广东东莞外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

广东东莞外国语学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列求导运算正确的是（）A．(cosx)C．(lgx)2．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有A．24 B．30 C．40 D．603．函数y=fx点x0,y0A．−6 B．−3 C．3 D．64．已知随机变量X的分布列为PX=i=1A．15 B．25 C．355．已知an为等差数列，bn为等比数列，a1A．4 B．7 C．8 D．156．定义在R上的偶函数f(x)，其导函数f'(x)，当x≥0时，恒有x2f'A．(13，1) B．(−∞，1C．(13，+∞) D．(−∞，17．某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（）A．720 B．1480 C．1080 D．14408．若实数a、b、c、d满足eab=A．2 B．2 C．4 D．8二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．函数y=fx的导函数y=A．−3是函数y=fx的极值点 B．−2是函数y=fC．y=fx在区间−3, 1上单调递增 D．−1是函数y=f10．已知fxA．aB．fx的展开式中，所有含x的偶数次项的二项式系数和为C．f(−1)被7整除所得的余数是4D．a11．已知函数fx=eA．若函数fx有且仅有1个零点，则B．若函数fx有且仅有2个极值点，则a的取值范围是C．不存在a∈R，使函数fxD．若对∀x>0,fx≥0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色（全部用完）对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为.（用数字作答）13．2−xy(x+y)6的展开式中14．已知函数f(x)=x3−3x，若过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的3条切线，则实数t四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数fx（1）求函数fx（2）求函数fx在1,16．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acos（1）求角A的大小；（2）若a=21，△ABC的面积为3，求△ABC17．如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD，AB//CD，CD=PD=2AD=2AB=2，点E是棱PC上的动点，且PEPC（1）若λ=13，证明：PA//平面（2）若PB与平面BDE所成角的正弦值为23，求λ18．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为12，选择乒乓球的概率为13；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为23（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；（3）记甲第n(n∈N∗)天选择羽毛球的概率为Pn，请写出19．在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α(0<α≤π2)后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f（1）判断函数y=3x是否为“（2）已知函数fx=ln2x+1x>0（3）若函数gx=mx−1ex

答案解析部分1．【答案】C【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式【解析】【解答】解：对于A，(cos对于B，(3对于C，(lg对于D，(x故答案为：C．【分析】根据初等函数的导数公式及导数的乘法公式逐项判断即可.2．【答案】A【知识点】简单计数与排列组合【解析】【解答】解：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择，

则组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有2×4×3=24.

故答案为：A．【分析】根据分步计数原理求解即可．3．【答案】D【知识点】导数的几何意义；极限及其运算；导数的概念【解析】【解答】解：易知f'x0=3，则limΔx→0f4．【答案】C【知识点】互斥事件的概率加法公式；概率分布列【解析】【解答】解：由题意可得PX≥3故答案为：C.【分析】根据随机变量X的分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可.5．【答案】B【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比数列的性质；等差数列与等比数列的综合【解析】【解答】解：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为由题意可得1+d+q=51+2d+q2=9，解得则a4故答案为：B.【分析】设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q≠0)，由题意，利用等差、等比数列的通项列方程组，求出公差d与公比q，再利用等差数列的通项求6．【答案】A【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法【解析】【解答】解：函数g(x)=x2f(x)，当x≥0时，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[2f(x)+xf又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以g(x)是定义在R上的偶函数，由不等式g(x)<g(1−2x)，则有g(|x|)<g(|1−2x|)，所以|x|>|1−2x|，解得13则不等式g(x)<g(1−2x)的解集为(1故答案为：A.【分析】函数g(x)=x2f(x)，求导，由题意易知g'(x)=x[2f(x)+x7．【答案】D【知识点】排列、组合的实际应用；排列与组合的综合【解析】【解答】解：由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则主治医师的分配方案有2种，即“2+2+1”或“3+1+1”，当主治医师按照“2+2+1”分配时，主治医师的分法种数为C5再将4名实习医生按照“1+1+2”与之配成对应的三组，分法种数为C4最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A3根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为15×12×A当主治医师按照“3+1+1”分配时，主治医师的分法种数为C5再将4名实习医生按照“0+2+2”与之配成对应的三组，分法种数为C4最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为A3根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为10×6×A根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为1080+360=1440.故答案为：D.【分析】先将主治医生分组为“2+2+1”或“3+1+1”，再求对应的实习医生的分配人数，最后将三个组合分配到3个乡镇求解即可.8．【答案】A【知识点】导数的几何意义【解析】【解答】解：因为eab=c−2d−1=1，所以点P(a,b)在函数f(x)=e当函数y=f(x)的图象过P点的切线与直线y=x−1平行时，切点P到直线y=x−1的距离最小，也即为PQ=f'(x)=ex，由f'P(0,1)到直线y=x−1的距离为0−1−12=2所以a−c2+b−d【分析】由题可知点P(a,b)在函数f(x)=ex的图象上，点Q(c,d)在直线9．【答案】A,C【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件【解析】【解答】解：对于AC，根据导函数图象可知当x∈−∞,−3当x∈−3,1时，f'x≥0，当且仅当所以函数y=fx在−在−3,1上单调递增，故−3是极值点，故A、C正确；对于B，因为−2左右两侧导函数均大于0，故−2不是极值点，故B错误；对于D，因为−1左右两侧导函数均大于0，故−1不是极小值点，故D错误；

故答案为：AC.【分析】根据导函数y=f'x的图象，得到f'x10．【答案】A,B,C【知识点】简单复合函数求导法则；二项式系数的性质；二项式定理的应用【解析】【解答】解：对于A，令x=1，得a0令x=0，得a0=1，故对于B，所有含x的奇数次项的二项式系数和，与所有含x的偶数次项的二项式系数和相等，都为299对于C，f(−1)=3100=因为250对于D，2x−1100两边求导得100×2x−1再令x=1，得a1+2a【分析】利用赋值法，令x=1和x=0即可判断A的正确性；根据所有含x的奇数次项的二项式系数和与所有含x的偶数次项的二项式系数和相等，可判断B；由f−1=3100=11．【答案】A,B,D【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：对于A，显然0不是函数的零点，当x≠0时，令ex−ax令gx=exx令g'x=exx−2x3>0所以gx=exxg2=e直线y=a与其仅有一个公共点，则a∈0,对于B，f'x=函数fx有且仅有2个极值点，故h令hx=0得当x≠0时，ex−2ax=0变形为2a=e则q'x=exx−1x2，令q'故qx=exxq1=e，作出直线y=2a与其交于两点，则2a∈e,+∞，故对于C，结合B的分析，显然当a<0时，hx函数fx对于D，fx≥0，即ex−ax当x≠0时，ex−ax令gx=exx2，结合A的分析，当x＞0时，【分析】由参变分离得a=exx12．【答案】12【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用【解析】【解答】解：若AD同色，3种颜色（全部用完），有A3若BC同色，3种颜色（全部用完），有A3所以共有6+6=12种.

故答案为：12.

【分析】根据题意分AD同色或BC同色两种情况求解．13．【答案】24【知识点】二项式系数的性质；二项式系数【解析】【解答】解：二项式(x+y)6的展开式通项公式为T当r=4时，T5=C64因此展开式中含x2y4的项为2×15故答案为：24.【分析】根据二项式定理，结合通项公式求特定项的系数即可.14．【答案】(−6,2)【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：设切点为x0,x03−3x所以切线方程为：y−(x03所以t−(x03令g(x)=−2x3所以当x<0或x>2时，g'(x)<0，当0<x<2时，g'(x)>0，所以g(x)的极小值为g(0)=−6，极大值为g(2)=−2×2g(x)的草图如下：过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的3条切线等价于直线y=t与函数y=g(x)有三个交点，则−6<t<2，所以t∈(−6,2).

故答案为：(−6,2)【分析】设切点为x0,x15．【答案】（1）解：因为函数fx=−xlnx+2x+1的定义域是0,+∞令f'x>0，得0<x<e；令f则函数fx的单调递增区间为0,e，单调递减区间为e,+所以，函数fx的极大值为f（2）解：由（1）可知，fx在1,e上单调递增，在(e,所以fx则函数fx在1,e2因为f1=3,fe则函数fx在1,e2上的最小值为1，

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【分析】(1)先求出函数的定义域，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数fx的单调区间，进而得出函数f(2)根据(1)中函数的单调性和比较法，从而得出函数fx在1,（1）函数fx=−xlnx+2x+1的定义域是又f'x=1−lnx，令f'x>0，得故函数fx的单调递增区间为0,e，单调递减区间为e,+所以函数fx的极大值为f（2）由（1）可知，fx在1,e上单调递增，在(e,所以f所以fx在1,e2又因为f1=3,fe所以函数fx在1,e2上的最小值为116．【答案】（1）解：因为2acos由正弦定理可得2sin则2sin又因为A∈0,π，则sinA≠0，可得即cosA=−12（2）解：因为△ABC的面积为12bcsin由余弦定理可得a2即21=b+c2−8+4所以△ABC的周长为a+b+c=21【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互换，结合恒等变形化简得cosA=−12（2）由题可得bc=4，再利用余弦定理求得b+c=5，进而得到△ABC的周长即可.（1）因为2acos由正弦定理可得2sin则2sin又因为A∈0,π，则sinA≠0，可得即cosA=−12（2）因为△ABC的面积为12bcsin由余弦定理可得a2即21=b+c2−8+4所以△ABC的周长为a+b+c=2117．【答案】（1）证明：连接AC交BD于点F，连接EF，如图所示：

因为AB∥CD且CD=2AB，所以ABCD因为λ=13，所以PEPC=1又因为EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE；（2）解：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则B1,1,0,C0,2,0，P(0,0,2)，DB因为PEPC=λ(0<λ<1)，所以所以DE=设平面BDE的一个法向量n=则n⋅DB=0n⋅DE=0由题意可得cosn→,PB⃗=2λ63【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）连接AC交BD于点F，连接EF，根据平行线等分线段定理，结合线面平行的判定定理证明即可；（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.（1）如图连接AC交BD于点F，连接EF因为AB∥CD且CD=2AB，所以ABCD因为λ=13，所以所以AFAC=PE又因为EF⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA//平面BDE（2）如图建立空间直角坐标系，则B1,1,0,C0,2,0则DB=1,1,0，因为PEPC=λ(0<λ<1)，所以所以DE=设平面BDE的一个法向量n=则n⋅DB=0n⋅DE=0所以cosn,PB=2λ所以λ的值为2318．【答案】（1）解：设事件A1,A则A1∪A依题意，P(A1)=P(且B2由全概率公式得P(B（2）解：由贝叶斯公式，得所求概率为P(A（3）解：设甲第n(n∈N∗)天选择羽毛球的概率为Pn，甲第由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为13，得Rn=从而选择篮球的概率为Sn当n≥2时，由全概率公式，得Pn的递推关系为P而Rn−1=13，Sn−1【知识点】数列的递推公式；概率的应用；全概率公式；贝叶斯公式【解析】【分析】（1）设事件，利用全概率公式计算求解即可.（2）直接贝叶斯公式计算求解即可.（3）设甲第n(n∈N∗)天选择羽毛球的概率为Pn，甲第n(n∈N（1）设事件A1,A则A1∪A依题意，P(A1)=P(且B2由全概率公式得P(B（2）由贝叶斯公式，得所求概率为P(A（3）设甲第n(n∈N∗)天选择羽毛球的概率为Pn，甲第由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为13，得Rn=从而选择篮球的概率为Sn当n≥2时，由全概率公式，得Pn的递推关系为P而Rn−1=13，Sn−119．【答案】（1）解：不是，理由如下：

函数y=3x不是“π6旋转函数”，理由如下：y=3x逆时针旋转π6后与y轴重合，