人教A版必修第一册“函数的概念及其表示”深度教学设计

人教A版必修第一册“函数的概念及其表示”深度教学设计适用学段与学科：高一数学

文档类型标签：课时教案深度设计初高中衔接核心素养

核心亮点承诺：这份教案不打算面面俱到地抄教参，而是把我带过十几届高一、反复打磨过的一节“概念课”彻底拆给你看。这里面有如何用五个生活实例逼着学生自己把函数定义“重新发明”出来的详细对话，有处理“y=1是不是函数”这类疑难杂症的独家问法，有把抽象符号f(x)讲活的三个阶梯练习设计，还有一份可以直接复印给学生用的课堂活动单。所有环节的时间节点、过渡语、预设的学生错误全在里面，你拿着它就能进课堂。使用说明与痛点解决这份教学设计最适合正在准备“函数的概念”第一课时或前两课时的老师，尤其是发现自己讲得口干舌燥，学生眼神却越来越迷茫的那些同行。它要解决的核心痛点是：初中已经学了“变量说”，高中这个“对应说”到底怎么教，才能不让学生觉得是两套毫不相干的体系，而是自然生长出来的升级？怎么用效果最好？建议提前把“课堂活动单”印好，严格按照教案中的三个台阶走，不要在第一个台阶停留太久，重在让学生经历从具体到抽象的完整爬坡过程。本资料为经验分享，请根据本校、本班实际情况调整使用。一、课题与课型课题：函数的概念及其表示（人教A版必修第一册第三章3.1.1）

课型：新授课（概念教学）

课时安排：第1课时（共2课时，第1课时完成函数概念的建立及定义域、值域、对应关系的理解，第2课时重点处理函数相等和区间表示）二、教材位置与编写意图分析这一节位于人教A版必修第一册第三章的起始位置。从全书结构来看，前两章已经把集合和常用逻辑用语、不等式这两个语言工具和运算工具准备齐了。第三章开始，正式进入函数这个高中数学绝对的核心。教材把这个概念放在这里，用意很深。它不是想让你把初中的“变量说”全盘否定，而是借着学生已有的朴素理解，用刚学会的集合语言给它穿上一件更合身的衣服。仔细读教材你会发现，课本上先给了四个实例，用的是解析式、图像、表格三种形式，还特意留了一个“恩格尔系数”的表格例子。这个编排很讲究，就是要让学生在第一次接触时，就意识到函数不只是一个式子，它可以是一张表，也可以是一段图。我每次备课到这里都会感慨，编者的良苦用心，如果被我们三两句话带过去，实在是太可惜了。三、核心素养导向的教学目标根据课标和实际教学经验，我把这节课的目标定位为下面几条，不是写在教案上应付检查的套话，而是课堂上要真刀真枪去达成的。学生在完成本节课的学习后，能够做到：数学抽象：面对三个以上的具体对应关系实例，能用自己的话说出它们的共同特征，并逐步用集合语言和对应语言将其提炼为函数的一般概念，体会到从“变量说”到“对应说”是认识的深化，而不是颠覆。逻辑推理：能准确判断一个由解析式、图像或表格给出的对应关系是否为函数，并能有理有据地说明理由，尤其要能辨别“多对一”仍然是函数，而“一对多”不是。数学建模：能理解函数符号y=f(x)直观想象与数学运算：能从具体解析式中正确求出函数的定义域与值域，并初步体会定义域是研究函数的前提。四、教学重难点教学重点：函数概念的归纳过程与“对应说”的建立，尤其是对“任意”和“唯一确定”这两个关键词的理解。教学难点：对抽象符号y=f这个难点的突破，光靠讲是讲不透的，必须靠阶梯式的练习，让学生的手和脑一起动起来。后面我的教学过程里，专门设计了三个台阶来啃这块硬骨头。五、教学准备教师准备：五个生活实例的PPT（或板书卡片），课堂活动单（每人一份，模板附后），几道供学生板演的易错题。学生准备：提前复习初中函数定义的核心内容，回忆一次函数、二次函数、反比例函数的基础知识。我不建议让学生提前看书，概念的第一次冲击，最好留在课堂上。六、教学过程（含时间预设与师生互动设计）这部分是我整节课的重心，我按教学流程一步步写，包括我课堂上的真实问法和应对。环节一：情景引入——把五张“照片”摆出来（约8分钟）我走进教室，不写标题，先在黑板上或者PPT上同时打出下面五个实例。我跟学生说：“今天我们不着急讲新东西，先来看五个生活中的场景。”实例1：在咱们班，每个同学都有一个唯一的学号。把全班同学的名单看成集合A，把学号看成集合B。每个同学对应自己的学号。实例2：近三十年来，中国恩格尔系数的变化情况，年份和系数一一对应，见课本表格。实例3：北京市一天内某整点时刻的气温记录折线图。每个时刻t对应唯一的气温T。实例4：一个解析式y=实例5：（我特意会放一个“反例”）比如咱们年级几个同学的兴趣小组：小明参加了篮球和足球两个社团。如果把人看成A，社团看成B，这个“参加”的对应，一个人可以对应两个社团。我问第一个问题：“大家看，这五个场景，前四个和我们学过的什么数学概念很像？”学生肯定回答：“函数。”我接着问第二个问题：“那第五个场景呢？它和前面四个最核心的区别在哪儿？”这时候，肯定会有学生说：“不唯一了，一个人对应了两个。”这个“不唯一”的发现，就是今天这节课的眼睛。这个环节关键要慢，让学生自己看，自己比较，不要把结论塞给他们。我一般在这个环节说的话不多，就是反复问：“你发现了什么？不一样在哪里？”环节二：归纳概括——把“函数”重新发明出来（约15分钟）这是整节课的脊梁，必须做足功夫。我接着上面学生的回答追问：“非常好，前四个场景都有‘唯一对应’的特点。那我们能不能用我们刚学过的集合语言，把这个特点说得再准确一点呢？”我会带着学生，先把实例1解剖一遍作为示范。我会这样引导：“我们把‘全班同学’放在一起，就成了一个什么？”“一个集合。”“给它起个名字，叫集合A。”“那么所有的学号呢？”“另一个集合，叫B。”“你看，‘对应’这个词，在数学上我们用‘对应关系’这个说法。对于集合A里的任何一个同学，你能不能在集合B里找到他的学号？”“能。”“能找到几个？”“就一个。”这个时候，我转身在黑板上分三行写下：两个集合、一种对应、唯一确定。然后，我让学生四人一组，用我刚才解剖实例1的方法，去分析实例2、3、4，并用同样的模式把分析结果写下来。这个小组活动大约需要5到6分钟。我下去巡视的时候，重点看那些只写了“存在对应关系”而忘了强调“唯一”的小组，悄悄点一句：“一个人能有两个学号吗？”他们马上就明白过来。小组汇报之后，我做个总结：“大家看，虽然它们表达方式不同，有表格、有图、有式子，但骨子里都是一个东西。我们把这种东西，用数学的语言正式地给它下个定义。”这时，我才翻开课本，让学生一起看书上的定义。当他们看到“设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数”这段话时，心里已经不再发怵了，因为他刚刚自己把这个定义里的每一个要点都摸了一遍。环节三：概念精析——啃下f(x)这个硬骨头（约12分钟）这部分我用的是“三问”加“三练”的方式，是我摸索了好多年，感觉效果最稳的一套组合拳。第一问：“定义里这个f，是不是表示一个数？它是谁？”我通常会拿一个具体的函数来比喻，比如y=第二问：“那么f(2)是什么意思？”我在这里会特别强调，它不是一个静态的数，而是一个操作命令，它命令你把x=2第三问：“你再回头看，y=f(x)这个符号里，字母y和字母f(x)是什么关系？”这个问题很多老师会忽略，但恰恰是学生糊涂的地方。我会让他们自己得出结论：y和f(x)讲完这三问，马上跟进三个阶梯式的练习。练习就在我事先准备的课堂活动单上。练习一（依葫芦画瓢）：已知函数f(x)=x2−2x+3，求练习二（逆向思考）：已知函数g(x)=11−x练习三（理解本质）：判断下面这种写法是否正确：“若函数f(x)=环节四：返回定义——用三要素的观点看函数（约8分钟）处理完难点，我带学生再次回到定义，把定义域、值域、对应关系这三个要素明确出来。我会指着一个具体的例子，比如课本上的实例4，y=然后我会出一道多数学生都会犯错的题：“求函数y=1x−1最后，用一分钟，和学生一起回头看看我们初中熟悉的那些函数，用新的语言再描述一遍它们。比如，“正比例函数y=环节五：课堂小结与作业布置（约2分钟）小结我不自己说，我问学生：“今天这节课，我们做的最重要的一件事是什么？”让学生七嘴八舌地说。我要的是他们能说出“用集合和对应的眼光重新看函数”或者“弄清楚了f(x)到底是什么意思”之类的话。布置作业时，我会特意留一道必做题和一道思考题。思考题是：“已知集合A={1,2,3}，集合B={4,5}。请你创建一个从A到B的函数。你最多能创建几个不同的函数？”这道题把概念考察得既深又活，下节课花五分钟讨论，收效极好。七、板书设计我的板书向来分三大块，左侧、中部、右侧。左侧（概念建构区，逐层生成）：函数（初中：变量说→高中：对应说）两个非空数集（A，B）对应关系（f：A→B）——法则唯一确定（任意x→唯一y）函数三要素：定义域（原材料A）值域（产品集合）对应关系（加工法则f）中部（核心符号区）：y=f(x)——x叫自变量，y叫函数值

f(2)：把2扔进f机器右侧（例题演示区，可保留）：例：求定义域y=1x−1

解：x−1≠0且八、教学反思预留区（此区域供您课后手写或录入使用）我预见到学生最可能出现的问题：在抽象概括时，仍习惯用“x变了y就跟着变”的变量语言，难以主动切换到集合与对应的语言。对f(x)的理解停留在表面，后续遇到求定义域时，容易漏掉多个约束条件的交集，尤其是对数、根式、分母同时出现时。我计划在下节课采取的跟进措施：九、配套工具：课堂活动单这份是学生用的课堂活动单，印出来A4纸一人一张。§3.1.1函数的概念课堂活动单姓名：_______班级：_______日期：_______一、实例剖析请尝试用“集合与对应”的语言，分析以下实例：

实例2（恩格尔系数）：把____________看作集合A，把____________看作集合B。对于A中的________一个年份，在B中都有________确定的系数和它对应。

实例4（y=二、符号f(x)理解练习1.已知f(x)=2x2−1，求：

f(2.已知g(x)=2x+1解：3.若f(x)=2三、定义域初探求下列函数的定义域：(1)f(x(2)h(x(3)p(x我的疑问或发现：十、常见误区与避坑指南错误做法背后原因正确策略上课先给出高中函数定义，再拿例子去解释定义，全程老师自己讲。认为概念课就是下定义，学生记忆应用即可。忽视了概念的建构必须从学生已有的经验中生长出来。严格按照“实例感知→分析比较→归纳概括→形成定义→辨析应用”的顺序。把至少一半的课堂时间交给学生观察、讨论、汇报。老师的作用是引导和追问，不是宣读定义。在讲解f(x把新旧知识对立起来，人为制造认知混乱。用“小名和学名”或者“产品编号”来比喻，强调它们本质相同，但f(x在练习中，过早出现大量的抽象函数、复合函数求定义域和值域的难题。急于求成，想让学生一步到位应付考试，结果挫伤了对新概念本身的兴趣和信心。第一课时的练习必须紧扣“概念辨析”“符号理解”“简单定义域”三个核心，难度要小步子、密台阶。难题留到第二课时及之后的习题课处理。这个分寸感是维持学习热情的关键。十一、老教师的经验贴士我最后再叮嘱一句，这节课上得好不好，不看你的板书有多漂亮，也不看你讲得有多流畅，就看下课后学生的眼神。是兴奋地跑过来问你一个关于f(a)的怪问题，还是眼神空洞地合上书走了，这个差别就在课堂前二十分钟的“概念重构”是不是真的发生了。所以，千万别怕在环节二耽误时间。那个让学生自己解剖实例、自己归纳的过程，你哪怕多花五分钟，都是绝对值得的。有一年，我在