2008年北京市中考数学试卷【含答案】

试卷第=page1414页，总=sectionpages1414页试卷第=page1313页，总=sectionpages1414页2008年北京市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）)1.-2的相反数是(

)A.-12 B.-2 C.122.截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（）A.0.216×103 B.21.6×103 C.3.若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是(

)A.内切 B.相交 C.外切 D.外离4.众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位/元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是(

)A.50，20 B.50，30 C.50，50 D.135，505.若一个多边形的内角和等于720∘，则这个多边形的边数是（）A.8 B.7 C.6 D.56.如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A.15 B.25 C.127.若|x+2|+y-3=0，则xy的值为（A.-8 B.-6 C.5 D.68.已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A. B.C. D.二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）)9.在函数y=12x-1中，自变量x的取值范围是________．10.因式分解：a3-ab211.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝2cm，则BC＝4cm．12.一组按规律排列的式子：-b2a，b5a2，-b8a3三、解答题（共13小题，满分72分）)13.计算：8-2sin4514.解不等式5x-12≤2(4x-3)，并把它的解集在数轴上表示出来．15.已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB // ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD.16.如图，已知直线y=kx-3经过点M，求此直线与x轴，y轴的交点坐标．17.已知x-3y＝0，求2x+yx2-2xy+18.如图，在梯形ABCD中，AD // BC，AB⊥AC，∠B＝45∘，AD=2，BC＝42，求19.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD:AO=8:5，BC=2，求BD的长．20.为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表：处理方式直接丢弃直接做垃圾袋再次购物使用其它选该项的人数占总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题：（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2

000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．21.京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？22.已知等边三角形纸片ABC的边长为8，D为AB边上的点，过点D作DG // BC交AC于点G．DE⊥BC于点E，过点G作GF⊥BC于点F，把三角形纸片ABC分别沿DG，DE，GF按图1所示方式折叠，点A，B，C分别落在点A'，B'，C'处．若点A'，B'，C'在矩形DEFG内或其边上，且互不重合，此时我们称△A'B'C'（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A，B，C，D恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A'B'C'的面积；（2）实验探究：设AD的长为m，若重叠三角形A'B'C'存在．试用含m的代数式表示重叠三角形A'B'C'的面积，并写出m的取值范围．（直接写出结果）23.已知：关于x的一元二次方程mx2-(3m+2)x+2m+2=0(m>0)．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1<x2）．若（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．24.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为(3, 0)，将直线y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．25.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60∘，探究PG与PC的位置关系及小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0∘<α<90∘)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，

参考答案与试题解析2008年北京市中考数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1.D2.D3.C4.C5.C6.B7.B8.D二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）9.x≠10.a(a+b)(a-b)11.412.-b20三、解答题（共13小题，满分72分）13.原式=2=214.解：去括号得，5x-12≤8x-6，移项得，5x-8x≤-6+12，合并同类项得，-3x≤6．系数化为1得，x≥-2．不等式的解集在数轴上表示如图：．15.证明：∵AB // ED，∴∠B=∠E．在△ABC和△CED中，AB=CE∴△ABC≅△CED(SAS)．∴AC=CD．16.解：由图象可知，点M(-2, 1)在直线y=kx-3上，∴-2k-3=1．解得k=-2．∴直线的解析式为y=-2x-3．令y=0，可得x=-32．∴直线与x轴的交点坐标为令x=0，可得y=-3．∴直线与y轴的交点坐标为(0, -3)．17.2x+y=2x+y当x-3y＝0时，x＝3y；原式=6y+y18.解法一：如图1，分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F．∴AE // DF．又AD // BC，∴四边形AEFD是矩形．∴EF＝AD=2∵AB⊥AC，∠B＝45∘，BC＝4∴AB＝AC．∴AE＝EC=12BC∴DF＝AE＝22，CF＝在Rt△DFC中，∠DFC＝90∘∴DC=D解法二：如图2，过点D作DF // AB，分别交AC，BC于点E，F．∵AB⊥AC，∴∠AED＝∠BAC＝90度．∵AD // BC，∴∠DAE＝180∘-∠B-∠BAC＝在Rt△ABC中，∠BAC＝90∘，∠B＝45∘，BC＝∴AC＝BC⋅sin45在Rt△ADE中，∠AED＝90∘，∠DAE＝45∘，∴DE＝AE＝1．∴CE＝AC-AE＝3．在Rt△DEC中，∠CED＝90∘∴DC=D19.解：（1）直线BD与⊙O相切．证明：如图，连接OD．∵OA=OD∴∠A=∠ADO∵∠C=90∘，又∵∠CBD=∠A∴∠ADO+∠CDB=∴∠ODB=∴直线BD与⊙O相切．（2）解法一：如图，连接DE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=∵AD:AO=8:5∴cos∵∠C=90∘cos∵BC=2，∴BD=解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．∴AH=DH=∵AD:AO=8:5∴cos∵∠C=90∘∴cos∵BC=2∴BD=20.解：（1）补全图1见下图．因为9×1+37×2+26×3+11×4+10×5+4×6+3×7100=300100=3（个），即这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3（2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%．例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献．21.这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米22.解：（1）∵每个小三角形的面积是3∴重叠三角形A'B'（2）重叠的等边三角形A'B'根据S=1面积是：12用含m的代数式表示重叠三角形A'B'm的取值范围为8323.（1）证明：∵mx2-(3m+2)x+2m+2=0∴△=[-(3m+2)]∵当m>0时，(m+2)2>0∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：由求根公式，得x=(3m+2)±(m+2)∴x=2m+2m或∵m>0，∴2m+2m∵x1∴x1=1，∴y=x即y=2（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出y=2m(m>0)由图象可得，当m≥1时，y≤2m．24.∵y＝kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C，∴C(0, 3)．设直线BC的解析式为y＝kx+3．∵B(3, 0)在直线BC上，∴3k+3＝0．解得k＝-1．∴直线BC的解析式为y＝-x+3．∵抛物线y＝x2+bx+c过点B，∴9+3b+c=0解得b=-4c=3∴抛物线的解析式为y＝x2由y＝x2可得D(2, -1)，A(1, 0)．∴OB＝3，OC＝3，OA＝1，AB＝2．可得△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45∘，CB＝3如图1，设抛物线对称轴与x轴交于点F，∴AF=12AB过点A作AE⊥BC于点E．∴∠AEB＝90度．可得BE＝AE=2，CE＝2在△AEC与△AFP中，∠AEC＝∠AFP＝90∘，∠ACE＝∠APF∴△AEC∽△AFP．∴AEAF=CE解得PF＝2．∵点P在抛物线的对称轴上，∴点P的坐标为(2, 2)或(2, -2)．解法一：如图2，作点A(1, 0)关于y轴的对称点A'，则A连接A'C，可得A'C＝AC=10，∠OC由勾股定理可得CD2＝20，A'又∵A'C2∴A'D2∴△A'DC是等腰直角三角形，∠C∴∠DCA'＝∴∠OCA'+∠OCD∴∠OCA+∠OCD＝45度．即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．解法二：如图3，连接BD．同解法一可得CD=20，AC=在Rt△DBF中，∠DFB＝90∘，BF＝DF＝1∴DB=D在△CBD和△COA中，DBAO=21=∴DBAO∴△CBD∽△COA．∴∠BCD＝∠OCA．∵∠OCB＝45∘∴∠OCA+∠OCD＝45度．即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度．25.解：（1）∵CD // GF，∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，DP=PF，∴△DPH≅△