等比中项

11．从分别写有1,2,3,,mmN*的m张卡片中不放回随机抽取nnm次，每次取1张卡片，记第

n

ii1,2,3,,n次取出卡片的数字为ai，定义Fm为满足in，aii的不同情况数，则（）

3

1i

A．Fmm1B．F37

i1

nnnn1

C．FmmnD．Fn1n1FnnFn1（n2）

三、填空题

12．随机变量X服从正态分布N2,2，PX40.3，则PX0______.

13．在三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，A1C1CC1，A1B3，CC11，则异面直线A1B与CC1所成

角的余弦值为______.

x2y2

14．已知F1，F2分别为双曲线H:1的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足AFFB

4622

3

（0），cosAFB，则△AFB的内切圆半径为______.

151

四、解答题

π

15．已知函数fx4sinxcosx1（0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、

6

C、D为图象与x轴的交点，且ABC为等腰直角三角形.

(1)求fx的解析式，及fxm为偶函数时的最小正实数m；

(2)求ABAD的值.

16．近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处

理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布

的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图：

(1)用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是

多模态模型的概率；

(2)若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据ti,yi（i1，2，3，4，5，6，t11表示2025年1

66

2

月份，t26表示2025年6月份，…），计算得y53，ti352，tityiy116.

i1i1

（i）建立y关于t的线性回归方程；

（ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为y6.5lnt50.3，该区域的某家企业在2026年4月发布了1

残差

款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量Q，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该

预测值

款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由.

n

tityiy

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为bi1，，ln20.7.

n2aybt

tit

i1

17．如图，在三棱锥MABC中，△MAB与△MCB均为等边三角形，MB2.

(1)证明：ACMB；

(2)若点M到平面ABC的距离为1，求平面MAC与平面MAB夹角的余弦值.

1

18．已知函数fxaxbx2cosx，fx为fx的导函数，曲线yfx关于点π,0对称.

2

a

(1)求的值；

b

13

(2)xR，fxx恒成立.

π2

（i）求b的值并探究fx的零点个数；

π

（ii）若fmfn，且mn，证明：πmn2π.

2

19．椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.

x2y2

已知椭圆E:1（ab0）的左顶点为A2,0，点P1在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点

a2b2

F11,0发出的光线F1P1，经过E反射后，交E于点Q1.按照如下方式依次构造点Pn和Qn（n2,3,）：光

线PnQn经过E反射后，交E于点Pn1；光线Pn1Qn经过E反射后，交E于点Qn1.

(1)求E的方程；

(2)设直线APn的斜率为kn，求证：数列kn是等比数列，并求出其公比；

(3)求证：直线P1Q2恒过定点，并求出该定点的坐标.

参考答案

1．B

【详解】Bx|x210x|10x10，

A1,3,5,7，所以AB1,3

2．D

【详解】ab8,15，

所以ab6422517.

3．C

【详解】解：设等差数列an，公差为d，

d46145，an145n145n44，

又an45n442026，解得n46，

故等差数列1，46，91，…，2026共有46项．

4．D

x30

【详解】函数f(x)ln(x3)ln(3x)，定义域得x(3,3).

3x0

化简得f(x)ln(9x2).

选项A：f(x)ln(9(x)2)ln(9x2)f(x)，故f(x)是偶函数，不是奇函数，A错误.

选项B：假设f(x)是周期函数，则存在非零常数T，对任意x(3,3)，都有f(xT)f(x).

取x0，则f(T)f(0)ln9，即ln(9T2)ln9，得T0，与T0矛盾.

故假设不成立，f(x)不是周期函数，B错误.

选项C：取x0，则f0ln92ln32lne2，C错误.

2

选项D：f(2)ln92ln5,f(1)ln912ln8ln5，所以f(2)f(1)，D正确.

5．C

BCAB

【详解】由正弦定理得，

sinAsinC

62

2

2sin1052sin(4560)1，

sinC4

3131312

因为ABBC，所以CA，

则C30，B1801053045，

1131

ABC的面积为SABBCsinB2(31)sin45.

222

6．A

1n2n

【详解】由题意得：xxj，所以yixjxi2xxi，

nj1nj1

所以新样本数据y1，y2，y3，…，yn的平均数为

1n1n1n1n1

yyi2xxi2xxin2xxx，

ni1ni1ni1ni1n

所以平均数相同；

2

设样本数据x1，x2，x3，…，xn的方差为s，

2222

所以新样本数据y1，y2，y3，…，yn的方差为s11ss，所以方差相同；

设样本数据x1，x2，x3，…，xn，的中位数为M，

新样本数据y1，y2，y3，…，yn的中位数为2xM，

当样本数据x1，x2，x3，…，xn，的中位数为x时，

新样本数据y1，y2，y3，…，yn的中位数为2xxx，

所以中位数不一定相同；

设原始样本数据的最大值为xmax，最小值为xmin，则其极差为xmaxxmin.

由于yi2xxi，因此新样本数据的最大值为ymax2xxmin，最小值为ymin2xxmax，则其极差为

ymaxymin2xxmin2xxmaxxmaxxmin，

故两组样本数据的极差相同.

7．B

【详解】若A,B互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到PAPB1，故条件是必要的；

若试验基本事件含3种以上，其中A,B表示概率为1的两个不同事件，

2

如掷一枚均匀的骰子，令事件A为“点数为偶数”，事件B为“点数小于等于3”，

11

此时P(A),P(B)，满足PAPB1，

22

但事件A的对立事件为“点数为奇数”，与事件B不同，

故A与B不互为对立事件，故条件是不充分的.

综上，“PAPB1”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件.

8．B

【详解】因为POOA，OPOA1，故母线PAPBPCOA2OP22，

又PAPB，故ABPA2PB2222，故AB为底面圆直径；

11

对三角形ABC，设AB边上的高为h，则其面积SABh2hh1，

22

当且仅当C为弧AB的中点时取得最大值；

111

故三棱锥PABC体积VSOP11.

333

9．BD

【详解】对于A，易知当z11，z2i时，z1z2i，但z1z2i，故A错误；

1

对于B，z1z2i，z1z2z1z2=i1，则z1，故B正确；

z2

1

对于C，易知当z，z22i时，zzi，

1212

117

此时zz2i2，故C错误；

1222

对于D，z1z2i，z1z2z1z2=ii，故D正确.

10．ACD

【详解】直线l的方程为yxm，

yxm

y22

联立2消去可得x2m4xm0，

y4x

22

则0,x1x22m4,x1x2m，y1y24,y1y2x1mx2mx1x2mx1x2m4m，

对于A，由m0得，

22，故A正确；

AB1kx1x24x1x2216m1642m142

2

对于B，OAOBx1,y1x2,y2x1x2y1y2m4m，

令m4可得OAOB，此时AOB90，故B错误；

对于C，由y1y24可得y1y2的等差中项是2，故C正确；

2x

对于D，由x1x2m可得m是1，x2的等比中项，故D正确.

11．ABD

1

【详解】对于A，当n1时，Fm表示从1,2,3,,m中选1个数a1，且a11的不同情况数，

1

因此只能选2,3,,m，有m1种选法，即Fmm1，故A正确；

11

对于B，F3表示从1,2,3中选1个数a1，且a11的不同情况数，因此只能选2,3，有2种抽法，即F32，

2

F3表示从1,2,3中取2个数排列a1,a2，且aiii1,2的不同情况数，满足条件的情况有2,1，3,1，

2

2,3，即F33，

3

F3表示从1,2,3中取3个数排列a1,a2,a3，且aiii1,2,3的不同情况数，满足条件的情况有2,3,1，

3

3,1,2，即F32，

3

i123

因此F3F3F3F32327，故B正确；

i1

对于C，当m5,n2时，mn5210，

2

F5表示从1,2,3,4,5中取2个数排列a1,a2，且aiii1,2的不同情况数，

若选的两个数为1,2或1,3或1,4或1,5，则排列必为2,1或3,1或4,1或5,1，共4种情况，

若选的两个数为2,3或2,4或2,5，则排列必为2,3或2,4或2,5，共3种情况，

若选的两个数为3,4或3,5或4,5，则排列必为3,4，4,3或3,5，5,3或4,5，5,4，共6种情况，

2n

即F543613mn52，因此存在反例使得Fmmn不成立，故C错误；

n

对于D，Fn1表示从1,2,3,,n,n1中取n个数排列a1,a2,,an，且aiii1,2,,n的不同情况数，

n

①若第n1个元素未被选中，则从剩下的n张卡片中抽取n次，使得aiii1,2,,n，那么情况数为Fn，

②若第k1kn个元素未被选中，共有n种可能，此时第n1个元素必被选中，

n1

当第n1个元素排在第k位时，则剩余的n1个元素排在剩余位置错排，有Fn1种情况，

当第n1个元素不排在第k位时，由于第k个元素未被选中，可将第n1个元素化为第k个元素，转化为n个

n

元素的错排，有Fn种情况，

nnnn1nn1

因此Fn1FnnFnFn1n1FnnFn1，故D正确.

7

12．0.7/

10

【详解】因为随机变量X服从正态分布N2,2，所以PX4P(X0)0.3，

所以PX01P(X0)10.30.7.

31

13．/3

33

【详解】在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1//CC1，

所以异面直线A1B与CC1所成的角即BA1A或其补角，

因为A1C1//AC，A1C1CC1，所以ACCC1，

因为BCCC1，ACCC1，ACBCC，AC平面ABC，BC平面ABC，

所以CC1平面ABC，又AA1//CC1，所以AA1平面ABC，

因为AB平面ABC，所以ABAA1，

AA13

1

因为A1B3，AA1CC11，所以cosBA1A，

A1B33

π

因为异面直线所成角的范围是0,，

2

3

所以异面直线A1B与CC1所成角的余弦值为.

3

14．2

【详解】因为AF2F2B（0），所以A,B,F2三点共线，且F2位于A,B之间，

所以A,B均在双曲线的右支上，如图：

所以AF1AF22a4,BF1BF22a4,

设AF2m,BF2n，则AF1m4,BF1n4，

△222

在AF1B中，由余弦定理得ABAF1BF12AF1BF1cosAF1B，

2223

即mnm4n42m4n4，

5

展开并化简得mnmn4.

34

因为cosAFB，所以sinAFB1cos2AFB，

15115

114

所以SAFBFsinAFBm4n4

AF1B211125

222

mn4m4n16mn4mn4mn4mn2mn.

555

11

设△AFB的内切圆半径为r，则SAFBFABrm4n4mnr

1AF1B11

22

mn4rmnr，

由等面积法可得2mnmnr，解得r2.

ππ4

15．(1)fx2sinx，

463

(2)8

π

【详解】（1）∵fx4sinxcosx1，

6

31

∴fx4sinxcosxcosx1

22

23sinxcosx2cos2x1

3sinxcos2x

π

2sin2x，

6

T2π

由ABC为等腰直角三角形知，BC2yA4，所以T8，

22

πππ

得,fx2sinx.

846

πππππ

因为fxm2sinxm2sinxm为偶函数，

46446

πππ4

所以mkπ,kZ，得m4k,kZ，

4623

4

所以最小正实数m为.

3

πππππ

（2）令fx2，则x2kπ，kZ，即x2kπ，kZ，

46243

ππ44

取k0：x，即x，所以A,2.

4333

ππ22

令fx0，且B在A左侧，则x0，解得：x，故B,0，

4633

22222

且D在A右侧，周期T8，所以xD8，即D,0.

333

所以AB2,2,AD6,2，

所以ABAD2,26,21248.

3

16．(1)

7

(2)（i）yˆ1.62t41.93；（ii）该款大模型更有可能是语言模型.

【详解】（1）由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，

633

多模态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为.

1477

66

2

（2）(i)因为y53，ti352，tityiy116，

i1i1

t11表示2025年1月份，t26表示2025年6月份，所以t37,t48,t59,t611

1678911

所以t7，

6

662

222

(tit)ti6t3526758

i1i1

6

(tit)(yiy)

ˆi1116ˆ

所以b62，根据aybt531439，

258

(tit)

i1

所以y关于t的线性回归方程为：

yˆ2t39

(ii)已知2026年4月，则t16，计算多模态模型的预测值和残差，yˆ2163971，残差为：68713，

3

所以Q0.042.再计算语言模型的预测值和残差，y6.5ln1650.368.5，残差为：6868.50.5，

171

0.5

Q0.0072，所以QQ，所以根据Q值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可

268.512

能是语言模型.

17．(1)证明见解析

(2)6

3

【详解】（1）取AC中点O，连BO,MO，

由AMCM,BACB知MOAC,BOAC，

又BOMOO,BO,MO平面BOM，所以AC平面BOM.

因为MB平面BOM，所以ACMB.

（2）过M作MHBO交BO于H，则MH平面ABC，所以MH1.

又MB2，所以BH3,MBH30,MBO中，BOMO，

2326

由余弦定理可求得，BO，所以CO.

33

2332626

以O为原点，如图建系，B,0,0,M,0,1,A0,,0,C0,,0,

3333

46326

平面MAC中，AC0,,0,AM,,1，

333

设法向量为mx,y,z，则mAC0,mAM0.

46326

即y0,xyz0，令z1，所以m3,0,1.

333

2326

设平面的法向量为，,

MABnx1,y1,z1AB,,0

33

则nAB0,nAM0.

2326326

即xy0,xyz0，令y11，所以n2,1,6.

313131311

mn266

所以coscosm,n.

mn233

a

18．(1)2π

b

1

(2)（i）b，fx有3个零点；（ii）证明见详解.

2π

1

【详解】（1）对fx进行求导，得fxa2bxsinx，

2

又曲线yfx关于点π,0对称，fπ+xfπx0，

11

即a2bπ+xsinπ+xa2bπxsinπx0，

22

a

即a2bπ0，2π.

b

1

（2）（i）由（1）知，a2πb，fx2πb2bxsinx，

2

13113

若fxx恒成立，即hx2bxsinx2πb0恒成立，

π2π22

5

2bπ

11

若2b0，取x2，则hx1sinx0，不合题意，

0100

π2b2

π

1113111

若2b0，b，此时hxsinx10，故b的值为.a1,fxxsinx1，

π2π222ππ2

1111

记gxfxxsinx1，则gxcosx，

π2π2

π111

当x0,π时，gx单调递增，且g0,gπ0，

2ππ2

π

故存在x1,π，使得gx10，

2

1x11

当x,0时，1sinx0,0，fxxsinx10，无零点；

2ππ2

当x0,x1时，gx0，fx单调递减；当xx1,π时，gx0，fx单调递增，

ππ

又f0,fπ0，x,π时，fx有x一个零点，

22

3π

由对称性可得xπ,+时，fx有x一个零点，

2

综上，fx有3个零点.

22

x12πx1

（ii）fxxcosx，f2πx2πxcos2πxfx，

2π22π2

故fx的图像关于xπ对称，

π

由（i）得，当x,时，fx0，fx单调递增；

2

π

x,π时，fx0，fx单调递减，

2

3π3π

由对称性可知，xπ,时，fx单调递增；x,时，fx单调递减，

2