小学三年级数学《混合运算与数量关系（一）》教学设计（3课时）

小学三年级数学《混合运算与数量关系（一）》教学设计（3课时）一、单元整体概述与设计理念（一）单元教材分析与学情研判【核心概念】本单元是苏教版（2024）三年级上册第一单元，主题为《混合运算与数量关系（一）》。它是在学生已经熟练掌握加、减、乘、除法的基本运算（特别是表内乘除法），并能解决简单两步计算实际问题（如连加、连减、加减混合）的基础上进行教学的。本单元标志着学生从单一的、直接的计算开始向复合的、有顺序要求的运算过渡，是数与代数领域“数的运算”板块的关键节点，同时也是从算术思维迈向代数思维的重要奠基。教材编排了乘加、乘减、除加、除减以及带小括号的两步混合运算，并通过丰富的现实情境，引导学生理解运算顺序规定的合理性，学会用综合算式解决生活中的数量关系问题。【学情研判】三年级学生正处于具体运算思维阶段，他们具备初步的逻辑推理能力，但抽象思维仍需具体情境的支持。学生对于“先算什么，再算什么”的理解，往往停留在感性层面，容易受到书写顺序（从左到右）的思维定势影响。例如，对于“12+4×3”，部分学生可能会错误地先算12+4。因此，教学的重点不仅是告知规则，更要通过情境的对比、数量关系的剖析，让学生深刻理解“先乘除后加减”的数学原理——即乘除法是表示“几个几”或“平均分”的更高一级的运算，在数量关系中具有“合并同类项”的优先级。此外，学生首次接触小括号，需要理解其作为改变运算顺序的“特权符号”的作用。（二）单元教学目标与重难点【教学目标】1.【基础】理解并掌握不含括号的两步混合运算的运算顺序（先乘除，后加减），能正确进行计算。2.【重要】掌握含有小括号的两步混合运算的运算顺序，能正确计算，并体会小括号在改变运算顺序中的作用。3.【核心】结合具体情境，经历从实际问题中抽象出数量关系的过程，能运用乘加、乘减、除加、除减等混合运算解决生活中的实际问题，初步学会表达解决问题的思考过程。4.【拓展】在解决问题的过程中，理解数量之间的关系（如：总价=单价×数量+单价×数量；剩余=总量份数×每份数），培养初步的模型意识和应用意识。【教学重点】掌握不含括号和含有小括号的两步混合运算的运算顺序，并能正确进行计算。【教学难点】理解“先乘除后加减”的运算顺序的合理性；能根据具体问题中的数量关系，正确列出综合算式并解答。（三）教学策略与方法本单元采用“情境驱动—问题引领—比较建构—应用迁移”的教学策略。通过创设贴近学生生活的购物、劳动、游戏等情境，让学生在解决真实问题的过程中，产生学习混合运算的需求。借助直观图示（如色条、线段图）帮助学生分析数量关系，淡化枯燥的规则记忆，强化对运算顺序和数量关系的意义理解。教学中将大量采用对比教学（如分步算式与综合算式对比、不同运算顺序的结果对比），引导学生自主发现和建构知识。二、第一课时：乘加、乘减混合运算（一）教学内容苏教版（2024）三年级上册第一单元例1及相关练习。学习不含括号的乘加、乘减混合运算，理解“先算乘法，后算加减”的运算顺序。（二）教学目标1.【重要】结合具体情境，理解和掌握乘加、乘减混合运算的运算顺序，知道先算乘法，再算加法或减法。2.【基础】能正确地计算乘加、乘减式题，并能尝试用综合算式解决简单的两步计算问题。3.【拓展】在比较分步算式与综合算式的过程中，感受数学的简洁美，发展初步的抽象思维。（三）教学过程一、创设情境，激活经验【情境导入】同学们，学校图书馆要添置一些新书。三位老师去书店选购，我们一起去看看吧！（出示例1情境图：书店里，每本《童话故事》5元，每本《科技天地》7元。老师买了3本《童话故事》和1本《科技天地》。）师：从图中，你获得了哪些数学信息？能提出一个数学问题吗？生1：买3本《童话故事》和1本《科技天地》一共要多少元？【设计意图】从学生熟悉的购物情境入手，激发学习兴趣，自然引出需要两步计算的数学问题，为学习新知做好铺垫。二、自主探究，建构新知1.解决问题，探寻思路师：请大家先独立思考，在练习本上尝试解决“一共要多少元？”这个问题。（学生独立尝试，教师巡视，发现有代表性的解法。）2.展示交流，对比感知师：谁来分享一下你的解法？生2（分步解答）：我是分两步算的。先算3本《童话故事》多少钱？5×3=15（元）；再算一共多少钱？15+7=22（元）。师（板书分步算式）：大家同意吗？每一步求的是什么？生3（综合算式）：我列了一个算式：5×3+7=22（元）。师（故作疑惑）：咦，这个算式里有乘号也有加号，它叫“乘加混合算式”，也叫“综合算式”。你能给大家解释一下，为什么要先算5×3呢？生3：因为要先算出3本《童话故事》的总价，才能加上1本《科技天地》的价钱。师：说得真好！虽然写成了一个算式，但思考的顺序没有变，还是先求3本书的价钱，再求总价钱。3.规范格式，明确算法【核心讲解】在数学上，为了让大家看清楚计算步骤，综合算式有一种特定的书写格式。（教师边板书边讲解）板书：5×3+7=15+7(在“5×3”下面画横线，标出先算的部分，并写出得数15)=22师：这种格式叫做“脱式计算”。等号要写在算式外面，并且上下对齐。我们先算乘法，算出3本书的价钱15元，然后再加7，得到一共22元。大家注意，没有参加计算的部分（+7）要照抄下来，不能丢掉。4.变式练习，深化理解师（变换问题）：如果老师带了30元，买了3本《童话故事》后，还剩多少元？你会列综合算式吗？（学生尝试列式，可能出现：305×3或3015）师：我们来看看综合算式305×3。这个算式里既有减法，又有乘法，应该先算什么？生4：还是先算5×3，因为要先算出花了多少钱，才能从30元里减去。师：非常棒！你们的思路和刚才一样清晰。无论乘法在前还是在后，只要算式里有乘法和加减法，我们都要先算乘法。板书：305×3=3015=15【难点突破】通过两个例题的对比，特别是第二个例题中乘法在后的情况，打破学生“从左到右”计算的思维定势，强化“先乘后加减”的规则。三、巩固练习，内化规则【基础演练】先说出下面各题的运算顺序，再计算。①16+4×8②3×712③506×5④4×9+20（指名口答运算顺序，全体学生在练习本上用脱式计算，4人板演。集体订正，强调书写格式。）【情境应用】“爱心义卖”活动中，小明带了20元。他想买一个8元的笔记本和4块单价2元的橡皮。他带的钱够吗？（引导学生先分析数量关系：先算出4块橡皮的钱，再加上笔记本的钱，最后与20元比较。列式：8+2×4）师：算一算，一共花了多少钱？8+2×4=？和你的同桌说说你是怎么算的。生5：先算2×4=8（元），再算8+8=16（元），16<20，所以钱够了。【设计意图】练习设计层层递进，既有纯计算训练，又有解决实际问题的应用，旨在巩固运算顺序，提升学生将知识应用于新情境的能力。四、课堂总结，拓展延伸师：今天我们学习了什么内容？你有什么收获？生6：我学会了乘加、乘减混合运算。生7：我知道了在乘加、乘减的算式里，无论乘法在前还是在后，都要先算乘法，再算加减法。生8：我还学会了脱式计算的格式。师：大家总结得非常到位。其实，数学运算就像我们做事的步骤一样，是有先后顺序的。掌握了这个顺序，我们就能更简洁地解决生活中的复杂问题了。三、第二课时：除加、除减混合运算及小括号的认识（一）教学内容苏教版（2024）三年级上册第一单元例2、例3。学习不含括号的除加、除减混合运算，以及含有小括号的两步混合运算。（二）教学目标1.【重要】结合具体情境，理解和掌握除加、除减混合运算的运算顺序，知道先算除法，后算加减。2.【难点】认识小括号，理解小括号在混合运算中的作用，掌握含有小括号的混合运算的运算顺序（先算括号里面的）。3.【核心】能根据数量关系的需要，正确使用小括号改变运算顺序，解决实际问题。（三）教学过程一、复习迁移，引入新知【温故知新】口算下面各题，并说说先算什么，再算什么。①20+5×3②4×615③142×5师：上节课我们学习了乘加、乘减，知道先算乘法。今天我们继续研究混合运算，不过把乘法换成了除法，你们敢挑战吗？二、探究除加、除减混合运算1.情境呈现，提出问题（出示例2情境图：手工小组的同学在折纸鹤。有2个同学，每人折了4只纸鹤。现在又来了3个同学，他们一共要折30只纸鹤。剩下的平均每人要折几只？）师：请仔细读题，你找到了哪些条件和问题？（学生汇报，教师引导学生用色条图或线段图表示数量关系，理清“总只数”、“已折只数”、“剩下只数”以及“剩下的人数”之间的关系。）2.分析列式，探究顺序师：要求“剩下的平均每人要折几只”，我们可以怎么思考？可以先算什么，再算什么？请尝试列出综合算式。（学生小组讨论，尝试列式，教师巡视。）师：哪个小组愿意分享你们的想法？生1：我们先用分步算的。先算已经折了多少只：4×2=8（只）；再算还剩多少只：308=22（只）；最后算平均每人折几只：22÷(3+2)?不对，后来来了3个同学，加上原来的2个，一共是5个同学，所以是22÷5。（此时，学生发现22÷5在现阶段无法用整数表示结果，引发认知冲突。）师：大家发现了吗？22除以5除不尽。这说明我们可能把条件用错了。我们仔细看题：“剩下的平均每人要折几只”中的“每人”指的是哪些人？生2：指的是新来的3个同学！因为原来的2个已经折完他们自己的了。师：你分析得太棒了！那“剩下的只数”应该由谁来折？生（齐）：新来的3个同学。师：那么，我们的思路要修正。先算什么？再算什么？生3：先算已经折了多少只：4×2=8（只）；再算还剩多少只：308=22（只）；最后把这22只平均分给3个新同学，列式：22÷3。22÷3我们还没学，但思路是对的。师：思路完全正确。那如果我们把这两步合成一个综合算式，可以怎么写？生4：304×2÷3师：大家看这个算式，如果按照我们之前学习的顺序，既有减法，又有乘除法，应该先算什么？生5：先算4×2=8，然后呢？30减8再除以3？还是先算4×2÷3？【难点聚焦】这个算式引发了巨大的争议，因为它同时涉及了减法和除法，而且除法的出现让运算顺序变得复杂。此时，学生意识到，仅仅“先乘除后加减”还不足以解决所有问题，因为这里需要先算出减法（308）的结果，再去除以3。师：看来，为了表达“先算出剩下的22只，再平均分给3人”这样的计算顺序，我们需要一个帮手——小括号“（）”。小括号就像一个“特权小组”，括号里的运算享有优先权，要先算。板书：(304×2)÷3师：现在，按照规则，我们要先算小括号里面的。小括号里面是304×2，这又是一个混合运算，我们在括号里也要先算乘法，再算减法。所以完整的计算步骤是：(304×2)÷3=(308)÷3=22÷3=7（只）……1（只）（此处引出有余数，但重点在于理解算理）【高频考点】小括号的出现，彻底改变了运算顺序。通过这个认知冲突的过程，让学生深刻体会到小括号是“改变运算顺序”的符号，是表达特定数量关系的需要。三、深入理解小括号的作用1.对比练习，强化认知出示两组算式：A组：10015×5和(10015)×5B组：60+12÷4和(60+12)÷4师：请同学们分别计算，看看每组两个算式的结果一样吗？为什么？（学生独立计算，发现结果完全不同。）师：通过计算，你发现了什么？生6：有没有小括号，运算顺序不一样，结果也不一样。师：对！小括号能改变运算的先后顺序。在解决问题时，如果我们想先算加减法，后算乘除法，就必须请小括号来帮忙。2.不含括号的除加、除减师：我们再来看一个没有小括号的算式。比如：12+8÷4，应该先算什么？生7：先算8÷4=2，再算12+2=14。师：为什么先算除法？这里的除法表示什么？生8：表示把8平均分成4份，求一份是多少。加上12，就是求它们的和。师：很好。在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，都要先算乘、除法。这就是我们今天要掌握的新规则——除加、除减混合运算。四、综合练习，应用提升【火眼金睛】下面各题应先算什么？请画上横线。①4818÷3②(4818)÷3③24÷6+2④24÷(6+2)【解决问题】王老师带了50元钱，买了4个单价为8元的笔记本，剩下的钱准备买单价为6元的笔袋，最多能买几个？（引导学生分析：先算剩下多少钱？504×8。要求最多能买几个笔袋，就是求剩下的钱里包含几个6元，所以要用除法。需要先算减法，因此必须加小括号。列式：(504×8)÷6）学生独立计算，汇报交流，强化小括号的使用必要性。五、课堂小结师：通过今天的学习，你有哪些新的收获？关于混合运算的顺序，你有什么话要对大家说？生9：我知道了除加、除减的算式也是先算除法，后算加减。生10：我认识了一个新朋友——小括号，它能改变运算顺序，非常厉害！师：同学们总结得真好。记住，小括号是我们表达复杂数量关系的好帮手。四、第三课时：数量关系的建模与应用（一）教学内容苏教版（2024）三年级上册第一单元整理与练习。综合运用混合运算解决更复杂的实际问题，建立基本的数量关系模型。（二）教学目标1.【基础】进一步巩固不含括号和含有小括号的两步混合运算的运算顺序，能熟练、正确地进行计算。2.【核心】能从现实情境中抽象出数量关系，能根据问题情境准确列出综合算式，并解释算式中每一步的含义。3.【重要】初步建立“单价×数量=总价”、“工作效率×时间=工作总量”等基本数量关系的模型，并能在变式情境中识别和应用。4.【拓展】通过“一题多解”、“对比辨析”等活动，培养思维的灵活性和深刻性。（三）教学过程一、梳理知识，构建网络【头脑风暴】同学们，经过前两节课的学习，我们已经探索了混合运算的奥秘。请大家回忆一下，我们学到了哪些关于混合运算的知识？（学生自由发言，教师根据学生的回答进行板书整理，形成知识树或结构图。）板书结构：混合运算（两步）├─无括号│├─乘加、乘减：先算乘法，后算加减(例：5×3+7,305×3)│└─除加、除减：先算除法，后算加减(例：12+8÷4,189÷3)└─有括号└─先算括号里面的(例：(304×2)÷3,24÷(6+2))师：这些规则并不是数学家凭空规定的，而是从我们的生活经验中抽象出来的。今天，我们就用它来解决更多生活中的数学问题。二、分层练习，深化模型1.【基础巩固】计算小能手（先说说运算顺序，再计算）①7×6+18②81÷96③544×7④32+24÷8⑤(257)÷3⑥4×(125)⑦48÷(82)⑧60(15+25)（学生独立完成，小组内互批，重点纠错。教师巡视，针对典型错误进行全班点评，如脱式格式不规范、运算顺序错误等。）2.【情境建模】生活中的数学【场景一：文具店】出示信息：钢笔每支8元，笔记本每本5元，文具盒每个15元。（1）小明买了3支钢笔和1个文具盒，一共花了多少钱？(8×3+15)（2）小红带了50元，买了2本笔记本后，还剩多少钱？(505×2)（3）小刚用20元买了1个文具盒，剩下的钱可以买几支钢笔？((2015)÷8)【核心追问】对于第（3）题，为什么要加小括号？不加小括号会怎样？每一步计算求的是什么？（引导学生说出：先算剩下多少钱，再算剩下的钱能买几支钢笔。不加小括号，就会先算15÷8，不符合题意。）【场景二：植树活动】出示信息：三年级同学参加植树。一班分成4组，每组种6棵树；二班种了30棵树。（1）一班和二班一共种了多少棵树？(4×6+30)（2）一班比二班多种了多少棵树？(4×630)或(304×6)（3）三班种的树比一班和二班的总数少12棵，三班种了多少棵？(4×6+3012)【设计意图】通过两个贴近生活的场景，引导学生反复经历“阅读信息—分析关系—列式解答—解释意义”的过程，逐步将具体的解题过程抽象为一种可迁移的模型。三、对比辨析，提升思维【比一比，说一说】出示题目：妈妈买了一些水果。苹果每千克6元，买了3千克；香蕉每千克4元，买了5千克。（1）买苹果和香蕉一共花了多少钱？（2）买苹果比买香蕉多花了多少钱？师：请同学们分别列出综合算式，并比较这两个算式有什么相同和不同？生1：第一个是6×3+4×5，第二个是6×34×5。师：观察得非常仔细。这两个算式都是既有乘法，又有加法或减法。在计算时，它们有什么共同点？生2：都要先算两个乘法，再算加减法。师：没错！这里的两个乘法是同时进行的，它们分别代表苹果的总价和香蕉的总价。然后我们再把这两个总价合并或比较。这种“两个乘积相加/减”的模型，在解决购物问题中非常常见。【难点辨析】出示对比题组：A.学校买来30个篮球，平均分给6个年级，每个年级有4个班，平均每班分得几个？B.学校买来30个篮球，分给高年级15个，剩下的平均分给3个低年级，每个低年级分得几个？师：请分析这两道题的数量关系，列出综合算式。（学生尝试列式，可能会出现混淆。教师引导学生画简单的示意图分析。）生3：A题是平均分了两层，可以列式：30÷6÷4。生4：B题是连除，先求每个年级分多少个，再求每班分多少个。师：那B题呢？生5：B题是先减后除，列式：(3015)÷3。师：为什么B题要用小括号？而A题不用？生6：因为A题是按顺序一直平均分，所以从左到右算；B题要先算剩下的，才能再平均分，所以必须用括号。【热点题型】通过对比，让学生明晰“连除”和“先减后除”两种不同数量关系的区别，避免生搬硬套运算顺序。四、拓展延伸，发展素养【开放探究】出示信息：星期天，小明和4个同学一起去公园玩。公园门票价格：成人每张10元，儿童每张8元。他们一共带了100元。师：根据这些信息，你能提出哪些两步计算的数学问题？并尝试解答。（学生小组合作，提出问题并解答。教师选取有代表性的问题进行展示，如：“买门票一共花了多少钱？”（5×8），“还剩多少钱？”（1005×8），“如果还要买3瓶每瓶5元的饮料，钱够吗？”（5×8+3×5=55，55<100，够）等。）【设计意图】开放性的问题设计，能充分调动学生的知识储备，培养发散性思维和创造性解决问题的能力，让学生体会到数学知识的广泛应用价值。