微积分第六版 第1章 函数

1微积分2在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的卓越胜利了（恩格斯）3同时发明了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。

微积分(Calculus)是一门以变量为研究对象、以极限方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题，就产生了微分学；应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生了积分学。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹4第一章函数第一章函数5一集合的概念第一节集合把一些确定的、彼此不同的事物作为一个整体来看待时，这个整体便称为是一个集合。组成集合的那些个体称为集合的元素。下面举几个集合的例子。例1

26个英文字母。

例2例3全体偶数。

例46集合的确定性：某个元素要么属于某个集合，要么不属于某个集合，二者必居其一且只居其一。通常用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合的元素。如果a是集合A的元素，则记作a

A，读作a属于A；如果a不是集合A的元素，则记作

a

A，读作a不属于A。由有限个元素构成的集合称为有限集，如例1、例2；由无限多个元素构成的集合称为无限集，如例3、例4

。“很小的数”，“全体好学生”，不构成集合。7常见数集的记号：

自然数集整数集有理数集正整数集实数集例如：2Î

N，2.5

N，-3

N，2.5Î

Q，-3ÎZ。

二集合的表示法通常集合的表示有两种方法：

(1)列举法：按任意顺序逐一列举集合中的元素于花括号内，元素之间用逗号隔开。(2)描述法：给定一个条件

P(x)，当且仅当元素

a

使P(a)成立时，aÎ

A。其一般形式为A={a|P(a)}。例如上述集合B={a|aÎ

N且4

a

8}又如例如：A={2,a,b,

9},B={4,5,6,7,8}9几点说明：1、集合中的元素互异；2、集合中的元素无次序和大小之分；4、集合中的元素不一定同类；5、集合中的元素也可以是集合。3、集合中的元素是确定的，即可以判断其是否属于某一集合；{清华大学全体高个子}？例如：{1，A，COMPUTER，浙江}10BA集合以及集合间的关系可以用如下的图形表示，称为文氏图。文氏图是用一个平面区域表示一个集合，如下图所示。集合内的元素用区域内的点表示。BAU11三全集与空集不含任何元素的集合称为空集，记为Ø。在研究某一问题时，如果所讨论的集合都是某一集合的子集，则称此集合为全集，记作U.在欧几里得几何中，平面上两条平行线的交点集合为空集。12四子集如果集合A的元素也是集合B的元素，则称B包含A，或称A是B的子集，记作：如果A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集，记作BA如果集合A和B互相包含，即A

B且B

A，则称A和B的相等，记作A

=B。13

关于子集有下列结论：

14五集合的运算1、并集例如，则基本性质：BAU152、交集例如，则基本性质：BAU16例14

设A={1，2，3，4}，B={3,4,5,6}，则例15例16

设A为某外贸公司会英语的人的集合，B为会日语的人的集合，则17例17AB183、差集例如，R-

Q表示全体无理数组成的集合。基本性质：BAUABU例194、补集其中U为全集。例如，则基本性质：AU例20设参加考试的学生为全集U，A表示及格的学生集合，20集合元素的计数问题：定义集合A中所含元素的个数称为集合A的基数，记作|A|。

容斥原理：设A,B

为有限集，则特别，如果(称为分离的)则21例21某地区有100家智能制造工厂，其中，80家工厂生产甲种高端智能机床，以集合A表示这些工厂；61家工厂生产乙种高端智能机床，以集合B表示这些工厂；55个两种高端智能机床都生产。试用集合表示下列各类工厂，并计算出各类工厂的数目：(1)生产甲种机床而不生产乙种机床的工厂；(2)生产乙种机床而不生产甲种机床的工厂；(3)甲、乙两种机床至少生产其中一种的工厂；(4)甲、乙两种机床都不生产的工厂。22解23六集合运算律交换律：结合律：分配律：摩根律：24例1

证明摩根律证明25例1

证明摩根律或证26例22利用集合运算律证明证明：由分配律(I)可知27七

集合的笛卡尔乘积

定义28定义例23例2429例25

设R为实数集，则笛卡尔直角坐标系的坐标平面可记作例26它表示平面直角坐标系中一个矩形区域：30类似地，可以定义

例27

31第二节实数集一实数与数轴实数有理数无理数整数分数(无限不循环小数)正整数零负整数实数与数轴上的点是一一对应的。有理数:其中p,q为既约整数,且数轴32二绝对值设x为一实数，则其绝对值定义为几何意义：|x|表示数轴上点x(不论x在原点左边还是右边

)到原点的距离。|a

-

b|表示数轴上两点a和b之间的距离。33绝对值的基本性质：34另外：35三区间开区间闭区间设a,b为实数，且a<b36左开右闭区间左闭右开区间37无限区间38四邻域记作39记作

课外练习4041第三节函数关系二函数关系集合D称为函数的定义域，也可记为D(f).42注意：例如，是定义在R上的一个函数，它的值域是43判断下列各对函数是否相同？

不同(定义域不同)不同(对应规则不同)相同不同(定义域不同)=|

x

|确定函数的两要素：定义域和对应规则。44函数表示:常用表格法、图形法和解析法来表示.例1

某城市一年中某种商品各月的销售量(单位：吨)如下表所示上表表示了该城市某种商品销售量s随月份t变化的函数关系.该函数关系是用表格表示的，定义域为D={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}45例2

某河道的一个断面图如下图所示，其深度y与岸边一点O到测量点的距离x之间的对应关系由下图中的曲线表示.这里深度y是测距x的函数，该函数关系是用图形表示的，其定义域为D=[0,b]46

47三函数记号

48

解：

49

解：

解：50

解：

51四函数的定义域定义域的确定：(1)根据实际问题；(2)自然定义域：使算式有意义的一切实数值。如何求函数的自然定义域？(a)分式的分母不等于零；

(b)偶次根号内的式子应大于或等于零；

(c)对数的真数应大于零；

(e)若函数的表达式由多项组成,则定义域为各项定义域的交集；(f)分段函数的定义域是各段定义域的并集。52例8

求下列函数的(自然)定义域。

因此，函数的定义域为解即定义域为53因此，函数的定义域为54五隐函数但有时不易或不能显化，如Kepler方程：

两个分支，多值函数。55第四节分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数。注意：分段函数在其定义域内表示一个函数，而不是几个函数。56常见的分段函数：1)绝对值函数572)符号函数583)取整函数y

=

[x][x]表示不超过x的最大整数.12345-2-4-4-3-2-1-1-3xyo1234594)正部函数(也称ReLU函数)该函数刻画了一种典型的阈值机制：输入未达临界值时输出为零，超过临界值后为线性增长.60例9解61例10解62第五节建立函数关系的例题例1某企业对某产品制定了如下的销售策略：购买不超过20公斤，每公斤10元；购买不超过200公斤，其中超过20公斤的部分，每公斤7元；购买超过200公斤的部分，每公斤5元。试写出购买量为x公斤的费用函数C(x).

解63例2

某智慧工厂A与铁路的垂直距离为a公里，它的垂足B到火车站C的铁路长为b公里，工厂的产品必须经火车站C才能转销外地。已知汽车运费是m元/吨公里，火车运费是n元/吨公里(m>n),为使运费最省，想在铁路上另修一小站M作为转运站，那么运费的多少决定于M的地点。试将运费表示为距离|BM|的函数。BMCA

b

x

a设|BM|=x，运费为y。其定义域为[0,b]。解根据题意，有于是64例3设某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设产品均匀投入市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费为c元。试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系。设批量为x，库存费与生产准备费的和为P(x)。定义域为(0,a]中a的正整数因子。

每年生产的批数为

a/x,每年生产准备费为

b·a/x,解每年平均库存量为

x/2,每年库存费为

c·x/2,因此65例4

某工厂生产某产品，每日最多生产100单位。它的日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6元。求该厂日总成本函数及平均单位成本函数。解

设日总成本为C，平均单位成本为`C，日产量为x.

由于日总成本为固定成本与可变成本之和。根据题意，日总成本函数为

C=C(x)=130+6x，D(C)=[0,100]；平均单位成本函数为66例5某品牌手机定价为2800元，每月售出6000部。降价期间，每部优惠200元，每月销量上升400部。请据此求该品牌手机需求对价格的线性函数。

解设需求对价格的线性函数关系为

（Q为需求，p为价格，a,b为常数）

67例6某企业生产防雾霾口罩，生产每只口罩的单位成本为16元，每天的固定成本为3000元，设每只口罩的出厂价为22元，该企业每天至少生产多少只口罩才能盈利？

解设每天口罩产量为

x，由题意，

即每天至少生产500只以上的口罩，企业才能盈利。68第六节函数的几种简单性质一函数的奇偶性偶函数偶函数的图形关于y轴对称。yxox-x

69奇函数

奇函数的图形关于原点对称。yxox-x

70例1判断下列函数的奇偶性：

偶函数非奇非偶偶函数奇函数奇函数奇函数71解所以f(x)为奇函数。例272例3是偶函数；而是奇函数。证明是容易的。由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和：73二函数的周期性(通常周期函数的周期是指其最小正周期).注意：并非任意周期函数都有最小正周期。74例4

证：75三函数的单调性76

注意：有教科书中称单调增加(减少)为严格单调增加(减少)，称单调不减(不增)为单调增加(减少).77例如,函数y=x

3在(-

,+

)内单调增加。函数

y

=

x

2

在(-

,0)内单调减少；在(0,+

)内单调增加。

78四函数的有界性M-Mba

79因为存在

M

=1，使对任意x

(-

,+

)，有|sinx|

1，所以y=sinx是(-

,+

)内的有界函数。例如，y

=sinx有界吗?80解例581第七节反函数与复合函数一反函数定义

设函数y=f

(x)的定义域为D(f)，值域为Z(f).如果对于每个y

Z(f)，存在唯一的x

D，使f

(x)=y，则称x是一个定义在Z(f)

上的函数，称为

y=f

(x)的反函数，记为x=f–1(

y

)。此时也称函数y

=f

(x)与函数x

=f–1(y)互为反函数.

8283将x与y互换，就得所求反函数为例1

求y

=

3x

–1的反函数。解84例如，在(-

,+

)内，y

=

x2

不是一一对应的函数关系，所以它没有反函数。一个函数若有反函数，它必定是一一对应的函数关系.

在(0,+

)内y

=

x2有反函数

在(-

,0)内，y

=

x2有反函数

x-x

y85例2解86二复合函数87注意复合次序：

复合可以多次进行。例89例的复合。例5三个函数的复合。重要问题：把一个复杂的函数分解为几个简单函数的复合运算或四则运算。90第八节初等函数基本初等函数：1、常数函数

常函数的定义域为(-

,+

)，图形为平行于x轴,在y轴上截距为C的直线。

91

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数92

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数93

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数94

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数95

幂函数的定义域随a而异，但不论a为何值,它在(0,+

)内总有定义。幂函数图形都经过(1,1)点。常见的幂函数及其图形：

2、幂函数963、指数函数

定义域为(-

,+

)，值域为(0,+

)，都通过点(0,1),当a>1时，函数单调增加；当0<a<1时，函数单调减少。974、对数函数

对数函数是指数函数y=ax的反函数,定义域为(0,+

),图形通过(1,0)点,当a>1时,函数单调增加；当0<a<1时,函数单调减少。98正弦函数余弦函数

y

=

sinx与y

=

cosx的定义域均为(-

,+

)，均以2p为周期。y

=

sinx为奇函数，y

=

cosx为偶函数。它们都是有界函数。5、三角函数99定义域: