七年级上册科学记数法精讲｜大数小数 科学表达

1科学记数法的产生背景与核心定义演讲人科学记数法的产生背景与核心定义课程总结科学记数法的还原与基础运算绝对值小于1的小数的科学记数法表示绝对值大于10的大数的科学记数法表示目录七年级上册科学记数法精讲｜大数小数科学表达作为一名有着十年一线教学经验的初中数学教师，我今天将带领大家系统学习七年级上册的科学记数法内容。在日常教学中我发现，绝大多数同学刚接触宏观世界的大数、微观世界的小数时，都会遇到读写繁琐、零的个数数错、表达不规范的问题，科学记数法就是为了解决这类问题诞生的规范表达方法。本节课我们将从产生背景入手，由浅入深掌握大数、小数的科学记数法规则，理清常见易错点，最终学会运用科学记数法完成基础转换与运算，整体内容我们按逻辑分层展开。01科学记数法的产生背景与核心定义1科学记数法的产生背景我曾带领学生参观天文馆，在银河系展区看到标注：银河系中已观测到的恒星数量约为1000000000000颗。当时有同学数了半分钟才数清一共12个零，抄写的时候还少写了两个。而在生物实践活动中，我们测得人体红细胞的直径约为0.0000077米，同样需要反复确认小数点后的零的个数，稍微分心就会写错。实际上，无论是天文学中的天体距离、质量，微观物理学中的粒子直径，还是经济学中的国民经济数据，我们都会频繁遇到位数很多的大数或是绝对值很小的小数，直接读写不仅效率极低，还极易出错。为了简化这类数的表达，同时保证表达的统一性和准确性，科学记数法应运而生。2科学记数法的核心定义科学记数法的核心逻辑是通过10的幂次来替换大数末尾多余的零，或是将小数的前置零转换为指数，把任意一个需要简化的数表示为a×10^n的形式，这就是科学记数法的核心框架。无论我们后续处理大数还是小数，都要遵循这个统一框架，并且满足统一要求：1≤|a|＜10，n为任意整数。接下来我们先从大家更容易理解的大数开始学习。02绝对值大于10的大数的科学记数法表示1前置知识回顾：10的正整数次幂的规律要掌握大数的科学记数法，我们首先要回顾10的正整数次幂的规律：10^1=10，是1后面带1个零；10^2=100，是1后面带2个零；以此类推，10^n（n为正整数）的结果就是1后面带n个零，n是多少，就有多少个零。这个规律是我们拆分大数的基础，我要求所有同学都要记熟，这一步错了，后续所有转换都会出错。2大数转换的推导过程我们拿刚才天文馆的例子推导：1000000000000，我们可以把它拆成1×1000000000000，而1000000000000就是10^12，所以这个数就可以写成1×10^12，对比原来的写法，是不是简洁太多了？再举一个带多位非零数字的例子：123000000000，我们可以把它拆成1.23×100000000000，而100000000000就是10^11，所以最终结果就是1.23×10^11。从这两个例子我们就可以总结出通用规则。3大数转换的规则总结对于任意一个绝对值大于10的数，转换为科学记数法遵循以下两条规则：3大数转换的规则总结3.1a的确定将原数的小数点向左移动，直到得到的数满足1≤|a|＜10，这个数就是我们要的a。比如原数是-12500，小数点向左移动三位得到-12.5，仍不满足要求，再左移一位得到-1.25，满足1≤|-1.25|＜10，所以a就是-1.25。2.3.2n的确定这里给大家两种通用方法，大家可以选择适合自己的：第一种，数原数的整数位数，n等于原数的整数位数减1，比如123000000000一共12位整数，所以n=12-1=11，和我们之前推导的结果一致；第二种，看小数点向左移动了多少位，n就是多少，刚才123000000000的小数点从末尾移到1的后面，一共左移了11位，所以n=11，两种方法结果完全一致。4大数转换的常见易错点梳理从我多年批改作业的统计来看，大数转换最常见的错误有三类：第一类是a的范围不符合要求，很多同学习惯把123000写成12.3×10^4，或者0.123×10^6，这两种都不符合1≤a＜10的要求，属于不规范的科学记数法，必须调整为1.23×10^5才对；第二类是n计算错误，尤其是原数中间带零的情况，比如原数102000，一共6位整数，所以n=5，结果是1.02×10^5，很多同学会因为原数中间有一个零，错数成5位整数，得到n=4，这就是典型的数整数位数不认真导致的错误；第三类是带负号的原数丢了负号，比如-36000，转换后是-3.6×10^4，负号要保留在a前面，不能漏掉。掌握了大数的科学记数法表示之后，我们接下来把方法延伸到绝对值小于1的小数，这也是很多同学初学的时候最容易出错的部分，不过只要我们掌握了规律，其实和大数的逻辑是完全相通的。03绝对值小于1的小数的科学记数法表示1前置知识回顾：10的负整数次幂的规律我们之前学过负整数指数幂的定义：a^-p=1/a^p（a≠0，p为正整数），所以对于10的负整数次幂来说，10^-n=1/10^n，也就是0.00…01，小数点后一共有n-1个零，加上小数点前面的一个零，第一个非零数字1前面一共有n个零。比如10^-1=0.1，1前面有1个零（就是小数点前的那个零），所以n=1；10^-2=0.01，1前面有2个零，所以n=2，这个规律刚好和正指数反过来，大家可以对比记忆。2小数转换的推导过程我们拿红细胞直径的例子推导：0.0000077米，我们把它变形，0.0000077=7.7×0.000001，而0.000001就是10^-6，所以0.0000077就等于7.7×10^-6，对不对？再试一个：0.00105，变形为1.05×0.001=1.05×10^-3，完全符合规律，我们同样可以总结出通用规则。3小数转换的规则总结对于任意一个绝对值小于1的非零数，转换为科学记数法同样遵循a×10^n的框架，a的要求和大数完全一致：1≤|a|＜10，区别只在n的确定，n这里是负整数，n的确定也给大家两种方法：第一种，数原数中第一个非零数字前面所有零的个数，包括小数点前面的那个零，零的个数是m，那么n=-m，比如0.000012中，第一个非零数字1前面有5个零，所以n=-5，结果就是1.2×10^-5，完全正确；第二种，把原数的小数点向右移动，移动到第一个非零数字的后面，得到a，移动了多少位，n就是负多少，刚才0.000012小数点向右移了5位得到1.2，所以n=-5，和第一种方法结果一致。4小数转换的常见易错点梳理我统计过，初学小数科学记数法，错误率比大数高出一倍还多，最常见的错误有三类：第一类就是漏写n的负号，我去年带的一届学生，第一次作业里有超过40%的同学把0.00012写成1.2×10^4，忘记加负号，其实就是对负指数的意义理解不到位，只是记规则记混了，大家只要记住，绝对值小于1的小数，10的指数一定是负的，就可以避免这个错误；第二类就是数零的时候漏了小数点前面的那个零，比如0.012，第一个非零数字1前面有两个零（小数点前1个，小数点后1个，一共两个），所以n=-2，结果是1.2×10^-2，很多同学只数小数点后的1个零，得到n=-1，结果错了，大家一定要记住，要算上小数点前面的那个零；第三类同样是原数带负号的情况，-0.0023转换后是-2.3×10^-3，负号不能丢。4小数转换的常见易错点梳理我们现在已经掌握了把普通数转换为科学记数法的方法，那反过来，给出一个科学记数法的结果，我们怎么还原成原数？多个科学记数法表示的数怎么进行基础运算？我们接下来继续学习。04科学记数法的还原与基础运算1科学记数法还原为原数的方法还原其实就是转换的逆过程，我们根据n的正负分开说明：1科学记数法还原为原数的方法1.1n为正整数（大数还原）n是多少，就把a的小数点向右移动多少位，移动过程中位数不够就补零，移动完之后去掉多余的小数点就是原数。比如3.12×10^5，把3.12的小数点向右移5位，得到312000，就是原数。4.1.2n为负整数（小数还原）n的绝对值是多少，就把a的小数点向左移动多少位，位数不够补零，比如2.5×10^-4，把2.5的小数点向左移4位，得到0.00025，就是原数。2科学记数法的基础运算规则七年级阶段我们只需要掌握科学记数法的加减乘除基础运算，规则如下：2科学记数法的基础运算规则2.1加减法运算第一种方法，先把所有数还原成原数，计算完成后再转换成标准科学记数法；第二种方法，先把所有数的10的指数统一，然后把系数相加减，最后调整为标准形式。比如计算3×10^4+5×10^3，我们可以把3×10^4转换成30×10^3，然后30×10^3+5×10^3=35×10^3，再调整为3.5×10^4，就是最终结果。2科学记数法的基础运算规则2.2乘除法运算运算规则是系数相乘除，指数相加减，最后调整结果满足1≤|a|＜10的要求。比如(2×10^3)×(6×10^5)=(2×6)×10^(3+5)=12×10^8=1.2×10^9，再比如(8×10^5)÷(2×10^2)=(8÷2)×10^(5-2)=4×10^3，直接就是标准形式。3实际应用中的注意事项第一，带单位的数转换或者运算后，单位一定要保留，不能漏写，比如原数是300000千米，转换后是3×10^5千米，单位不能丢；第二，单位不统一的时候要先统一单位再转换，比如问300000千米等于多少米，就要先转换成300000000米，再转换为3×10^8米；第三，最终结果一定要调整到标准形式，也就是满足1≤|a|＜10的要求，不满足的一定要调整指数，不能直接写结果。05课程总结课程总结以上就是我们本节课对科学记数法的全部讲解，我们从科学记数法的产生背景出发，先学习了绝对值大于10的大数的科学记数法规则，再延伸到绝对值小于1的小数的科学记数法，最后掌握了科学记数法