微积分第六版 课件 第5-9章 不定积分 -微分方程与差分方程简介

1第五章

不定积分2在微分学中,导数用于刻画函数在某一点处的瞬时变化率;而积分则引导我们进行“逆向”思考:若已知一个函数的变化率(即其导数),能否还原出原函数?这一“反求原函数”的过程,正是本章的核心内容——不定积分.不定积分是连接微分学与积分学的关键桥梁.通过不定积分,我们不仅能解决诸如:在运动学中由速度求位移,在经济学中由边际成本推导总成本函数,还能为后续学习定积分、微分方程以及更高级的数学工具奠定坚实的基础.3第一节不定积分的概念一

原函数两个问题：

可以看到:以上两个问题都是求导运算的逆运算问题.4

5唯一性？结论：6积分变量二不定积分积分常数积分号被积函数定义5.2

7例5求解解例6求求函数的不定积分,可归结为求出它的一个原函数,再加上任意常数.8例7求解9解例7求合写成10原函数存在定理(后续可以证明)简言之：连续函数一定有原函数。问题：原函数是否存在？因此初等函数在其定义区间上都有原函数

。(但原函数不一定是初等函数！)

11三不定积分的几何意义和实际意义设F(x)是f

(x)的一个原函数，则方程y=F(x)的图形是直角坐标系Oxy中的一条曲线，称为f

(x)的一条积分曲线.将这条曲线沿y轴向上或向下移动长度为|C|的距离，就可以得到f

(x)的无穷多条积分曲线，它们构成一个曲线族，称为f

(x)的积分曲线族，其方程为

或12它们的特点是:在横坐标相同的点处，各积分曲线的切线有相同的斜率，都是

f

(x)，即各切线平行。

13解例8

设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.设曲线方程为根据题意知(1,2)14

解边际利润是总利润函数对产量的导数,则利润函数R(x)满足又x=0时需支付固定费用800元,即R(0)=-80015从例8、例9可以看出,不定积分中的积分常数C反映了现实中初始状态或基准水平的不确定性,只有结合具体的初始条件(初始利润、初始位置等)才能确定唯一的实际函数.1.不定积分在数学上可视为导数(或微分)的逆运算;

2.由曲线的切线斜率还原曲线方程；3.由已知的变化率还原出累积总量,例如,由边际收益、边际成本等边际信息,推导出相应的总收益函数或总成本函数等；4.也是求解描述经济动态过程的微分方程的重要工具.总结：不定积分的意义16第二节不定积分的性质或性质1:

求不定积分与求导或微分互为逆运算或也就是:不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式);一个函数的导数(或微分)的不定积分与这个函数相差一个任意常数.17其中a为非零常数。

证由定义可知，性质2:不为0的常数因子可以提到积分号前性质3:两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和18说明:性质3可推广到有限多个函数之和差的情形.证推广:综合性质2和性质3，可得19第三节基本积分公式(k是常数)2021直接积分法—分项积分法例例例22例23例24例125例226例327例例例28三角恒等变形例例29例例例30课后练习：求下列不定积分31解

又已知固定成本1000元,即y(0)=1000

32问题？第四节换元积分法一第一类换元法(凑微分法)33

第一类换元法(凑微分法)证34凑微分法的步骤：说明:该过程经历了换元的步骤,换元既可以在第一步实施,也可以在凑微分后实施,熟练后也可一步到位,不必把

u写出来.回代凑微分35例1解法一:直接换元法二:先凑微分再换元36例解法一:直接换元法二:先凑微分再换元37例3解38练习39练习练习40常用凑微分公式：等等.41例例例42例类似地，或43例另外：44例45类似地，例46例例47基本积分公式48例解法1解法2例49例例50二第二类换元法回代,得

51称为第二换元积分法注意：不要忘了回代.第二类换元法(一般换元法)52例7解53例8解54解练习55练习解56解令例957例10解失败！58解例1059例11解60例12解61基本积分公式比较：62说明：以上几例所使用的均为三角代换,目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令

但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时可灵活采用别的方法.63练习

求下列不定积分64例解65例解66凑微分分部积分公式问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.第五节分部积分法分部积分的过程：

67例？该积分更难进行计算注意:68例1例269例70练习71例3分部积分法可多次使用解72练习

求下列不定积分73例4循环法解74解方程组得或解例475例576分部积分法与换元法结合：例解77练习

求下列不定积分78解例679例解由题意,80解例1第六节综合杂例81例2解练习82练习83例3解84练习85练习86练习87练习88例4解89分段函数的不定积分：解例590解91有理函数的不定积分：假定分子与分母之间没有公因式(既约分式).有理函数是真分式；有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和。92例要点：将真分式化为部分分式之和。以下只考虑真分式的积分。问题：如何把真分式化为部分分式之和？93真分式的分解：（1）分母中若有因式，则分解后有真分式化为部分分式之和的一般规律：（2）分母中若有因式，则分解后有94（3）分母中若有因式，其中则分解后有（4）分母中若有因式，，则分解后有其中95真分式化为部分分式之和的待定系数法：例196代入特殊值来确定系数例297例398例499总结:真分式可分为以下四种类型的分式之和这四类分式均可积分，且原函数为初等函数。因此，有理函数的原函数都是初等函数。100部分分式的积分例1例2101例3102例4103例5104例6105例7灵活运用其他方法：例8定积分第六章在现实经济与管理活动中，我们经常遇到“变化中的累积”问题，例如：汽车以变化的速度行驶，怎样求总路程？商场客流量随时间波动，怎样求全天客流？企业边际成本随产量变化，怎样求总成本？未来持续产生的收益流，怎样折算为现值？尽管这些问题来自不同领域，但它们的数学本质高度一致——都需要对一个随时间（或其他连续变量）变化的量在某一区间上的累积效应进行精确度量。107为了系统地解决这类“变化中的累积”问题，数学发展出了定积分这一核心概念。它既可以计算曲边图形的面积、变速运动的路程和旋转体的体积，也可以由边际量求总量，并评估连续收益流的现值。总而言之，定积分为我们提供了一种强大而普适的分析工具，能够有效刻画由连续变化过程产生的总体效果。本章将建立定积分概念，研究其基本性质与微积分基本定理，学习换元积分法和分部积分法，并讨论定积分在几何、经济分析中的应用以及广义积分与Γ函数。108第一节定积分概念的引出109

任意曲线所围成的平面图形的面积的计算依赖于曲边梯形的面积的计算。由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形AabB,叫做曲边梯形。一、曲边梯形的面积例1计算抛物线、直线

与

轴所围成的曲边三角形面积。解

用下列各点把区间[0,1]分成n个相等的小区间，

则小阴影矩形面积的总和为xyO1BA110例1计算抛物线、直线

与

轴所围成的曲边三角形面积。xyO1BA这个值就可以作为曲边三角形OAB的面积的近似值。分点越多（n越大），近似程度越好。为得到精确值，让n→∞取极限，得

111abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积。（四个小矩形）（九个小矩形）

求由轴所围成的曲边梯形的面积。112曲边梯形如图所示

（1）用分点

这些区间的长分别为

作x轴的垂线，把曲边梯形AabB分为n个小曲边梯形。形的面积，则有分割113

（2）在每个小区间内任取一点取这个矩形的面积为

作总和近似114（3）曲边梯形面积的近似值为求和取极限（1）分割（2）求和（3）极限

115二、变速直线运动的距离现设作变速直线运动的物体的速度v为时间t的函数，即v=v(t)，求此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s.（1）用分点将时间区间[a,b]分为n个小区间则每个小区间的长分别为116（2）

在每个小区间上任取一时刻，以作为物体在小时间区间

上运动的距离的近似值，即物体在时间区间[a,b]内运动的距离s的近似值为

（3）把时间区间[a,b]无限细分，分点数n无限增大，趋于0时，总和的极限就是物体以变速v(t)从时刻a

到时刻b

这段时间内运动的距离s.117第二节定积分的定义118定义6.1

如果函数f(x)在区间[a,b]上有定义，用点将区间[a,b]分为n个小区间，其长度为，在每个小区间上任取一点，则乘积

称为积分元素总和称为积分和

即119被积函数积分变量积分上限积分下限其中，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，a称为积分下限，

[a,b]称为积分区间，b称为积分上限。120注意：1.2.有界是可积的必要条件,无界函数一定不可积；可积的充分条件：1213.规定：一般有a

＜b4.由定义不难得到：122

123曲边梯形的面积曲边梯形面积的相反数yoyo若要求阴影部分的面积,则为f(x)在区间[a,b]上既有正值又有负值124练习1利用定义计算定积分解xyo11125练习2用定积分表示极限解126第三节定积分的基本性质127在下面的性质中，假设函数在所讨论的区间上都是可积的。性质1常数因子可以提到积分号前(k为常数)证性质2

代数和的积分等于积分的代数和（性质2可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况）性质1,2合称线性性。128证则性质3区间可加性证略可以推广到多段。如果积分区间[a,b]被点c分为两个小区间[a,c]、[c,b]，则说明：不论a,b,c的相对位置如何，上式总成立。129证性质4（比较定理）如果函数f(x)

与g(x)

积分区间[a,b]上总满足条件f(x)

≤

g(x)，则(※)故(※)式非负，因此130推论证即性质5证如果被积函数f(x)

=1，则有131性质6（估值定理）

如果函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M与m，则证因为m≤

f(x)≤

M，由性质4可得再由性质1及性质5，得mM几何意义曲线y

=

f(x),x=a,x=b和x轴围成的曲边梯形的面积介于以区间[a,b]为底、以最小纵坐标m为高的矩形面积以及最大纵坐标M为高的矩形面积之间。132性质7（积分中值定理）证以b–a(>0)除上式，得如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]内至少有一点使得下式成立：即数介于函数f(x)的最大值M与最小值m之间。因为f(x)在[a,b]上连续，由连续函数的介值定理133积分中值定理的几何意义：上的平均值。f(x)在[a,b]上非负且连续134解练习1于是135证练习2即f(x)单调减少，136第四节微积分基本定理137一、原函数存在定理ya0xxy

=

f(x)p(x)用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法。

ya0xxy

=

f(x)p(x)ya0xxy

=

f(x)p(x)ya0xxy

=

f(x)p(x)ya0xxy

=

f(x)p(x)如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,x为区间[a,b]上的任意一点，故f(x)在[a,x]上也连续，故定积分存在。这个定积分对于每个x∈[a,b]都有唯一确定的值与之对应,故它是[a,b]上的函数，记为变上限函数第四节微积分基本定理138定理6.1一、原函数存在定理用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法。

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数对积分上限x的导数等于被积函数在上限x

处的值,即证139由积分中值定理（性质7）得140定理6.2（原函数存在定理）该定理告诉我们，连续函数一定有原函数。是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数。141142变限积分函数的求导：证更一般地，由即可得结论。143例1求解例2

求解144例3

求解145根据复合函数求导公式可得146总结例3

求结果：熟练后，可直接套用以下公式:147例4

求极限解148练习1求下列变限积分函数的导数.149练习2练习3求下列极限。分析：这是型未定式，应用洛必达法则.解150练习3求下列极限。分析：这是型未定式，解等价无穷小替换151练习3求下列极限。解分析：这是型未定式，152解练习4分离非零因子153练习5解154定理6.3（微积分基本公式）证二、牛顿—莱布尼茨公式155由定理6.2可知所以—

牛顿—莱布尼茨公式156注意上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.

157例5例6例7158159例8解由定积分的区间可加性，得练习6计算解原式160解例9161解例10极小值为162注意

若函数在所讨论的区间上不可积，则牛顿-莱布尼茨公式不可用，例如错误，此时在[-1,1]上函数不可积。练习7求原式解练习8求解163解练习9设

求164练习10求原式解165解练习11166第五节定积分的换元积分法167定理则有换元公式168证从右向左使用换元公式，相当于不定积分的第一类换元法（凑微分）169证从左向右使用换元公式，相当于不定积分的第二类换元法注意:(1)应用定积分的换元法时,与不定积分比较，多一事：换上下限；少一事：不必回代；(2)(3)逆用上述公式，即为“凑微分法”，不必换限。170例1计算解令原式171例2求积分解令原式几何意义：圆面积的1/4。172173例3如果f(x)

是偶函数，即f(-x)=f(x)，则证对于其中所以174例4如果f(x)

是奇函数，即f(-x)=-f(x)，则证对于其中所以175例5求定积分解练习1练习2练习3176练习4计算解原式177练习5

计算解令原式178练习6

计算解令原式179练习7解令原式180181例6不计算积分值，比较与的大小。解于是182即解例6不计算积分值，比较与的大小。练习8奇函数奇函数奇函数183证练习9184第六节定积分的分部积分法185定理等式两边取x由a到b的积分,得即这两式就是定积分的分部积分公式。例1例2186分部积分公式例3187例4解188解练习1采用分部积分的方法,189练习2190练习3练习4191练习5计算分部积分法与换元法结合：解令原式192练习6计算解得到递推公式：193而若n为正偶数，则若n为大于1的奇数，则194即例如，另外，沃利斯(Wallis)公式195第七节定积分的应用196一、平面图形的面积面积元素

由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形的面积面积微元法：yo当y=f(x)≥0时当y=f(x)≤0时面积若f(x)有正有负，则曲边梯形面积为xyoab197198Y—型平面图形的面积dcxyo及y轴围成的平面图形的面积为xyodc一般地，xyoab面积元素：所围成的平面图形的面积：199X—型平面图形的面积cxyoab一般地，200围成的平面图形的面积为dcxyodcxyo一般地，201解由对称性知,例1总面积等于第一象限部分面积的4倍,202利用圆面积解由对称性知,例1总面积等于第一象限部分面积的4倍,xya203解两曲线的交点例2此法麻烦。204此题选y为积分变量比较好,选择积分变量的原则：(1)尽量少分块；(2)积分容易.205解选x为积分变量,练习1由得交点206例3围成的平面图形的面积.xoy解由对称性,交点207练习2解208练习3作草图如右,解y12x利用圆面积xyO1209

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、旋转体的体积210211设一立体是由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体，求它的体积yOxaby=f(x)旋转体被分为n个小旋转体。212设一立体是由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的旋转体，求它的体积yOxaby=f(x)旋转体的总体积为的直圆柱近似代替，这些直圆柱的体积分别为x

ycdox

ydc213例4x

yOab解x

yOab214图形关于坐标轴对称，故只需考虑第一象限内的部分（阴影部分）绕坐标轴旋转所产生的旋转体的体积例4x

yOabx

yOab215同理可得微元法的基本步骤:216（1）选择积分变量，确定积分区间（2）构造微元在区间[a,b]上任取一个无穷小子区间[x,x+Δx]abox

y考察对应的部分量ΔU,

在对应的小区间上，ΔU可近似为表达式（3）积分求总量将所有微元在区间[a,b]上累加，即对微元求定积分，得abox

y构造微元积分求总量“微元法”217注意核心思想:某一总量U由大量微小部分量ΔU累加而成选定积分变量:x确定积分区间：[a,b]三、经济应用一：由变化率求总量变化定积分求面积、体积等几何量都体现了微元法的思想：先把整体量分成局部微元，再用定积分累积求和。

在经济学、管理学中，许多总量指标也由变化率（边际量）所定义的微元累积而成。因此，已知边际成本、边际收益或产能提升速率，就可以通过定积分求给定区间内的总变化量。218举例219设总成本函数为C=C(Q)，总收益函数为R=R(Q)，

其中Q为产量，

则总成本函数为则总收益函数为所以总利润函数为称为固定成本例5

假设2024年1月初至2025年12月末，某先进存储芯片制造企业的产能提升速率（单月新增产能）近似为

220其中t代表自2024年1月起的月份数，t=0对应2024年1月初，t=24对应2025年12月末。请计算该企业在上述24个月内累计新增的芯片总产能。解累计新增产能等于产能提升速率在[0,24]上的定积分：企业两年内新增芯片产能约为139万片。例5

假设2024年1月初至2025年12月末，某先进存储芯片制造企业的产能提升速率（单月新增产能）近似为

221其中t代表自2024年1月起的月份数，t=0对应2024年1月初，t=24对应2025年12月末。请计算该企业在上述24个月内累计新增的芯片总产能。解用微元法的过程进行计算记时间区间[0,24]上的新增产能为P。在[0,24]上任取小区间[t,

t+dt],该区间上的新增产能ΔP可以近似为222例6某绿色环保耗材每天生产x

单位时，固定成本为20元，边际成本函数为求总成本函数C(x)。若此耗材的销售单价为18元，且产品可全部售出。求总利润函数L(x)，并求获得最大利润时的日产量。解成本函数为

销售总收益为利润为求得故日产量40单位时取得最大利润，223练习

解所以需求函数为

224（1）若固定成本C(0)=1(万元)，求总成本函数、总收益函数和总利润函数；（2）当产量从100台增加到500台时，求总成本与总收益的增量；（3）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？

练习已知生产某产品x单位(百台)的边际成本函数和边际收益函数分别为

225总收益

总利润

解（1）总成本

四、经济应用二：收益流的现值和将来值设一项投资在[0,T]内产生连续收益流，收益流入速率为R(t)(元/年)，表示在时刻t附近单位时间内所得的收益。年利率为r，并按连续复利计息。226现值在[0,T]上任取一时刻t，考虑其附近的无穷小时间区间[t,t+dt],在此微小区间内,收益近似为R(t)dt.本息和本金将时刻t的收益微元贴现至当前时刻t=0,需乘以贴现因子,对[0,T]上所有收益微元进行累积，得即时收益以连续流得形式发生，其整体的时间价值也遵循与离散现金流相同的复利规律。227将来值贴现运算具有线性可加性，即类似地,若将收益微元R(t)dt从其发生时刻t按连续复利累计至期末时刻T,则需乘以累积因子例7

某制造企业考虑购买一台自动化设备。预计该设备未来8年内每年可带来连续且稳定的额外净收入，收入流速率为30,000元/年。假设市场年利率为5%，按连续复利计息。求：（1）该收入流的现值；（2）该收入流第8年末的将来值。228解（1）现值例7

某制造企业考虑购买一台自动化设备。预计该设备未来8年内每年可带来连续且稳定的额外净收入，收入流速率为30,000元/年。假设市场年利率为5%，按连续复利计息。求：（1）该收入流的现值；（2）该收入流第8年末的将来值。229解（1）现值设备未来8年名义总收入为24万元，在当前等价价值约为19.8万元。进行投资决策时，多考虑净现值(NPV)若NPV为正，则该项目预期有正的经济增加值。例7

某制造企业考虑购买一台自动化设备。预计该设备未来8年内每年可带来连续且稳定的额外净收入，收入流速率为30,000元/年。假设市场年利率为5%，按连续复利计息。求：（1）该收入流的现值；（2）该收入流第8年末的将来值。230解第8年末，该笔连续收入累计约为29.5万元。（2）将来值第八节广义积分与Γ函数一、广义积分定积分需要满足两个前提1.积分区间有限；2.被积函数有界。实际问题中还要考察无限区间上的积分或无界函数的积分，这两类积分称为广义积分或反常积分。（1）无限区间上的积分（无穷限积分）；（2）无界函数的积分（瑕积分）。231（一）无穷区间上的积分232如果上述极限不存在,即定义6.2

设函数f(x)在区间[a,

+∞)上连续，如果极限类似地，注意：上式只有右边两个广义积分均收敛时才有意义。233对于,其收敛的充要条件是与

都收敛。例1求广义积分234解证明例2积分发散；所以235例3计算解所以xoy由偶函数对称性，原积分236237练习1讨论下列无穷限积分的敛散性.解所以238练习2

讨论下列无穷限积分的敛散性.解239240练习3

讨论下列无穷限积分的敛散性.解比较：241练习4解令原式242计算广义积分练习5解原式(二)无界函数的积分243定义6.3如果存在，则称此极限值为无界函数f(x)在(a,b]上的广义积分，记作这时称广义积分存在或收敛。如果不存在，就称不存在或发散。存在,则称广义积分收敛,即244例4求积分245解

lnx当x→0+时无界例5证明发散；

所以246247比较：所以例5证明发散；

248例6计算

解被积函数在x=0处无穷间断，不满足闭区间内连续的条件，故不能使用牛顿-莱布尼茨公式。其中故给定积分在[-1,1]上发散。249练习6

讨论下列瑕积分的敛散性.解0为瑕点，原式注250练习6

讨论下列瑕积分的敛散性.251练习6

讨论下列瑕积分的敛散性.252练习6讨论下列瑕积分的敛散性.253练习7

讨论下列瑕积分的敛散性.解0为瑕点，254练习7

讨论下列瑕积分的敛散性.解？255是瑕点，解练习7

讨论下列瑕积分的敛散性.二、

函数256Γ函数的性质：证定义6.4积分是参变量r的函数，称为

函数。可以证明这个积分是收敛的。广义积分当r＞0时收敛，当r≤0时发散，故

(r)的定义域为r＞0。证证257解例7258例8计算广义积分解259(1)(2)解练习8计算广义积分解在第八章中将证明：260Γ函数还可以写成另一形式。261推广：

所以例如，262END263END264

无穷级数第七章265无穷级数是研究无限多个数项累加之极限行为的关键工具，具有广泛的应用价值。

泰勒级数可用于对复杂函数进行局部近似，便于求导、积分或数值计算；

几何级数常用来计算贴现现金流，为资产定价和投资决策提供理论支撑；

傅立叶级数能将周期性信号分解为基本谐波成分，在经济周期分析和时间序列建模中发挥重要作用。……深入理解无穷积分的基本性质及其敛散性判别法则，是掌握跨期选择模型、现值分析、动态优化以及现代金融理论的先决条件。是连接静态均衡分析和动态建模的关键桥梁。266称为无穷级数，简称级数。通项第一节无穷级数的概念级数的前

n项的和称为第

n次部分和，部分和构成一个数列。其中第

n项称为级数的通项。267则称该无穷级数收敛，极限

S称作该级数的和，并记为

余项,则称该无穷级数发散，发散级数没有和当级数收敛时，其和与

n次部分和的差称为级数的余项。用作为

S的近似值所产生的误差,就是余项的绝对值。268解收敛发散例1讨论等比级数(几何级数)

的收敛性和发散性。

269发散发散综上所述，270几何级数的敛散性结论可以直接用来判断某些级数的敛散性。例如，级数级数271解例2讨论无穷级数

所以级数收敛，且和为1。的敛散性。272解例3讨论级数所以级数发散。

所以的敛散性。第二节无穷级数的基本性质273定理7.1证设如果级数与都收敛，它们的和分别为S、W，则级数也收敛，且其和为S±W.274则因此所以275说明：证矛盾.276定理7.2证一个非零的常数

a后，所得到的级数也收敛，且其和为

aS.

级数的每一项同乘以非零常数后，敛散性不变。277推论例1判定级数的敛散性。解从而根据定理7.1，其和收敛。278收敛；发散。练习1

判断下列级数的敛散性：

279例2解发散。

(第一节例3)所以从而根据定理7.2,280定理7.3（有限项不影响敛散性）在一个级数的前面加上或去掉有限项，级数的敛散性不变。证减掉其前k项得记级数(i)的第k次部分和为记级数(ii)的第m次部分和为则级数(i)的第k+m次部分和为281注意：原级数若收敛，则改变级数中的有限项后，一般要改变它的和.由此可知，因此，有限数282例3解又从而283定理7.4（加括号性质）证若一级数收敛，则加括号后所成的级数也收敛，且与原级数有相同的和。加括号后形成级数284注1加括号后级数收敛，原函数未必收敛。推论发散级数去括号仍发散。例如故加括号后仍收敛，且和不变。假设加括号后所成的级数发散，原级数收敛。由定理

7.4

得该级数加括号后也收敛。证矛盾，假设不成立。正项级数无论加或去括号，均不影响其收敛性。注2285定理7.5（收敛的必要条件）证若级数的通项不趋于0，则级数发散。286例4判定级数的敛散性。解故原级数发散。注意通项趋于0的级数不一定收敛。例如，7.1节例3中已证明287说明：1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散；级数发散；级数发散。2882、必要条件不充分：再举一个重要例子：但级数发散。调和级数第三节正项级数289这种级数称为正项级数。一、正项级数收敛的基本定理

定理7.6正项级数收敛的充分必要条件是

二、比较判别法290证明定理7.7

二、比较判别法291注意定理7.7由定理7.3,若在n大于某个正整数后成立，定理7.7的结论仍成立。（相当于证明了级数在去掉前面有限项后的敛散性）292例1：判定调和级数的敛散性。于是矛盾，调和级数

假设调和级数收敛，其和为S，所以级数发散。证法一因为293例1：判定调和级数的敛散性。后一个级数是发散的，故由比较判别法可知调和级数发散。调和级数

证法二（比较判别法）它的各项均大于级数的各项，进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊人地缓慢。这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔”的级数，另一方面它又提醒我们：人不可“貌相”，级数的敛散性不可凭“想象”，需要严格的证明。调和级数

294295解例2判定

p-级数的敛散性。当p＞1时，它的各项均不大于级数的对应项。296例2这一级数为几何级数，因此这一级数是收敛的。在应用比较判别法判定一个级数的敛散性时，常将这个级数与几何级数、调和级数或p-级数相比较。判定

p-级数的敛散性。297解例3所以原级数收敛.

298解例4所以原级数发散。299解例5所以原级数收敛.

300推论301证明302可知两级数有相同的敛散性。303证明由比较判别法可知，

(注意：单向)

由(2)即得结论。304例6解305常用等价无穷小：306例7解307解练习1所以原级数收敛.

308解练习2练习3解所以原级数发散。所以原级数收敛。309练习4练习5所以原级数发散。所以原级数收敛。解解310练习6练习7发散解所以原级数发散。解所以原级数收敛。311练习8解312练习9收敛，解所以原级数收敛。313练习10所以原级数收敛。314练习11解所以原级数收敛。所以原级数发散。315证练习12由基本不等式三、比值判别法(达朗贝尔比值判别法)316定理7.8如果正项级数317证明318证明319证明级数可能收敛也可能发散，第一节例2中已证明这个级数是收敛的。但它是发散的。所以当l=1时，不能用此法判定级数的收敛性。320解例8321解例9从而原级数收敛。322练习13判别级数下列级数的敛散性所以级数收敛。解解所以级数收敛。323解解所以级数发散.所以级数收敛.324解所以用比值法无法判断.用比较法，所以原级数收敛。325解练习14所以级数收敛。326练习15解四、根值判别法(柯西根值判别法)327证略定理7.9328解例10级数发散。329练习16解所以级数收敛.

练习17解所以级数收敛.

第四节任意项级数，绝对收敛330正、负项相间的级数,称为交错级数。定理7.10（莱布尼茨定理）

称莱布尼茨型级数如果交错级数满足条件注意：两条件仅为收敛的充分条件，而非必要条件。证另一方面，

由条件(2)可知，

即原级数收敛，

由条件(1)可知，

331332例1解这是交错级数，

由莱布尼茨定理知，级数收敛。一般地，称为交错p

-级数.所以级数收敛。证明级数收敛。333解由莱布尼茨定理知级数收敛。练习1334一般的既有正项又有负项的级数称为任意项级数。定理7.11如果任意项级数证明取即于是有335若级数的各项的绝对值组成的级数收敛，则称此级数绝对收敛，即：若级数收敛，而由它的各项的绝对值组成的级数发散，则称此级数条件收敛，即：例如，336显然，由级数的各项的绝对值组成的级数是正项级数.因此，一切判别正项级数敛散性的判别法都可以用来判定任意项级数是否绝对收敛。337说明：(1)定理7.11不可逆：级数收敛，未必绝对收敛；这是因为它们的依据是

338定理7.12如果任意项级数满足条件则当

l＜1

时级数绝对收敛，当

l＞1

时级数发散。证根据达朗贝尔判别法，当

l＜1

时,所以绝对收敛；当

l＞1

时,n→∞,不可能趋于0,因此也不可能趋于0

339证例2所以级数绝对收敛。（规定0！=1）340解例3由上两例可以得到341解例4342解例5343练习2判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散.解故原级数绝对收敛.

解故级数绝对收敛.

344解故级数发散.

解所以原级数绝对收敛。345练习3解346练习4解即原级数非绝对收敛;347由莱布尼茨定理，此交错级数收敛，故原级数条件收敛．348练习5解而原级数为莱布尼兹级数，故收敛，即条件收敛。349练习6解所以级数发散；故级数绝对收敛；小结：判定数项级数敛散性的思路：350正项？Y比较判别法比值判别法N绝对收敛？YENDN若用比值法，发散若用比较法，莱布尼茨定理N发散Y第五节幂级数351一、幂级数及其收敛半径和收敛域称为关于

x的幂级数。形如352下面讨论幂级数的收敛域。353于是由比值判别法可知：(1)如果(2)如果(3)如果(4)如果354由上页分析可知，幂级数在一个以原点为中心、从-R到R的开区间内绝对收敛。开区间(-R,R)称为该幂级数的收敛区间，称为该幂级数的收敛半径。若幂级数除点

x=0外对任何

x都发散,则收敛半径

R=0,收敛域为点

x=0。若幂级数对任何

x都收敛,则收敛半径

R=+∞,收敛域为(-∞,+∞)。当0＜R＜+∞,要对x=±R处的敛散情况专门讨论。355定理7.13直接地讲，就是如果幂级数的系数满足条件,那么356解收敛半径端点处：收敛；发散；例1求的收敛域、收敛半径。357解收敛半径端点处明显发散，例2求级数的收敛域、收敛半径。当

x在收敛域

(-1,1)内取定每一个值时，题中级数都有一个确定的和与之对应。定义:在

(-1,1)内题中级数的和是

x的函数，这个函数称为和函数，记作S(x).358例3解求的收敛域、收敛半径。359例4解可知，

收敛区间为(-1,0).360例4讨论端点处的情况，因此，给定级数的收敛域为[-1,0).361缺少偶次幂的项级数收敛；例5解直接应用比值判别法，级数发散；362级数收敛，所以原级数的收敛域为级数收敛；级数发散；363练习1解发散；收敛。364一般，练习2365练习3解366发散；发散，故收敛域为(-1,3).练习4解二、幂级数的性质367（1）的收敛半径分别为，则（2）

如果幂级数的收敛半径R＞0，则在收敛区间(-R,R)内，它的和函数S(x)是连续函数，如果该幂级数在

x=R(或-R)处收敛,则S(x)在

x=R(或-R)处连续。（3）对于幂级数收敛区间

(-R,R)

内的任意一点

x,有即幂级数在其收敛区间里可以逐项积分，积分后级数的收敛半径也是R.368369（4）对于幂级数收敛域区间(-R,R)

内的任意一点

x,有即幂级数在其收敛区间里可以逐项微分，微分后级数的收敛半径也是R.370（3）幂级数在其收敛区间里可以逐项积分，积分后级数的收敛半径也是R.（4）幂级数在其收敛区间里可以逐项微分，微分后级数的收敛半径也是R.(2)逐项求导后，原来收敛的端点可能变发散。(3)逐项积分后，原来发散的端点可能变收敛。(4)如果逐项积分或逐项微分后的幂级数在x=R(或-R)处收敛,则在x=R(或-R)处以上(3)、(4)仍成立.371解例6收敛半径端点处明显发散，设和函数为两边由

0

到

x积分，得372解例6两边对

x求导，即得373(1)解逐项求导,

所以练习5求下列幂级数的收敛域及和函数：374(2)解收敛半径375(3)解376简便写法：解(3)377(4)解第六节泰勒公式与泰勒级数378一、泰勒公式379不足：问题：1、精确度不高；2、误差不能估计。380分析：2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交381n

阶接触382拉格朗日型余项383证明：因为

f(x)在(a,b)处有1到n阶的连续导数为了求

k的值，引入辅助函数384由罗尔中值定理可知，至少存在一化简得因此385由此,因此,即于是得到此外,因为,于是#386则当所以

f(x)在点处的

n阶泰勒公式也可以写成皮亚诺型余项387对于拉格朗日余项型的泰勒公式，令

n=

0

可得这是拉格朗日中值定理，故泰勒定理是它的推广。对于拉格朗日余项型的泰勒公式,，其中,或令麦克劳林公式388例1解389几个常用的带皮亚诺型余项的麦克劳林公式：390例2于是解391例2解故故所以二、泰勒级数392的泰勒级数。

的麦克劳林级数。第七节某些初等函数的幂级数展开式393问题：2.如果能展开，怎么展开?3.展开式是否唯一?1.f(x)在什么条件下才能展开成幂级数?与求和函数的相反问题：对区间(

a,b)内的一个特定点,函数

f(x)能否可以展开成一个幂级数？即该函数为这一幂级数的和函数。394上式两端逐项求导，得395且展开式是唯一的。396证由泰勒公式直接获证。一、直接展开法(泰勒级数法)397步骤：先讨论展开成麦克劳林级数。2、写出幂级数，并求其收敛域

D.

如果是，则

f(x)在

D上可展开成麦克劳林级数

如果否,虽然展开的幂级数收敛,但其和函数不是f(x).398例1解对任意固定的x,

由比值法，

399对任意固定的x,

由比值法，

即证得

400401例2解402403例3收敛域为：(

α

不为正整数)推导略二项式级数404特别,

双阶乘405406常用的函数幂级数展开式407(

α

不为正整数)二、间接展开法408间接展开法是根据展开式的唯一性，利用已知展开式，通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法，求出函数的幂级数展开式。409例4解又将上式两边分别从

0

到

x逐项积分，得上式的幂级数在点

x=1处收敛，故上式在

x=1处仍成立，从而幂级数展开式的收敛域为(-1,1].410例5解两边从0到x积分，得

411例6解因为412例7解413练习1解所以

414例8解,于是415所以练习2解法1注意两边从0到x

积分，得

416练习2解法2417例9解因为418例9解根据幂级数的性质有展开式的收敛域为

(-1,1)与

(-2,2)的交集，即

(-1,1).419例10解两边逐项求导，得420练习3解421以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数：其收敛域为D，

一般利用麦克劳林级数间接展开。422例11解423例12解424练习4解425练习5解而426427练习6解428练习7解第八节幂级数的应用举例429函数的幂级数展开式可以用来进行近似计算。例1计算

e的近似值。解430例2解431例3解所以END432END第八章

多元函数433434前面几章讨论的函数都只有一个自变量，称一元函数。但在实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数微积分问题。本章将在一元微积分的基础上，讨论多元函数的微分法和积分法，主要讨论二元的情况。第一节空间解析几何简介435(一)空间直角坐标系

坐标系的建立在空间中取定一点O，

定点横轴纵轴过O点作三条相互垂直的直线Ox,Oy,Oz,各轴上再规定一个共同的长度单位，这就构成了一个空间直角坐标系.

称O为坐标原点，

竖轴称数轴Ox,Oy,Oz为坐标轴，

坐标轴确定的平面为坐标平面，简称xy,yz,xz平面.称由两第一节空间解析几何简介436一

空间直角坐标系坐标系的建立定点横轴纵轴竖轴空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住

z轴，当右手的四个手指度转向

y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向.从

x

轴正向以角437Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ438空间的点

特殊点的表示:

一个分量为零:点在坐标面上.

两个分量为零:点在坐标轴上.

二

空间两点间的距离439为空间两点,两点间的距离公式：

440练习1在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,

2)等距离的点.设该点为M(0,0,z),由题设|MA|=|MB|,即解得即所求点为解三

空间直角坐标系中的向量441

三

空间直角坐标系中的向量442

这一表达式反映了向量在三个坐标轴方向上的投影(即分量),是进行向量运算和几何分析的基础.三

空间直角坐标系中的向量443

444向量之间还可进行线性运算和内积运算.向量的运算

445

此时它们的图形满足平行四边形法则:446

四

空间曲面与方程447定义8.1

如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0，那么方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程，而曲面S

叫做方程F(x,y,z)=0的图形.1.空间曲面方程448

M0

M

R那么有由距离公式：特别是球心为原点时方程为例1化简得449

以上表达式称为空间曲线的一般式方程.

450练习2解即因此，球心为(1,-2,3)，半径为R

=

4.4512.平面方程

例2

一动点

与两定点的距离相等，求此动点

的轨迹方程.解依题意有由两点间距离公式，得化简后得

的轨迹方程为452

例4

作(为常数)的图形.

可取任意值总有

，其图形是平行于

平面的平面.可由

平面向上或向下平移

个单位得到.解

例3

求三个坐标平面的方程.解容易看到

平面上任一点的坐标必有

,满足

的点也必然在

平面上,所以

平面的方程为同理,

平面的方程为

;

平面的方程为453化简得到平面的一般方程：

，其中

A,B,C不全为零.

例5

设某平面经过点

，且垂直于非零法向量n,向量n称为平面的法向量.求该平面的方程.解设平面上任一点

的坐标为,则

垂直于向量n于是454

3.空间直线方程例6

设空间中有一定点

与一个非零向量v

，求过定点P且与向量v平行的直线的方程，向量v也称作直线的方向向量.解设平面上任一点

的坐标为,则

与向量v平行于是存在实数t，使得

v，用坐标表示即为455上式还可以改写为

另外,直线通常也可作为两个平面的交线,那么将两平面的方程联立,得到的三元一次方程组

456例7

作x2+y2=R2的图形。在

xy平面上,x2+y2=R2表示以原点O为圆心,半径为

R的圆。曲面可以看作是由平行于

z

轴的直线沿xy面上的圆

x2+y2=R2移动而形成,称该曲面为圆柱面。4.柱面方程457平行于定直线并沿定曲线

C移动的直线

L

所形成的曲面称为柱面。这条定曲线

C

叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。4.柱面方程458练习3

画出下列柱面的图形：抛物柱面平面459练习4

指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程460平面曲线

C绕同一平面上的一条定直线

L旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面.曲线

C

为旋转曲面的母线,直线L为旋转曲面的旋转轴.5.

旋转曲面方程

4615.

旋转曲面方程

462

例8

设求由yz坐标面上的直线z=2y绕z轴旋转所形成的旋转曲面方程.解在直线方程

中,把y换成

，可得所形成的旋转曲面方程为

也可以表示成曲面就是以原点为顶点、z轴为旋转轴的二次锥面.463以上提到的球面、柱面以及旋转曲面的方程都是三元二次方程.对于一般的三元二次方程：

二次曲面方程经过配方和适当选取空间直角坐标系后，可以化成如下几种标准形式.6.

二次曲面方程(1)球面464是球面的上半部分。其中465例9

作

的图形当

时，其截痕为以

为圆心、以

为半径的圆.当

时，只有

满足方程当

时，无交点.用平面

截曲面

其截痕方程为解的图形是一种旋转抛物面(2)椭球面466zxyO用坐标面z=0,

x=0和y=0去截割,分别得椭圆467(3)单叶双曲面

xyoz(4)双叶双曲面xyo(5)二次锥面468xyzo(6)椭圆抛物面469(7)双曲抛物面(马鞍面)xyzo马鞍面470例10

作

的图形当

时，截痕为两条相交于原点的直线，方程为用平面

截曲面

其截痕方程为解这个曲面是一种双曲抛物面，即马鞍面当

时，截痕为双曲线用平面

截曲面

其截痕为用平面

截曲面

其截痕为第二节多元函数的概念471一多元函数的定义

其中,变量x,y

称为自变量;z称为因变量;集合D

称为函数的定义域,也可以记为D(f).472

473例1是以

x,y是为自变量,z为因变量的二元函数，求其定义域和值域.值域为定义域为474练习1设长方体的长、宽、高分别为x,y,z，则长方形的体积xyz练习2在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas生产函数为L>0，K>0分别表示投入的劳力数量和资本数量，y表示产量。当K,L的值给定时，y就有一确定值与之对应，因此称y是K,L的二元函数。这里

为常数，二

二元函数的定义域475

平面区域可以分类如下:包括边界在内的区域称为闭区域;不包括边界的区域称为开区域;包括部分边界的区域称为半开区域.如果区域延伸到无穷远,则称为无界区域,否则称为有界区域.

476不包含边界的区域称为开区域。例如，例如，包含边界的区域称为闭区域。二

二元函数的定义域二

二元函数的定义域477函数

的定义域是xy平面上由直线

的右上方确定的无界开区域。

函数

的定义域是xy平面上由直线

的右上方确定的无界开区域。

478解所求定义域为求的定义域．练习3三

二元函数的几何意义479

480例2作二元函数

的图形.两边平方，得整理后，得方程的图形是以(0,1,0）为球心、以1为半径的球面.因此原函数的图形为该球面的上半部分.第三节二元函数的极限与连续481

在二元函数中，我们利用平面上与两点之间的距离来定义的领域.平面上点的领域是点集所确定的平面上的开圆域.482

或

注意483证例1484证证明证毕．练习1恒有无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。485练习2在二元极限中，变量替换、等价无穷小替换等方法仍然可以使用。486练习3求解由基本不等式知由夹逼定理，487定义8.4

488练习4所以对多元初等函数来说,可以用“代入法”求极限.练习5489二元连续函数有与一元连续函数类似的性质:(1)二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数.(2)如果

在有界在闭区域

上连续,则必在

上取得最大值和最小值.(3)如果

在有界闭区域

上连续,

在

上的最小值和最大值分别为

和

,则对任意的

必存在点

,使得

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。第四节偏导数与全微分490一偏导数，而

保持不变时，函数

得到一个改变量称为函数

对于

的偏改变量或偏增量.称为函数