《线性代数（第7版）》第五章 二次型-new

第五章二次型12

本章主要介绍二次型的定义和矩阵表示,二次型的标准形、规范形的定义,以及如何用配方法、正交变换或矩阵的初等变换化二次型为标准形,并在此基础上学习二次型与对称矩阵的正定性及其应用.3§5.1二次型与对称矩阵一、二次型及其矩阵在解析几何中，二次曲面的一般方程是它的二次项是一个二元二次齐次多项式.在讨论某些问题时，常遇到n元二次齐次多项式.4定义5.1的一个n元二次型.本课程只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型.

(5.1)

5于是上述二次型可以写成如下求和形式

67引入n阶矩阵则上述二次型可以用矩阵形式表示为

矩阵A称为二次型的矩阵.

8表示二次型(5.1)，称它为二次型(5.1)的矩阵形式.对称矩阵A的秩称为二次型(5.1)的秩.我们常用

事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是一一对应的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质.

9例如，二次型

的矩阵是10例如，二次型

的矩阵A是所以r(A)=3，即二次型的秩等于3.11

12解最优消费的核心逻辑是花在两种商品上的每一元钱带来的效用增量相等,即二次型

U

的矩阵是咖啡的边际效用为面包的边际效用为边际效用是效用函数对消费量的偏导数,反映多消费一单位商品带来的效用增量.13可得取整可知消费5杯咖啡、10个面包正好可以消费完100元,效用为67.5.若多喝一杯咖啡,需要少买两个面包,此时效用为65.2;若少喝一杯咖啡,可以多买两个面包,此时效用是59.2.14二、线性变换在解析几何中，为了确定二次方程

所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：

15定义5.2

关系式

记则上述线性变换可以写成矩阵形式：16C称为该线性变换的矩阵.

如果C为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换.

容易验证，转轴公式是一个正交变换.17设

是两个n元变量，则当线性变换易证，B也是对称矩阵.如果线性变换x=Cy是非退化的，具有形式：式(5.1)的一个标准形.18例2

将二次型

解由于标准形是平方项的代数和，可以通过配方法将二次型改写成化为标准形.

因此只需令192021

例2是通过配方法间接找到非奇异矩阵C.一般来说，这种方法较麻烦，后面将介绍用初等变换和正交变换的方法求矩阵

C.

可见，要把二次型化为标准形，关键在于求出一个非奇异矩阵

C，使得

CTAC是对角矩阵.

22定义5.3可见，二次型式(5.1)的矩阵A与经过非退化线性变换x=Cy得出的二次型的矩阵CTAC是合同的.例如，本节的例2中有23矩阵的合同关系具有以下性质：(1)反身性：(2)对称性：(3)传递性：AAABBAABBCAC24§5.2二次型与对称矩阵的标准型25一、用配方法化二次型为标准形定理5.1任何一个二次型都可以通过非退化线性变换化为标准形.证对二次型式(5.1)进行以下步骤：26272829因此，任何一个二次型按照以上步骤化为标准形时，每一步所经过的线性变换都是非退化的，所以总可以找到一个非退化的线性变换化二次型式(5.1)为标准形.由定理5.1显然可得下面的定理5.2.30定理5.2对任意一个对称矩阵A,存在一个非奇异矩阵C,使得CTAC为对角形（称这个对角矩阵为A的标准形），即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.例1A所对应的二次型为：解31323334二、用初等变换法化二次型为标准形

35例2求非奇异矩阵C，使CTAC

是对角矩阵.解36因此37例3求一个非退化的线性变换，化下列二次型为标准形.解此二次型对应的矩阵为3839因此所以，令40三、用正交变换法化二次型为标准形

而由正交矩阵的性质

因此这样的正交

41证因为A是实对称矩阵，由定理4.13可知，一定存在正交矩阵Q,使得因此新二次型为做正交变换x=Qy,所得到的新二次型的矩阵为QTAQ,42用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：43例4用正交变换将二次型

解化为标准形，并求所作的正交变换.二次型的矩阵为以及正交矩阵44于是所求正交变换为标准形为45例5已知二次型

解二次型的矩阵为46单位化后拼起来，即得所求正交变换x=Q

y

的矩阵为47四、二次型与对称矩阵的规范形

将二次型化为平方项的代数和的形式后，如果有必要，可重新安排变量的次序（这也是一个非退化的线性变换），使这个标准形化为以下形式例如本节例3，再令48我们常对标准形的各项符号感兴趣,通过非退化的线性变换这种形式的二次型称为二次型式(5.1)的规范形.因此有下面的定理.49定理5.4正负惯性指数的差

称为二次型的符号差.把规范形中正项个数p称为二次型或二次型矩阵的正惯性指数，把负项个数q=r–p称为二次型或二次型矩阵的负惯性指数.r是二次型的秩.定理5.4指明，任何合同的对称矩阵都具有相同的规范形凡二次型都可通过非退化的线性变换化为规范形，且规范形是由二次型本身决定的唯一形式，与所作的非退化的线性变换无关.(后一论断证明略)50定理5.5

A为任意对称矩阵，如果该定理说明，合同的对称矩阵具有相同的正惯性指数和秩.51§5.3二次型与对称矩阵的有定性定义5.4如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型.

设

A

为实对称矩阵，对任意非零向量x=(x1,x2,…,xn)T，52例1二次型所以这个二次型是正定的，其矩阵In是正定矩阵.例2

二次型可写成所以这个二次型是半负定二次型，其矩阵是半负定矩阵53例3

二次型定理5.6正定矩阵，所以设A是正定矩阵，如果A合同于B，则B也是正定矩阵.证.由A合同于B可知，存在可逆矩阵C使得CTAC=B.这说明B也是正定矩阵.54定理5.7对角矩阵(必要性)D是正定矩阵，即对任意非零向量是正定矩阵的充分必要条件是：

证x=(x1,x2,…,

xn)T都有55(充分性)对任意非零向量x=(x1,x2,…,

xn)T，至少有从而D为正定矩阵.56

对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵C，使得

即A合同于单位矩阵.推论1

矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数p=n.这是因为定理5.8推论2

矩阵A为正定矩阵，则|A|>0.注意：反之，结论未必成立，例如但A不是正定矩阵.57定理5.9

对称矩阵A正定的充分必要条件是A的所有特征值都是正数.根据定理5.3，必存在正定矩阵Q，经过正交变换后二次型f可以化为标准形证

对称矩阵A对应的二次型为58定义5.5设有n阶矩阵称为A的k阶主子式.

而子式

A的子式59称为A的k阶顺序主子式.

60定理5.10证（必要性）61（充分性）假设对n-1元二次型充分条件成立，需证对应的n元二次型为正定二次型.62正定即可，即只需要证明该二次型的各阶顺序主子式(1)63

64根据半正定(半负定)矩阵的定义，可以得到类似于正定矩阵有关条件的结论.注意：一个实对称矩阵A的顺序主子式全大于零或等于零时，A未必是半正定的.65例如，三阶对称矩阵的顺序主子式为

但A并不是半正定矩阵.实际上，A对应的二次型为

66解例4

判别二次型是否为正定二次型.二次型对应的矩阵为

它的顺序主子式为：

因此

A是正定的，

即二次型

f正定.

67解例5

求当λ

设取何值时，下列二次型为正定二次型.

故当λ

>5时，该二次型为正定二次型.

二次型的矩阵为A的各阶顺序主子式为：

68也是正定阵，若

A为正定矩阵，则方法二若A

为正定矩阵，则存在非奇异矩阵C,使得例6证方法一若

A是正定矩阵，则69§5.4正定性和负定性的一个应用由多元函数的泰勒公式知我们利用二次型的有定性，给出多元微积分中关于多元函数极值的判定法的一个充分条件.7071是否为有定矩阵.我们称这个矩阵为f(x)在点x0处的n阶海塞矩阵，其k阶顺序主子式记