2025-2026学年上海市静安区市北中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市静安区市北中学高一（上）期中数学试卷考试注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．

一、填空题（共10题，1-5每题5分，6-10每题6分，满分55分）.1．已知全集为，集合，则．2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是．3．方程的解集为．4．函数的图象过定点，则点的坐标是．5．不等式恒成立，则的取值范围．6．设，，则．（用，表示）7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．8．函数的最小值为．9．已知实数，满足，则的最小值为．10．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，，．设，若，，则关于的不等式的解集为．二、选择题（本大题共3题，每题6分，满分18分）11．已知，下列不等式中一定成立是（）A． B． C． D．12．在区间上是严格增函数，且图像关于轴成轴对称的幂函数可以是（）A． B． C． D．13．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A．， B． C．，， D．，三、解答题（本大题共5题，共计13+13+15+18+18＝77分）14．设函数．（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．15．（1）已知正数满足，，求的值；（2）已知、、均为正数，且，求的值．16．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元设长为，总造价为元，求：（1）设长为，用表示，并求出的取值范围；（2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价．17．（18分）已知函数，．（1）已知，若，求实数取值范围；（2）若的解集是，求的解集；（3）解关于的不等式．18．（18分）（1）若方程的两根分别为、，求的值．（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明；韦达定理若一元二次方程的两个根为、，则，．证明：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三项式可以因式分解为．由于，从而等式恒成立．由例5知，该等式两边的对应项系数应相等．因此，．类比以上思路，推导一元三次方程的根与系数关系；（3）根据你的发现，解决以下问题：已知关于的方程有三个实数根、、满足，求实数的值．

参考答案一、填空题（本大题共10题，1-5每题5分，6-10每题6分，满分55分）1．已知全集为，集合，则，．解：全集为，集合，，．故答案为：，．2．已知幂函数的图象经过点，则的解析式是．解：由题意可设，幂函数的图象经过点，，解得，故的解析式是．故答案为：．3．方程的解集为．解：根据题意，，必有，解可得，原方程变形可得，即有，解可得：或，又由，则；故方程的解集为．故答案为：．4．函数的图象过定点，则点的坐标是．解：因为的图象过定点，令，则，，所以点的坐标为．故答案为：．5．不等式恒成立，则的取值范围．解：因为的几何意义是数轴上的点到，与到1的距离之和，显然最小值为2，所以的取值范围是：．故答案为：．6．设，，则．（用，表示）解：．故答案为：．7．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．解：当时，可得由题意可得，即，即解得，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．故答案为：0.68．函数的最小值为．解：由题意知的定义域为，所以，当时，函数取得最小值，故答案为：．9．已知实数，满足，则的最小值为．解：，，，，故，两边同时除以，得，故，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：．10．已知对任意，记表示不大于的最大整数，如，，．设，若，，则关于的不等式的解集为．解：当时，，，所以，等价于，解得，所以．当时，，，所以，等价于，解得，所以；当时，，，所以，等价于，解得，所以；当时，，，所以，等价于，解得，所以；综上所述，不等式的解集为．故答案为：．二、选择题（本大题共3题，每题6分，满分18分）11．已知，下列不等式中一定成立是（）A． B． C． D．解：根据题意，依次分析选项：对于，当，时，不等式不成立，故错误；对于，当时，不等式不成立，故错误；对于，当，时，不等式不成立，故错误；对于，因为，，必有成立，故正确．故选：．12．在区间上是严格增函数，且图像关于轴成轴对称的幂函数可以是（）A． B． C． D．解：对于，，定义域为，，图像不关于轴对称；对于，，是奇函数，图像不关于轴对称；对于，，是定义域为的偶函数，图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数；对于，，是定义域为上的偶函数，图像关于轴对称，在区间上单调递减．故选：．13．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围为（）A．， B． C．，， D．，解：由，可得，解得或，作出函数的图象，如图所示：由图可知有两个解，要使原方程有5个解，所以必有3个解，由图象可得，．故选：．三、解答题（本大题共5题，共计13+13+15+18+18＝77分）14．设函数．（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．解：（1）函数，因为不等式的解集是，所以2和3为方程的两个根，则，解得，，则不等式即为，变形为，解得，故不等式的解集为；（2），恒成立，则恒成立，所以△，解得，故实数的取值范围为，．15．（1）已知正数满足，，求的值；（2）已知、、均为正数，且，求的值．解：（1）因为，所以．所以；（2）因为、、均为正数，设，则，所以，，，，所以，，，所以．16．2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界．某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元设长为，总造价为元，求：（1）设长为，用表示，并求出的取值范围；（2）如何设计可使总造价最低，并求出最低造价．解：（1）设长为，长为，因为十字形区域面积为，所以，解得，因为，所以，因为，所以，所以，；（2）在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元，四个矩形地砖面积，造价；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元，四个三角形草坪面积，造价；在正方形上建一座花坛，造价为2100元，正方形花坛面积，造价；则总造价，化简得，因为，当且仅当，即（在范围中）时取等号，此时元，综上，当的长为时，总造价最低，为59000元．17．（18分）已知函数，．（1）已知，若，求实数取值范围；（2）若的解集是，求的解集；（3）解关于的不等式．解：（1）由题意知，得（1），即，化简得，解得，所以的取值范围是，．（2）由题意知，，得，化简得，即，因为不等式的解集为，所以，此时，不等式为，解得，满足题意，由，得，即，解得，所以，不等式的解集为，．（3）由，得，即，当时，原不等式即为，解得；当时，方程的根为，．①当时，即时，解原不等式得或，②当时，即时，原不等式即为，解得；③当时，即时，解原不等式得；④当时，即时，解原不等式得．综上，时，不等式的解集为或；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为．18．（18分）（1）若方程的两根分别为、，求的值．（2）教材中有对一元二次方程的根与系数关系（韦达定理）的证明；韦达定理若一元二次方程的两个根为、，则，．证明：因为一元二次方程的两个根为，，所以二次三