2025-2026学年上海市青浦区朱家角中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市青浦区朱家角中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（共12题，每题4分）.1．垂直于同一平面的两直线的位置关系．2．已知向量，，若，则．3．若复数满足，则．4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则．5．在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有条．6．设、是方程的两根，则．7．在正四棱柱中，若，则异面直线与所成角的大小为．8．已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为．9．太阳能光伏板的支架可以带动光伏板转动，使其正对太阳光发电．秋分正午，上海地区太阳高度角为，此时光伏板与水平面所成的锐二面角大小为．（太阳高度角是指太阳光线与水平面所成角）10．已知关于的方程在，内有三个不同的解，则实数．11．已知函数，若，且，则的最小值为．12．在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的取值范围是．二、选择题（本大题共4题，每题4分）13．已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知为平面外一点，直线，点，记点到平面的距离为，点到直线的距离为，点、之间的距离为，则（）A． B． C． D．15．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时80分钟．设经过分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则的值为（）A．10 B．20 C．60 D．7016．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线，，，与平面所成角分别为，，，．若，，则点在（）A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上三、解答题（本大题共56分，8+10+12+12+14）17．已知复数满足为虚数单位），复数的虚部为2，是实数，求．18．如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．（1）若，求实数，的值．（2）计算的值．19．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2．（1）若AA1＝2，求AA1与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AA1∥平面BC1D，若正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为3，求三棱锥A1﹣BC1D的体积．20．已知函数，任取，若函数在区间，上的最大值为，最小值为，记．（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；（2）当，时，求函数的解析式．21．圆锥的轴截面为等腰，为底面圆周上一点．（1）若的中点为，，求证：平面；（2）如果，，求此圆锥的侧面积；（3）如果二面角的大小为，求的大小．

参考答案一、填空题（本大题共12题，每题4分）1．垂直于同一平面的两直线的位置关系平行．解：根据直线与平面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行；故答案为：平行．2．已知向量，，若，则．解：向量，，，可得，解得．故答案为：．3．若复数满足，则2．解：复数满足，则，即，解得（舍去负值）．故答案为：2．4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则．解：由题知，，，在中，由正弦定理，得，所以，解得，因为中，，所以，所以．故答案为：．5．在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有6条．解：在正方体各条棱所在的直线中，与直线异面的直线有、、，，、，共6条．故答案为：6．6．设、是方程的两根，则．解：由题意，，，故答案为．7．在正四棱柱中，若，则异面直线与所成角的大小为．解：在正四棱柱中，，是异面直线与所成角，设，则，，．异面直线与所成角的大小为．故答案为：．8．已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为．解：向量在向量上的投影向量为，又向量在向量上的投影向量为，，，，，，．故答案为：．9．太阳能光伏板的支架可以带动光伏板转动，使其正对太阳光发电．秋分正午，上海地区太阳高度角为，此时光伏板与水平面所成的锐二面角大小为．（太阳高度角是指太阳光线与水平面所成角）解：要让光伏板正对太阳光，太阳光垂直照射光伏板面．已知太阳光线与水平面成角，此时光伏板与水平面所成锐二面角为．故答案为：．10．已知关于的方程在，内有三个不同的解，则实数1．解：由题意得，其中锐角满足，该函数的周期，且，当，时，单调递增，且值域为，；当，时，单调递减，且值域为，；当，时，单调递增，且值域为，．因此，在，内有三个不同的解时，．故答案为：1．11．已知函数，若，且，则的最小值为．解：函数，则的最小值为函数在轴右侧的图像与轴的第一个交点和在轴左侧的图像与轴的第一个交点之间的距离，由，解得；由于且，所以．故答案为：．12．在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的取值范围是．解：在正方体中，取，的中点，，连，，，，，如图，显然为矩形，有，，即有为平行四边形，则，而平面，平面，有平面，，，平面，因此，平面平面，因平面，则有平面，又点在平面，平面平面，从而得点在线段上（不含端点），在△中，，等腰△底边上高，于是得，所以线段长度的取值范围是．故答案为：．二、选择题（本大题共4题，每题4分）13．已知直线，与平面，其中，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：直线与平面垂直，则垂直平面内所有直线，但直线垂直于平面内一条直线，不能判断垂直于整个平面，故选：．14．已知为平面外一点，直线，点，记点到平面的距离为，点到直线的距离为，点、之间的距离为，则（）A． B． C． D．解：当在内射影在上时，；当在内射影不在上时，，当时，；当不与垂直时，，故选：．15．沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）．在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时80分钟．设经过分钟沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度恰好相等（假定沙堆的底面是水平的），则的值为（）A．10 B．20 C．60 D．70解：沙漏上方圆锥中的沙子的高度和下方圆锥中沙子的高度恰好相等，上方圆锥的空白部分就是下方圆锥中的沙子部分，且上方沙漏中沙子的高度为一个沙漏的高的一半，可以单独研究上方圆锥，其高度为一个圆锥的一半，沙子形成的圆面的半径为圆锥底面圆半径的一半，设圆锥的高为，底面半径为，则上方此时剩的沙子占总沙子的，下方圆锥中的沙子占总沙子的，一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个沙漏中需要用时80分钟，当的沙子从一个沙漏中漏到另一个沙漏中，需要分钟，．故选：．16．正方体中，为正方形内一点（不含边界），记为正方形的中心，直线，，，与平面所成角分别为，，，．若，，则点在（）A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上解：过点作平面于，连接、，则为与平面所成角，为与平面所成角，因为，所以，可得，结合，为公共边，可得△△，点在的平分线上，即在平面内的射影在正方形的对角线上，因为、分别是、在平面内的射影，所以为与平面所成角，为与平面所成角，结合，得，可得，由，可得，所以点在线段（不含点）上运动．故选：．三、解答题（本大题共56分，8+10+12+12+14）17．已知复数满足为虚数单位），复数的虚部为2，是实数，求．解：由，知，设，，则，因为是实数，所以，即，所以．18．如图，已知正三角形的边长为2，点为边上一点，且．（1）若，求实数，的值．（2）计算的值．解：（1）由题意，，故，所以，；（2）由题意，，，则．19．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2．（1）若AA1＝2，求AA1与平面ABCD所成角的大小；（2）求证：AA1∥平面BC1D，若正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为3，求三棱锥A1﹣BC1D的体积．解：（1）过A1作A1H⊥平面ABCD于H，连接AH，过H分别作HE⊥AB于E，HF⊥AD于F，连接A1E，A1F，如图，HE为A1E在平面ABCD上的射影，由于AB⊂平面ABCD，所以，由于A1H∩HE＝H，A1H，HE⊂平面A1HE，所以AB⊥平面A1HE，由于A1E⊂平面A1HE，所以，所以，同理A1F⊥AD，AF＝1，四边形AEHF为正方形，所以，AH为A1A在平面ABCD上的投影，所以AA1和平面ABCD所成角即，，故AA1和平面ABCD所成角为45°．（2）证明：连接AC、BD交于O，连接A1C1，B1D1交于O1，如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得A1C1∥AC，且，，AO＝，所以四边形A1C1OA为平行四边形，所以AA1∥OC1，因为AA1⊄平面BC1D，OC1⊂平面BC1D，所以AA1∥平面BC1D．由正棱台性质OO1与上下底面均垂直，则OO1＝3，因为OO1⊥BD，AC⊥BD，AC∩OO1＝O，AC，OO1⊂平面A1OC1，所以BD⊥平面A1OC1，所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和，即＝．20．已知函数，任取，若函数在区间，上的最大值为，最小值为，记．（1）求函数的最小正周期及对称轴方程；（2）当，时，求函数的解析式．解：（1）函数的最小正周期，由得，，即对称轴方程为，．（2）画出函数的部分图象，如右图，当，时，在区间，上的最小值为，最大值为，；当时，在区间，上的最小值为，最大值为，，当时，在区间，上的最小值为，最大值为，．即．21．圆锥的轴截面为等