微积分第六版 第2章 极限与连续 (2.6-2.8)

1第六节两个重要极限一极限存在的准则

证2例1解说明:该定理也称作夹逼定理或两边夹定理,可帮助计算一些函数或数列的极限.3例2解4例3解由定理2.11得5判定数列极限存在的准则6定理2.12(准则II)定理2.12的几何解释：78二两个重要极限xy19证10此外，对一切实数x成立，等号当且仅当x=0时成立。补充基本不等式：等号当且仅当x=0时成立。11于是12例4解13例5解14例5解15分析：e极限/graphing/kqygxjww从图表看出:该数列的变化趋势是稳定的,极限存在.16严格证明：17比较两个展式的各项,可知1819以e为底的对数称为自然对数，

可以证明，相应的函数极限有

或

2021例7解“凑重要极限”法练习22例8解练习23例9分析:补充命题:(后续可以证明)24解:25练习解练习解原式26假设我们考虑1年定期存款，利率为100%，初始存款(称为本金)为1元。利率设为100%仅仅是为了便于计算，我们完全可以将其推广到真实的利率，例如5％。若一年结算一次，则年终时本利和为(1+100%)1

=

2元；若半年结算一次，利率降为50%，则年终时本利和为(1+50%)2

=

2.25

元；若每月结算一次，则年终时本利和为(1+1/12)12

=

2.61303529

元；若每天结算一次，则年终时本利和为(1+1/365)365

=

2.714567

元；三复利和贴现问题27每天结算一次：(1+1/365)365

=

2.714567

元；可以想见，若复利一次的时间再细分下去，这个数值会越来越大。问题是，我们的钱会无限增多吗？答案是否定的。随着

n

的增大，(1+1/n)n的值虽然不断增大，但增大的速度却变得越来越慢。前面已证，当

n

的无限增大时，(1+1/n)n

的极限就是无理数e。每小时结算一次：(1+1/8760)8760

=

2.718128

元；每分钟结算一次：(1+1/525600)525600

=2.718279元；每秒结算一次：(1+1/31536000)31536000

=

2.7182817元；28

一般情形

29若计息次数m趋于无穷大，即利息随时计入本金(称为连续复利)，则t年末的本利和为30已知现值求将来值，称为复利问题；已知将来值求现值，称为贴现问题.公式(2.13)在生物医学、经济等领域都有重要应用.31例10某科技公司计划发行一种5年零息债券,每份债券在到期日(即第5年年末)一次性兑付1万元.假设当前市场年利率为4.5%,按连续复利计息.为使投资者获得与市场一致的回报率，该公司当前每份债券应如何定价？解零息债券不支付中间利息,仅在到期日一次性支付面值1万元,该金额为连续复利下的将来值.该问题即是由将来值计算现值.

即该公司当前每份债券的公平价格应约为7985元.32第七节利用等价无穷小量代换求极限定理2.13(等价无穷小替换定理)证33只有在乘、除的极限运算中才能替换；注意:在其他极限运算中不能替换！定理应用:在计算与无穷小量相关的极限时,可利用其等价无穷小量,简化极限计算过程.34常用等价无穷小量：35例1解

36例2解37例3解解错强调:加减项里的无穷小量不能随意替换.38例4解39练习解练习解40练习解41课后练习计算极限：42解答：分离非零因子

43解答：44解答：45第八节函数的连续性一函数改变量

注意：改变量可以是正值也可以是负值.

46

解47二函数连续的概念引例：街头有一卖苹果的小贩，声称“5斤以内10元一斤，5斤以上8元一斤”。有两个顾客，一个人买5斤，花费50元；一个人买6斤，花费48元。买的多的反而花钱少，这是怎么回事？48函数在一点处连续的定义49

例2

证明函数y=x2在给定点x0处连续。所以y=x2在给定点x0处连续。

50下面给出函数连续的定义的另一种等价形式.如果

51补充概念:单侧连续命题52练习解即不右连续也不左连续,x

y-11O53练习解54连续区间与连续函数注意:55例3证56从几何上看,连续函数的图形是一条连续不间断的曲线,如函数的图形.连续性质的应用：这一应用可帮助证明前面幂指函数的极限计算公式.57三函数的间断点

考察以下函数在x=0或x=1处的连续性.在x=0属于情形(1)，间断在x=1属于情形(2)，间断59以上四个函数在x=0处都间断,但情况各有不同.在x=1属于情形(3)，间断在x=0属于情形(1)，间断60间断点的类型：61第一类间断点又可分为以下两种类型:62例8

讨论函数解63例8xy1函数64例9解65例10解第二类间断点的类型

66例7解这种情况称为振荡型间断点。67解例1168解例1169解练习70解所以即练习71四连续函数的运算法则定理2.1472所有基本初等函数在其定义区间内都是连续函数,一般的初等函数在其定义区间内都是连续函数.结论：73五闭区间上连续函数的性质7475注意：1.若区间是开区间,三个定理不一定成立;2.若区间内有间断点,三个定理不一定成立.76证例12可计算出由于三次方程最多只有三个实根，所以各区间内只存在一个实根。77练习证且有

异号，

78六利用函数连续性求函数极限根据函数连续