小学四年级数学《田忌赛马：优化策略的数学建模》教学设计

小学四年级数学《田忌赛马：优化策略的数学建模》教学设计【基础】教材与学情分析：定位策略思想的生长点本节课《田忌赛马》是人教版四年级上册第八单元“数学广角——优化”中的例3内容1。从知识体系的纵向脉络来看，本单元是在学生已经学习过一些简单的逻辑推理和排列组合知识的基础上，进一步向学生渗透运筹思想和对策论方法。它承接了低年级解决实际问题的基本思路，又为后续在更高学段学习概率、博弈论以及更复杂的线性规划问题奠定了感性的认知基础1。教材编排这一内容的深层意图，并非仅仅让学生记住一个历史故事，而是要通过“赛马”这一经典模型，引导学生经历“从多样化方案中寻找最优解”的全过程，初步体会对策论在竞争情境中的应用价值。【重要】从学情角度分析，四年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们大多对“田忌赛马”的故事有所耳闻，但这种认知往往停留在“孙膑聪明”的感性层面，缺乏对背后数学原理的理性剖析35。学生已有的经验是：能够理解“胜、负、平”的概念，具备初步的比较和推理能力。然而，本课的教学难点在于，学生容易忽略“获胜的前提条件”（即双方实力差距的微妙性），在枚举策略时容易出现重复或遗漏，更难以自发地认识到“让对方先出”这一规则背后的博弈思想18。因此，教学设计必须从学生熟悉的游戏入手，通过认知冲突，引导他们经历“无序→有序”“感性→理性”的思维跃升，将故事中的智慧转化为可迁移的数学建模能力。【基础】教学目标与核心素养定位基于对教材和学情的深刻把握，结合《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，本课的教学目标设定如下：（一）知识与技能学生能够通过具体情境，理解“对策论”在实际生活中的应用；能借助图表，有序地列举出对抗双方所有可能的应对策略，做到不重复、不遗漏；能在此基础上通过比较、分析，找到解决具体问题的最优策略，并清晰地阐述其思考过程58。（二）过程与方法通过“扑克牌比大小”的游戏导入和“田忌赛马”的故事探究，让学生经历“列举策略—比较优劣—归纳条件—建模应用”的完整数学活动过程。在小组合作与交流中，初步体会运筹思想，掌握从多种方案中寻求最优方案的意识，学会用数学的眼光分析竞争中的策略问题5。（三）情感、态度与价值观让学生感受数学与生活的广泛联系，体会数学在解决竞技、博弈问题中的独特魅力。通过感悟古老的“田忌赛马”故事中所蕴含的“扬长避短”智慧，激发学生的民族自豪感，并培养其面对劣势时不轻言放弃、善于运用策略扭转局面的科学态度和创新意识610。【难点】教学重难点定位教学重点：经历探索“最优策略”的过程，掌握列举所有可能策略并进行优化的方法5。教学难点：深刻理解“以弱胜强”策略的适用条件（知己知彼、全盘考虑、后发制人），并能将这一策略思想迁移到新的实际问题中14。【基础】教学准备与课时安排教学准备：多媒体课件（含田忌赛马动画视频）、实物投影仪、小组合作探究表格（田忌赛马对阵策略记录单）、两组扑克牌（每组分别为红桃10、7、4和黑桃9、6、3）。课时安排：1课时。【核心】教学实施过程：在博弈与建模中生长思维一、激趣导入：在“数字游戏”中制造认知冲突课堂伊始，教师不急于揭示课题，而是先组织一场“扑克牌比大小”的游戏。教师在黑板上出示两组扑克牌：一组是红桃10、7、4；另一组是黑桃9、6、3。师：同学们，喜欢玩扑克牌吗？今天我们玩个比大小的游戏。规则是：双方各拿一组牌，每次各出一张，三局两胜。而且，为了公平，由你们先出第一张牌。教师故意挑选一名学生，并让他先选择自己心仪的一组牌。无论学生选择实力较强的红桃组（10、7、4），还是看似较弱的黑桃组（9、6、3），教师都通过巧妙的“后手”出牌（如用3对10，用9对7，用6对4），最终以2：1的比分赢得比赛35。师：看来，拿了好牌不一定能赢，拿了差牌也不一定会输。这里面到底藏着什么奥秘呢？今天，我们就带着这个问题，穿越回两千多年前的战国时期，去探秘一场著名的赛马比赛。【设计意图】通过贴近生活的扑克牌游戏，瞬间点燃学生的好奇心和好胜心。游戏结果与学生直观判断产生强烈冲突，自然引出“策略”这一核心概念，为后续学习做好心理和认知上的铺垫10。二、初探故事：在“信息提取”中建构数学模型（一）还原情境，梳理信息播放《田忌赛马》动画视频第一段（展示田忌初次比赛失败的情景）3。师：请同学们仔细观看，并思考：田忌第一次为什么输了？你能用数学的语言来描述这场比赛的规则和双方的实力对比吗？学生交流讨论，教师在引导下帮助学生提炼出关键的数学信息：对阵双方：齐王（上等马、中等马、下等马）对阵田忌（上等马、中等马、下等马）。实力对比：在同一等级上，齐王的马比田忌的马都要快一点（即：齐王上等马>田忌上等马；齐王中等马>田忌中等马；齐王下等马>田忌下等马）8。比赛规则：采用“同等级马一一对阵”（上对上、中对中、下对下），三局两胜制。（二）初步填表，明确劣势教师引导学生完成初次比赛的表格填写（如表1），直观感受田忌在硬实力上的全面劣势。表1：田忌与齐王初次赛马对阵表场次齐王出场马匹田忌出场马匹本场胜者第一场上等马上等马齐王第二场中等马中等马齐王第三场下等马下等马齐王师：通过表格，我们清晰地看到，在同等级硬碰硬的情况下，田忌是“三战皆墨”。这也印证了“齐威王的马比田忌的快不了多少”这一关键前提3。三、深度探究：在“有序列举”中寻找最优策略（一）提出核心任务师：故事里，孙膑给田忌出了一个主意，让他用同样的马匹赢了比赛。是不是只有孙膑想到的这一种赢法？田忌一共有多少种出马的方式？哪一种才能真正帮他反败为胜？请各小组合作，把田忌所有可能的应对策略都找出来。教师发放探究表格，并提出明确要求：假设齐王的出场顺序固定为“上等马—中等马—下等马”，请田忌一方变换自己的出场顺序，列出所有可能的方案，并推断每一局的胜负及最终结果38。【非常重要】有序列举策略的指导在学生自主探究的过程中，教师需要巡视指导，重点关注学生是否掌握了“有序思考”的方法，避免随意搭配导致的重复或遗漏。可以引导学生利用排列的思想，先固定第一场出的马，再搭配后两场。（二）汇报交流，展示思维过程待小组讨论结束后，邀请小组代表上台，利用实物投影仪展示本组的探究成果，并将结果汇总到黑板的大表格中（如表2）。表2：田忌应对齐王赛马的所有策略分析表（齐王出场顺序固定：上、中、下）序号田忌应对顺序第一场（齐上VS田？）第二场（齐中VS田？）第三场（齐下VS田？）最终获胜方1上中下齐王胜（输）齐王胜（输）齐王胜（输）齐王2上下中齐王胜（输）田忌胜（赢）齐王胜（输）齐王3中上下齐王胜（输）齐王胜（输）田忌胜（赢）齐王4中下上齐王胜（输）齐王胜（输）齐王胜（输）齐王5下上中齐王胜（输）田忌胜（赢）田忌胜（赢）田忌6下中上齐王胜（输）田忌胜（赢）齐王胜（输）齐王【高频考点】在展示过程中，教师要引导学生进行辨析：谁做到了“不重复、不遗漏”？你们是按什么顺序列举的？（如：先确定第一场出上马，有两种；第一场出中马，有两种；第一场出下马，有两种。一共六种。）为什么同样是田忌获胜，有些同学填的结果不一样？（引导学生观察，只有第5种策略“下对上、上对中、中对下”是唯一获胜的方案）8。（三）聚焦最优，剖析本质师：观察这六种策略，为什么唯独第5种能赢？它的高明之处在哪里？引导学生深入讨论，得出核心结论：以弱敌强，牺牲局部：用自己最弱的“下等马”去对抗对方最强的“上等马”，用一场必败的代价，消耗掉了对方最具有优势的资源。集中优势，各个击破：在对方最强的马被消耗后，用自己的“上等马”对抗对方的“中等马”，用“中等马”对抗对方的“下等马”，形成局部优势，从而赢下后两局89。师小结：这种策略的本质，就是“以最弱挡最强，换取整体胜利”。它告诉我们，在实力不占优的情况下，通过重新排列组合资源，可以实现整体效益的最大化。【热点】四、思辨建模：在“条件质疑”中深化策略认知师：是不是在任何情况下，田忌用这种“下对上、上对中、中对下”的策略都能赢？假如我们把齐威王的下等马换成千里马，比田忌的上等马还快，结果会怎样？如果田忌的最慢的马比齐威王的中等马还慢，结果又会怎样？教师通过课件动态演示，调整双方马匹的速度数值，制造新的冲突36。引导学生发现：田忌的策略能够成功，必须基于一个至关重要的前提——“齐威王的马比田忌的快不了多少”。也就是说，田忌的上等马虽然慢于齐王的上等马，但快于齐王的中等马；田忌的中等马慢于齐王的中等马，但快于齐王的下等马。只有这样，才能保证在交换对手后，“上对中”和“中对下”这两场能够稳赢。进一步追问：在这场博弈中，为什么田忌必须“后出牌”？通过模拟，学生领悟到：后出牌意味着可以“后发制人”。只有知道了对方的部署，才能做出针对性的最优安排。如果让田忌先出马，齐王只要根据田忌的出马顺序稍作调整，就能再次获胜58。师小结：真正的“最优策略”不是一成不变的死套路，而是建立在“知己知彼”基础上的灵活应变。它至少需要三个条件：一是实力差距不能太大（有可操作的空间）；二是必须掌握对方的出牌信息（后手）；三是需要对所有可能性进行全面、有序的思考。五、迁移应用：在“生活情境”中提升实践智慧（一）体育竞技中的应用课件出示情境：学校即将举行四年级拍球比赛，规则是三局两胜。四（1）班的代表成绩是：张华（20个）、李明（40个）、王强（60个）。我们四（2）班的代表成绩是：赵一（10个）、钱二（30个）、孙三（50个）。如果你是四（2）班的领队，你怎样安排出场顺序，才能战胜强大的四（1）班？910。学生运用刚学的策略思想，迅速设计出“赵一（10）对张华（20）——输；钱二（30）对王强（60）——输？等一下，这样会输！”这里故意制造陷阱，让学生意识到，如果不加分析地套用“弱对强”，可能会导致0：3惨败。重新引导学生分析：必须保证有两场能赢。我方只有孙三（50）能赢对方的张华（20）和李明（40），但孙三只有一匹，怎么办？通过热烈讨论，学生修正策略：第一场用最弱的赵一（10）对对方最强的王强（60）——输；第二场用最强的孙三（50）对对方中等的李明（40）——赢；第三场用中等的钱二（30）对对方最弱的张华（20）——赢。最终以2：1获胜。【设计意图】通过这个变式练习，学生深刻体会到“具体问题具体分析”，不能机械套用模型，而是要在理解原理的基础上进行创造性应用。（二）拓展延伸——游戏中的策略师：其实，策略不仅存在于大型比赛中，也藏在我们日常的游戏里。比如“两人轮流取牌”的游戏，其实也是策略的博弈。鼓励学生课后探索类似的数学游戏，将课堂所学延伸到课外7。【重要】六、课堂总结：在“回眸反思”中凝练思想师：同学们，今天我们通过一场古老的赛马，探寻了数学中一个重要的分支——对策论。回顾这节课，你有什么收获？引导学生从知识、方法、情感三个维度总结：知识上：我学会了遇到问题时，要先列出所有可能，再寻找最优解。方法上：有序思考、列表法是我们解决复杂问题的好帮手。思想上：田忌赛马的智慧在于“扬长避短”“以退为进”。在生活中，当我们面对困难和挑战时，不仅要敢于拼搏，更要善于动脑，运用智慧去改变局面。记住，真正的强者，是那些能把自己的资源发挥到极致的人。【基础】板书设计田忌赛马——优化策略一、故事模型：齐王：上中下（固定）田忌：上中下→齐王胜（硬碰硬）…（列举六种策略）…最优：下上中→田忌胜（策略）二、策略本质：1.有序思考（列举）2.以弱敌强（消耗）3.后发制人（前提）4.知己知彼（条件）【基础】作业布置与教学反思预设（一）课后作业基础作业：回家后，把《田忌赛马》的故事讲给父母听，并说明孙膑策略的数学