《线性代数（第7版）》第四章 矩阵的特征值

第四章矩阵的特征值1本章将围绕矩阵的特征值与特征向量展开，主要内容包括：特征值和特征向量的定义、计算与性质；矩阵可相似对角化的定义和判定条件；向量的内积运算，以及向量组的正交化方法、实对称矩阵的正交相似对角化；矩阵级数的敛散性.

2§4.1

矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值定义4.1说明：(1)特征值问题是针对方阵而言的；(2)特征向量必须是非零向量；(3)特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ.

3特征值与特征向量的计算方法：即要求齐次线性方程组有非零解，故方程的根就是矩阵A的特征值，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是：其系数矩阵的行列式等于零，即齐次线性方程组的非零解就是属于特征值λ的特征向量.4称为矩阵A的特征多项式，

称为矩阵A的特征方程.

定义4.25计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下：6例1设求A的特征值与特征向量.解所以A的特征值为

相应齐次线性方程组的基础解系为7相应齐次线性方程组的基础解系为8例2解9相应齐次线性方程组的基础解系为10相应齐次线性方程组的基础解系为11例3解12相应齐次线性方程组的基础解系为13相应齐次线性方程组的基础解系为14例4求n阶数量矩阵的特征值与特征向量.解所以A的特征值为

15是零矩阵，所以任意n个线性无关的向量都是的基础解系.取n个基本单位向量作为基础解系，于是A的全部特征向量为16例5证.(1)在上式两边左乘A，得

(2)

17例5(3)

18例6证.此例也可叙述为：n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它的任意特征值不为零.

19对角阵、上三角阵、下三角阵，它们的特征值即为主对角元.

20定理4.1证.从而有相同的特征值.注意：二、特征值与特征向量的基本性质21定理4.2证.22由λ的任意性可知23定理4.3用数学归纳法证明.

证当m=1时，由于特征向量不为零，因此定理成立.

24上面两式相减可得

属于各个特征值的线性无关的特征向量合在一起仍然线性无关.

推广25定理4.4证.26而展开式中其余各项最多只含有主对角线上的n-2个元素.因此，展开式可写成27例7解28已知A有特征值λ1=1,λ2=2，设矩阵求x的值和A的另一个特征值λ3.根据定理4.4，有§4.2相似矩阵与矩阵对角化一、相似矩阵及其性质定义4.3对于n阶方阵A和B，若存在n阶非奇异方阵P，使得

成立，则称A与B相似,记为例如29矩阵的“相似”关系具有以下特性：(1)反身性：(2)对称性：证(3)传递性：证30相似矩阵的性质：定理4.5如果n阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值.证.31即A,B有相同的特征多项式，所以它们有相同的特征值.注意：特征值相同的矩阵不一定相似.但它们不相似，因为与

I相似的矩阵只有它自己，因为对任意可逆阵P，(3)

相似矩阵都可逆或都不可逆.当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似.32(2)相似矩阵的行列式相等.利用定义4.3，我们可以证明相似矩阵还具有下列性质.(1)相似矩阵有相同的秩.证.证.A,B同时可逆或不可逆,可逆时它们的伴随矩阵也相似.只证(3)，其余证明留作练习.(1)(2)(3)(4)(5)(6)33其它性质.补例解34二、矩阵与对角矩阵相似的条件

n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.定理4.6相似矩阵具有很多共同的性质，因此，对于n阶矩阵A,我们希望在与A相似的矩阵中寻求一个较简单的矩阵，比如对角矩阵.若矩阵A可与一个对角阵相似,称该矩阵A可(相似)对角化.

证(必要性)设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆阵P,使35必要性得证.36(充分性)37

注意：这个条件是充分的而不是必要的.38A与对角矩阵3940如果n阶矩阵A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化.41例1解42相应齐次线性方程组的基础解系为43相应齐次线性方程组的基础解系为4445一般来说，求矩阵的高次幂比较困难，但若矩阵A能对角化，即存在可逆阵P，使得注意.

把矩阵A先对角化再求Ak,是计算矩阵的幂的方法之一.三、关于约当形矩阵的概念

在n阶矩阵J=(aij)

中，如果定义4.4由定理4.7可知，并不是所有n阶矩阵都可与对角矩阵相似，但所有矩阵都可与一种很简单的矩阵——约当形矩阵相似.下面将介绍有关约当形矩阵的概念和一些定理，但对定理不予证明.

46则称

n阶矩阵J

为约当块.中Ji(i=1,2,…,s)都是约当块，则称J为约当形矩阵.

如果一个分块对角矩阵的所有子块都是约当快，即47例如都是约当块.48例如都是约当形矩阵.对角矩阵可以看成每个约当块都是一阶的约当形矩阵.

对任意一个n阶矩阵A，都存在一个n阶可逆矩阵T,使得T-1AT=J，即任意一个n阶矩阵A都与n阶约当形矩阵J相似.(证明略)定理4.849例如，矩阵所以它不与对角矩阵相似，但它与约当形矩阵§4.3实对称矩阵的特征值和特征向量一、向量内积定义4.5

在

Rn

中，设向量实数

50向量的内积具有如下基本特性：51定义4.6例如，52向量的长度也称为向量的范数.向量的长度具有如下性质：

(证略)53长度为1的向量称为单位向量.54二、正交向量组

定义4.7例1

零向量与任何向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.55补例解将其单位化，得

56定义4.857例2一般地，可引入下面的定义和定理..中的基本单位向量是两两正交的，即

定理4.9证.与上式两端作内积，得

58上述定理说明：一个向量组线性无关是该向量组为正交向量组的必要条件.但定理显然不是可逆的.59若已知Rn中线性无关的向量组则可以生成正交向量组并使这两个向量组可以相互线性表示.由一个线性无关的向量组生成满足上述性质的正交向量组的过程,一般称为将该向量组正交化.将一个向量组正交化可以应用施密特正交化方法.施密特正交化方法的步骤如下:施密特正交化方法60例3将向量组正交化.解61利用施密特正交化方法，令62不难验证，三、正交矩阵

定义4.9

若

n阶实矩阵

Q

满足

则称

Q为正交矩阵.例如,

单位矩阵

I是正交矩阵.设矩阵所以Q是一个正交矩阵.63例如，在平面解析几何中，两个直角坐标系间的坐标变换公式为

写成矩阵形式为

64正交矩阵的基本性质：

(3)若

P

与

Q

都是

n

阶正交矩阵,则

PQ

也是

n

阶正交矩阵.证所以

P

Q是正交矩阵.65定理4.10

n阶矩阵

Q

为正交矩阵的充分必要条件是

Q的列(行)向量组是单位正交向量组.

证所以即Q的列向量组是单位正交向量组.利用即得行向量组的证明.66Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：(4)Q的列向量是两两正交的单位向量；(5)Q的行向量是两两正交的单位向量.67小结

四、实对称矩阵的特征值和特征向量

实对称矩阵的特征值都是实数.定理4.11并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化.证(证明略)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量是正交的.定理4.12设A为实对称矩阵，α1,α2分别是A的对应于不同特征值λ1,

λ2的特征向量.于是68设n阶实对称矩阵A有m个互不相同的特征值λ1,λ2,…,λm,其中λi为A的ki重特征值(i=1,2,…,m),且k1+k2+…+km=n.可以证明：对于A的ki重特征根λi,A恰有ki个对应于特征值λi的线性无关的特征向量(证明略).利用施密特正交化方法把这ki个特征向量正交化,正交化后的ki个向量仍是A的对应于特征值λi的特征向量.由于A的对应于不同特征值的特征向量相互正交,于是我们可求得k1+k2+…+km=n个正交化的特征向量组,把这些特征向量单位化,它们仍是正交向量组.把所得单位正交向量组排成矩阵Q,则Q是正交矩阵,且Q-1AQ=QTAQ

为对角矩阵.因此有下面的定理：69定理4.13(证明略)具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵A的全部特征值；(2)若特征值是单根，则求出一个特征向量，并加以单位化；

若特征值是重根，则求出重数个线性无关的特征向量，然后用施密特正交化方法化为正交组，再将每个向量单位化；(3)将这些两两正交的单位特征向量按列排成一个矩阵，就得到了正交矩阵Q.70例4解71再单位化，然后按列排成一个矩阵72例5解特征向量73利用施密特正交化方法，将α1,α2正交化.

令74得特征向量则有75§4.4矩阵级数的敛散性一、向量序列与矩阵序列的极限概念1.向量序列的极限设给定一向量序列

76其中如果每个分量序列都有极限，即例1设向量序列77例2设向量序列782.矩阵序列的极限设给定一矩阵序列

其中如果每个元素序列都有极限，即例3

矩阵序列793.向量无穷级数的敛散性设称为Rn中的向量无穷级数；如果其部分和序列80如果都收敛，则向量无穷级数(4.4)收敛，否则，向量无穷级数式(4.4)发散.显然，如果向量无穷级数式(4.4)对应的分量所构成的数项级数例4

向量无穷级数81例5

向量无穷级数4.

矩阵无穷级数的敛散性设

82称为矩阵无穷级数，如果其部分和序列

二、关于矩阵序列极限的几个定理定理4.1483条件是：证.84(2)如果A与对角矩阵不相似，则由A与约当形矩阵相似，也可以证明定理成立.(证明略).

85解.

由此可知A的特征值是0.9和0.4.因为两个特征值的绝对值都小于1，所以电网稳定.定理4.1586定理4.16方阵级数证.

87在等式即于是，三、应用举例——投入产出平衡方程组的讨论88其中A为报告期的直接消耗系数矩阵.对于已知的y,上面的方程是否有非负解x,矩阵I-A是否可逆等问题尚未解决.现在，我们利用本节的定理可以给出肯定的结果.在投入产出模型中，当各部门的最终产品yi

(i

=1,2,…,n)已知时，需求解产品分配平衡方程根据定理4.2，矩阵A的所有特征值的模小于1，即89根据定