小升初数学讲义

第一章有理数

课题：L1正数和负数〔1〕

【学习目标】：1、掌握正数和负数概念；

2、会区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数；

3、体验数学开展是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。

【重点难点】：正数和负数概念

【导学指导卜一、知识链接：

1、小学里学过哪些数请写出来:、、。

2、阅读课本匕=幅图〔重点是三个例子，边阅读边思考]

答复下面提出的问题：

3、在生活中，仅有整数和分数够用了吗？有没有比。小的数？如果有，那叫做什么数？

二、自主学习

1、正数与负数的产生

〔1〕、生活中具有相反意义的量

如：运进5吨与运出3吨；上升7米与卜.降8米；向东50米与向西47米等都是生活中遇到

的具有相反意义的量。

请你也举一个具有相反意义量的例子：。

〔2〕负数的产生同样是生活和生产的需要

2、正数和负数的表示方法

〔1〕一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，

如：卜.降、运出、零3支出、后退、低于等规定为负的。正的量就用小学里学过的数表示，

有时也在它前面放上一个〔读作正〕号，如前面的5、7、50;负的量用小学学过的数前

面放上“一”〔读作负〕号来表示，如上面的一3、一8、-47O

〔2〕活动两个同学为一组，一同学任意说意义相反的两个量，另一个同学用正负数表示.

〔3〕阅读P3练习前的内容

3、正数、负数的概念

1〕大于0的数叫做，小于0的数叫做。

2〕正数是大于0的数，负数是的数，。既不是正数也不是负数。

【课堂练习上

1.P31,2〔直接做在课本上〕。

2.小明的姐姐在银行工作，她把存入3万元记作+3万元，那么支取2万元应记作,-4万元表

/Ko

]3

3.以下各数：一一，一2一，3.14,+3065,0,-239;

54

那么正数有;负数有o

4.以下结论中正确的选项是...................................〔〕

A.0既是正数，又是负数B.O是最小的正数

c.0是最大的负数D.0既不是正数，也不是负数

5.给出以下各数：-3,0,+5,-3g,+3.1,一!，2004,+2023;

22

其中是负数的有..........................................〔〕

A.2个B.3个C.4个D.5个

【要点归纳卜

正数、负数的概念：

〔1〕大于。的数叫做，小于。的数叫做。

〔2〕正数是大于0的数，负数是的数，。既不是正数也不是负数。

【拓展训练卜

1.零F15C,表示为,比低4C的温度是________

2.地图上标有甲地海拔高度30米，乙地海拔高度为20米，丙地海拔高度为-5米，其中最高处

为地，最低处为地.

3,“甲比乙大-3岁”表示的意义是_____________________o

4.如果海平面的高度为。米，一潜水艇在海水下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方1。米处游

动，试用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度。

【总结反思卜这节课我学到了

还有不很清楚的地方

需要仔细的地方

课题：L1正数和负数〔2〕

【学习目标】：

1、会用正、负数表示具有相反意义的量；

2、通过正、负数学习，培养学生应用数学知识的意识；

【学习重点】：用正、负数表示具有相反意义的量；

【学习难点上实际问题中的数量关系;

【导学指导】

一、知织链接.

通过上节课的学习,我们知道在实际生产和生活中存在着两种不同意义的城，为了区分它们,我们用

和来分别表示它们。

问题怎么理解：“零既不是正数也不是负数呢？

引导学生思考讨论，借助举例说明。

参考例子:温度表示中的零上,零下和零度。

二.自主探究

例(1)一个月内,小明体重增加2kg,小华体重减少1kg,小强体重无变化，写出他们这个月的体重

增长值；

解：(1)这个月小明体重增长，小华体重增长，小强体重增长

2)2001年以下国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是：

美国减少6.4%,德国增长1.3%,

法国减少2.4%,英国减少3.5%,

意大利增长0.2%,中国增长7.5%.

写出这些国家2001年商品进出口总额的增长率；

2)六个国家2001年商品进出口总额的增长率：

美国___________________德国___

法国英国

意大利中国__________

【课堂练习】

1.课本第4页练习

【要点归纳】

1、本K课你有那些收获？

2、还有没解决的问题吗？

【拓展训练】

1]甲冷库的温度是-12°C,乙冷库的温度比甲冷酷低5°C,那么乙冷库的温度是；

2]一种零件的内径尺寸在图纸上是9士0.05（单位:mm）,表示这种零件的标准尺寸是9mm，加工要求最

大不超过标准尺寸多少?最小不小于标准尺寸多少？

课题：有理数

【学习目标】：

1、掌握有理数的概念，会对有理数按一定标准进行分类，培养分类能力；

2、了解分类的标准与集合的含义；

3、体验分类是数学上常用的处理问题方法；

【学习重点】：正确理解有理数的概念

【学习难点】：正确理解分类的标准和按照一定标准分类

【导学指导】

一、温故知新

1、通过两口课的学习,，那么你能写出3个不同类的数吗？.（4名学生板书）

二、自主探究

问题1:观察黑板上的12个数，我们将这4位同学所写的数做一卜.分类;

该分为JL类，又该怎样分呢？先分组讨论交流，再写出来

分为类，分别是：

引导归纳：

统称为整数，统称为有理数。

问题2:我们是否可以把上述数分为两类？如果可以，应分为哪两类？

师生共同交流、归纳

2、正数集合与负数集合

所有的正数组成集合，所有的负数组成集合

【课堂练习】

1.把以下各数填入它所属F的集合的圈内：

1213

15,—,-5,—,—,0.1.-5.32,-80,123,2.333;

9158

正整数集合负整数集合

正分数集合负分数集合

【要点妇炳上

有理数分类

‘正整数

正整数

正有理数4整数，零

正分数

负整数

有理数零或者有理数,

'负整数正分数

负有理数分数，

负分数负分数

【拓展训练】

1、以下说法中不正确的选项是...............]

A.-3.14既是负数，分数，也是有理数

B.0既不是正数，也不是负数，但是整数

c.-2000既是负数，也是整数，但不是有理数

D.。是正数和负数的分界

2、在下表适当的空格里画上号

【总结反思】：

1在进行有理数分

类的时候要注意些

有理数整数分数正整数负分数自然数

什么？

2上面两种分类你

-8是

都记住了吗？互相

提问记忆。理解每种

分类各持-2.25是什么标准。

七年级±(1.1

5是

正数和负数,

0是

1.2有理数）

一、填空:

1、吐鲁番盆地海拔高度为一155米的意义是：

2、前进了3米记作+3米，那么后退5米记作：.

3、气球上升10米，记作+10米，那么一3米表示,

不升不降记作：_______________________

4、某班男生平均身高165cm,假设高于平均身高记为正，低于平均身高记为负，

甲、乙的身高分别记为-3cm,+4cm,那么甲比乙矮cm。

71

5、以下各数+6,-0.25,-2,210,一3—，0,3.14中，正数有

95

负整数有,分数有。

6、给一2005赋予实际意义：—

7、“一只手表一昼夜的时间误差不超过±5秒”这句话的含义是：____________o

8、体育课上，对七年级男生进行引体向上的测试，以能做6次为标准，超过的

次数用正数表示，缺乏的次数用负数表示，其中8名男生的成绩分别为：2,

—1>0>3,-2»—3»1.0,那么这8名男生的达标率是：。

二、选择题

9、某天温度上升了一4℃的意义是()

A、上升了4℃B、没有变化C、下降了4CD、下降了一4七

10、以下说法中错误的选项是()

As一个正数的前面加上负号就是负数B、不是正数的数一定是负数

C、0既不是正数，也不是负数

D、正负数可以用来表示具有相反意义的量

11、巴黎与北京的时差为一7(正数表示同一时刻比北京时间早的小时数)，如果

北京时间是5月3日10：00,那么巴黎时间是()

A、5月3口3：00B、5月3口17：00

C、5月2日13：00D、5月4日10：00

12、以下说法中正确的选项是()

A、正数和负数统称为有理数

B、有理数是指整数、分数、正有理数、负有理数和。五类

C、一个有理数不是整数，就是分数

D、整数包括正整数和负整数

13、一潜水艇所在的高度是一100米，一条鲸鱼在它上方20米处，鲸鱼所在的

高度是()A、一120米B、80米C、-80米D、20米

三、解答题

14,把以下各数填在相应的集合中：

113

一3,一，3.6,—3—，0,+235,-0.75,+3,-2005,+—，76

5210

正数集合：｛),负数集合：｛)

整数集合：｛),分数集合：｛)

负整数集合：｛｝,非负数集合：｛)

15、请将以下数值填入相应的圈内：

2-,5,0,L5,+2,—3。你能说出这两个圈的重叠局部表示为数的集合吗？

2

iF数集合整数集合

16、从西向东走7m记作+7m,有一个人从A地先走+20m,再走一15m,又走

+16m,最后走一23m,请说明此人所在的位置与A处相距多少米？在A

处什么方向上？

17、把以下各数进行适当的分类(至少两种分类方法)：

八74

—3.5,一,—4,0,1.6,7,——,+15,—3.1

23

18、5分钟内背过5个单词为过关，超过的记为正，现有五名同学的记录如下：一3,0,+1,+2,

-1

(1)这五个人中有几个人过关？

(2)他们分别背过了几个单词？

(3)记录中的五个数都属于哪类有理数？

19、观察下面一列数，然后与同伴一起探求规律：

11111

―1»—,——,—,——,—,...

23456

(1)写出紧接后面的三个数；

(2)第2005个数是什么？

(3)如果这一-列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？

(4)1,2,一3,-4,5,6,—7,-8……写出这列数的第100个和第2005个

数分别是。

20、有1号，2号，3号，4号运发动得了运动会800米赛跑的前4名，小记者

采访他们各自的名次，1号说：“3号在我前面冲向终点。"另一名得第三名

的运发动说：“1号不是第四名"。小裁判员说：“他们的号码与他们的名次

都不相同。"你能知道他们的名次吗？

课题：数轴

【学习目标】：1、掌握数轴概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系；

2、会正确地画出数物，利用数轴上的点衣示有理数；

3、领会数形结合的直嘤思想方法；

【重点难点】：数轴的概念与用数轴上的点表示有理数；

【导学指导】

一、知识链接

1、观察F而的温度计，读出温度分别是。C、°C、°C;

2、在一条东西向的马路上,有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树

和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一

情境？

东

汽车站

请同学们分小组讨论，交流合作，动手操作

二、自主探究

1、由上面的两个问题，你受到了什么启发？能用立线上的点来表示有理数吗？

2、自己动手操作，看看可以表示有理数的直线必须满足什么条件？

引导归纳：

1〕、画数轴需要三个条件，即、方向和长度。

2］数轴

【课堂练习】

1、请你画好一条数轴

2、利用上面的数轴表示以下有理数

92

1.5,—2,2,—2.5.一,—,0;

23

3、写出数轴上点A,B,C,D,E所表示的数：

三、寻找规律

1、观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？

2、每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？

3、进一步引导学生完成P9归纳

【要点妇纲卜

画数轴需要三个条件是什么？

【拓展练习】

312

1、在数轴上,表示数-3,2.6,一二,0,4；,-2；,-1的点中，在原点左边的点有个。

533

2、在数轴上点A表示-4,如果把原点O向正方向移动1个单位，那么在新数轴上点A表示的数是()

A.-5,B.-4C.-3D.-2

3、你觉得数轴上的点衣示数的大小与点的位置有什么关系？

总结反思

1什么事数轴

2怎么画数轴

3你会把一个有理数表示到数轴上去吗？

4你会写出数轴上的一个点所对应的有理数吗？

5数轴上的点表示出的有理数的大小与点的位置有什么关系？

课题：1.2.3相反数

【学习目标】：

1、掌握相反数的意义；

2、掌握求一个数的相反数；

3、体验数形结合思想；

【学习重点】：求一个数的相反数；

I学习难点]：根据相反数的意义化简符号。

I导学指导】

一、温故知新

1、数轴的三要素是什么？在下面画出一条数轴：

2、在上面的数轴上描出表示5、一2、一5、+2这四个数的点。

3、观察上图并填空：数轴上与原点的距离是2的点有个，这些点表示的数是；与原点的距离是

5的点有个，这些点去示的数是。

从上面问题可以看出，一般地，如果a是一个正数，那么数轴上与原点的距离是a的点有两

个，即一个表示a,另一个是，它们分别在原点的左边和右边，我们说，这两点关于原点对称。

二、自主学习

自学课本第9,10、，的内容打填空：

1、相反数的概念

像2和一2、5和一5、3和一3这样，只有不同的两个数叫做互为相反数。

2、练习

〔1〕、2.5的相反数是，一1"和是互为相反数，的相反数是2023;

[2]、a和互为相反数，也就是说，a是的相反数

例如a=7时，-a=-7,即7的相反数是一7.

a=-5时，-a=一〔一5〕，“一〔一5〕"读作”一5的相反数"，而一5的相反数是5,所以，

-C-5]=5

你发现了吗，在一个数的前面添上一个“一”号，这个数就成了原数的

〔3〕简化符号：一(+0.75)=,-(-68)=,

—(—0.5)=,—(+3.8)=;

〔4〕、0的相反数是.

3、数轴上表示相反数的两个点和原点的距离。

【课堂练习】P10第1、2、3题

【要点归纳】：

1、本节课你有那些收获？

2、还有没解决的问题吗？

【拓展训练】

1.在数轴上标出3,-1.5,。各数与它们的相反数。

2.-1.6的相反数是,2x的相反数是,a-b的相反数是；

3.相反数等于它本身的数是,相反数大于它本身的数是；

4.填空：

(1)如果a=-13,那么一a=;

(2)如果出=-5.4,那么a=;

(3)如果一x=-6,那么x=;

(4)-x=9,那么x=;

5.数轴上表示互为相反数的两个数的点之间的距离为10,求这两个数。

课题：绝对值

【学习目标】：

1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义；

2、掌握求一个数的绝对值和有理数大小比拟的方法；

3、体验运用直观知识解决数学问题的成功；

【重点难点】：绝对值的概念与两个负数的大小比拟

【导学指导】

一、知识链接

问题：如以下图

小红和小明从同一处。出发，分别向东、西方向行走10米，他刃行走的路线〔填相同或不相同〕,

他们行走的距离〔即路程远近〕

二、自主探究

1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，一10到原点的距离也是

到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对。

这时我们就说10的绝对值是10,-10的绝对值也是10;

例如，一3.8的绝对值是3.8;17的绝对值是17;-6；的绝对值是

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作lai。

2、练习

〔1〕、式子I-5.7|表示的意义是。

〔2〕、一2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作；

〔3〕、I24|=.|—3.1I=,I—1I=,I0|=;

3、思考、交流、归纳

由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；

0的绝对值是。

用式子表示就是：

1〕、当a是正数〔即a>0〕时，Ia|=;

2〕、当a是负数〔即a<0〕时，IaI=;

3〕、当a=0时，IaI=;

4、随堂练习P12第1、2大题〔直接做在课木上〕

5、阅读思考，发现新知

阅读P12问题一P13第12行，你有什么发现吗？

在数轴上我示的两个数，右边的数总要左边的数，

也就是：

1〕、正数0,负数0,正数大于负数“

2〕、两个负数，绝对值大的。

【课堂练习】：

1、自学例题P13〔教师指导〕

2、比拟以下各对数的大小：一3和一5;—2.5和一I—2.25I

【要点归纳卜

一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；

0的绝对值是。

【拓展练习】

1.如果|一27|=-勿，那么。的取值范闹是...................〔〕

A.a>OB.a>OC.«<OD.a<O

2.国=7,那么x=;|-A|=7,那么x=.

3.如果〃>3,那么卜一3|=，|3-4=.

4.绝对值等于其相反数的数一定是...........................〔〕

A.负数B.正数C.负数或零D.正数或零

5.给出以下说法:

①互为相反数的两个数绝对值相等；②绝对值等于本身的数只有王数；

③不相等的两个数绝对值不相等；④绝对值相等的两数一定相等.

其中正确的有........................................CJ

A.0个B.1个C.2个D.3个

【总结反思卜

1.2.1有理数测试

♦根底检测

1、、和统称为整数；和统称为分数；

、、、和统称为有理数；

和统称为非负数；和统称为非正数；.

和统称为非正整数；和统称为非负整数；

有限小数和无限循环小数可看作；无限不循环小数称为0

2、以下不是有理数的是（）

A、—3.14B、0C、一D、n

3

3、既是分数又是正数的是（.）

A、+2B、-4-C、0Ds2.3

3

•拓展提高

】、以下说法正确的选项是（）

A、正数、0、负数统称为有理数B、分数和整数统称为有理数

C、正有理数、负有理.数统称为有理数【>、以上都不对

2、-a一定是（r）

A、正数B、负数C、正数或负象D、正数或零或负数

3、以下说法中，错误的有()

4

①-22是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0：,④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小

7

的有理数：⑥T是最小的负整数。

A、1个B、2个C、3个D.、4个

4、把以下各数分别填入相应的大括号内：

自然数集合｛…｝:

整数集合｛…｝;

正分数集合｛…｝:

.非正数集合｛-｝：

右.理数集合｛…｝:

5、简答题：

⑴T和。之间还有负数吗?如有，请列举。

(2)-3和T之间有负整数吗？-2和2之间有哪些整数？

(3)有比-1大的负整数吗？有比1小的正整数吗？

(4)写出三个大于T05小于700的有理数。

1.2.2数轴

根底检测

92

1、画出数轴并表示出以下有理数：1.5,-2,2,-2.5,乙,一士,0.

23

2、以下数轴的画法正确的选项是()

f十-1--------►----------[--------►--tT-^i--------►—b--1r―

ABCD

3、在数轴上表示-4的点位于原点的边，与原点的距离是个单位长度。

4、比拟大小，在横线上填入或。

10：0-1：-1-2：-5-3：-2.52.5.

拓展提高

1、数轴上与原点距离是5的点有个，表示的数是。

2、x是整数,并且-3VxV4,那么在数轴上表示x的所有可能的数.值有°

3、在数轴上，点A、B分别表示-5和2,那么线段AB的长度是。

4、从数轴上表示T的点出发，向左移动，两个单位长度到点B,那么点B表示的数是,再向右移

动两个单位长度到达点C,那么点C表示的数是o

5、数轴上的点A表示-3,将点A光向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点到原

点的距离是个单位长度。

6、在数轴上P点表示2,现在将P点向右移动两个单位长度后再向左移动5个单位长度，这时P点必

须向移动个单位到达表示-3的点。

体验中招

1、在数轴上表示-2的点离开原点的距离等于()

A、2B、-2C、±2D、4

2、有理数a、b在数轴上的位置如下图，那么a、b的大小关系是(.)

---------------->

A^a<bB、a>bC^a=bD、无法确定I/i

b0a

1.2.3相反数

根底检测

1、-(+5)表示的相反数，即-(+5)=；

-(-5)表示的相反数，即-5)=。

2、-2的相反数是______；上的相反数是______;Q的相反数是______。

7

3、化简以下各数：

3

-(-68)=-(+0.75)=-(--)=

5

-(+3.8)=+(-3)=+(+6)=

4、以下说法中正确的选项是()

A、正数和负数互为相反数B、任何一个数的相反数都与它本身不相同

C、任何•个数都有它的相反数D、数轴上原点两旁的两个点衣示的数互为相反数

拓展提高：

1、-(-3)的相反数是。

2、数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6,,点A在点B的左边，那么点A、B表示

的数分别是。

3、a与b互为相反数，b与c互为相反数，且c=-6,那么a=。

4、一个数a的相反数是非负数，那么这个数a与0的大小关系是a0.

5、数轴上A点表示-3,B、C两点表示的数互为相反数，且点B到点A的距离是2,那么点C表示的数

应该是。

6、以下结论正确的有()

①任何数都不等于它的相反数；②符号相反的数互为相反数；③表示互为相反数的两个数的点到原点的

距离相等：④假设有理数a,b互为相反数，那么a+b=O：⑤假设有理数a,