2025-2026学年上海市黄浦区比乐中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市黄浦区比乐中学高一（上）期中数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、填空题（共有12道题，只要求直接填写结果，每空填对得3分）1．用或填空：0．2．设集合，，则．3．已知集合，，，，则．4．已知，是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设．5．不等式的解集是．6．设集合，，若，则实数的取值范围是．7．用有理指数幂的形式表示：．8．把指数式“”写成对数式．9．关于的不等式的解集是，则实数．10．设，方程的解集是．11．若整式不等式的解集为，，不等式的解集为，则不等式的解集为．12．已知关于的不等式至多有一个实数解，则实数的取值范围是．二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，第13-14题选对得3分，第15-16题选对得4分，否则一律得零分。13．若，3，，，，则是的条件．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．若，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C． D．15．下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．16．以下四个代数式：（1）；（2）；（3）；（4）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义．那么代数式的最小值为2的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题满分50分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，写在答题卷相应的答题框内，写到框外的不予计分。17．已知，，用及表示及．18．已知：实数满足不等式，：实数满足不等式．（1）设使成立的实数组成集合，求集合（用区间形式表示）；（2）是否存在实数，使得是的充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知：根式对一切实数有意义；：集合，．（1）求成立时实数的取值范围；（2）若与同时成立，求实数的取值范围．20．（1）幂函数的图像经过点，求的解析式；（2）已知函数为常数）．是否存在整数，使该函数在区间，上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由．21．（1）已知实数，求的取值范围；（2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为，两栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定海报的高与宽的尺寸（单位：，能使矩形海报面积最小？最小面积是多少？

参考答案一、填空题（共有12道题，只要求直接填写结果，每空填对得3分）1．用或填空：0．解：因为0是自然数，故．故答案为：．2．设集合，，则，．解：集合，，则，．故答案为：，．3．已知集合，，，，则，，．解：由已知集合和，可得，，，，，．故答案为：，，．4．已知，是实数，要用反证法证明“若，则或”这个命题，首先要假设结论不成立，也就是假设且．解：要用反证法证明“若，则或”这个命题，则应假设且．故答案为：且．5．不等式的解集是或．解：由不等式，可得或，解得或，所以不等式的解集是或．故答案为：或．6．设集合，，若，则实数的取值范围是，．解：，又，且，所以，所以实数的取值范围是，．故答案为：，．7．用有理指数幂的形式表示：．解：，故答案为：．8．把指数式“”写成对数式．解：，．故答案为：．9．关于的不等式的解集是，则实数3．解：因为关于的不等式的解集是，所以是方程的两个根，且，由韦达定理可得，，解得，所以．故答案为：3．10．设，方程的解集是．解：当时，方程化为，此方程恒成立，所以解为；当时，方程化为，解得，满足，所以解为；当时，方程化为，解得，满足，所以解为；当时，方程化为，此方程恒成立，所以解为，综上，方程的解集为．故答案为：．11．若整式不等式的解集为，，不等式的解集为，则不等式的解集为，，．解：不等式的解集为，所以的解集为，又，的解集为，所以，因为不等式的解集为，，可得不等式的解集为，，，所以的解集为，，．故答案为：，，．12．已知关于的不等式至多有一个实数解，则实数的取值范围是，．解：由题意可知，关于的不等式至多有一个实数解，当时，，解得，有无数多个实数解，不符合题意，当时，要使二次不等式至多有一个实数解，只需，解得，所以实数的取值范围是，．故答案为：，．二、选择题（本大题满分14分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，第13-14题选对得3分，第15-16题选对得4分，否则一律得零分。13．若，3，，，，则是的条件．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：由，3，，则可能为，，，，，3，，所以是的必要不充分条件．故选：．14．若，则下列不等式中不成立的是（）A． B． C． D．解：，，．因此不正确．故选：．15．下列各式中，正确的是（）A． B． C． D．解：对于，，故错误；对于，无法直接分解为，故错误；对于，，故错误；对于，由的分析得．故选：．16．以下四个代数式：（1）；（2）；（3）；（4）．其中的字母均表示实数，且代数式均有意义．那么代数式的最小值为2的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：对于（1）：当和小于0时，，此时代数式最小值不是2，故（1）错误；对于（2）：因为，所以，则，所以，此时代数式最小值不是2，故（2）错误；对于（3）：因为，所以，当且仅当，即时取等号，此时代数式的最小值为2，故（3）正确；对于（4）：当时，，此时代数式最小值不是2，故（4）错误．故选：．三、解答题（本大题满分50分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，写在答题卷相应的答题框内，写到框外的不予计分。17．已知，，用及表示及．解：，，，．18．已知：实数满足不等式，：实数满足不等式．（1）设使成立的实数组成集合，求集合（用区间形式表示）；（2）是否存在实数，使得是的充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为，解得，可得集合，；（2）假设存在实数，使得是的充分条件，设是的解集，则，因为，即，因为方程的根为，，当时，，解得，，，可得，显然，不包含于，，故不成立；当时，不等式变为，解集为，成立；当时，解集为，，，则，包含于，成立．综上，存在，使得，即是的充分条件．19．已知：根式对一切实数有意义；：集合，．（1）求成立时实数的取值范围；（2）若与同时成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意恒成立，当时，恒成立，符合题意；当时，可得，解得，综上实数的取值范围为，．（2）由（1）得，成立时的取值范围为，．因为，，当时，，解得，此时，，符合题意；当时，若判别式△，解得，此时，，符合题意；若△，解得，由，解得，此时，，不符合题意；若△，解得，此时有两个实数根，不符合题意，所以成立时的范围为，所以与同时成立，实数的取值范围是．20．（1）幂函数的图像经过点，求的解析式；（2）已知函数为常数）．是否存在整数，使该函数在区间，上是严格减函数，并且函数值不恒为负？若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由．解：（1）根据题意，函数为幂函数，设，图像经过点，则有，解得，所以；（2）存在整数，使该函数在区间，上是严格减函数，因为，若函数在区间，上是严格减函数，并且函数值不恒为负，则有，解得，又为整数，所以，，0，．21．（1）已知实数，求的取值范围；（2）如图，要设计一张矩形海报，该海报含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和