2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市徐汇区中国中学高一（上）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（1-6题每题3分，7-12每题4分，共计42分）.1．27的3次方根为．2．已知集合，1，，，则．3．陈述句“或”的否定形式是．4．关于的方程无实数解，则实数的取值范围是．5．已知集合，，则．6．若，，则是的条件．7．正实数、满足，则的最大值为．8．已知，则的最小值为．9．若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是．10．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为．11．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是．12．已知集合，，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，4，，可以求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为．二、选择题（每题4分，共计16分）13．如果实数、同号，则下列命题中正确的是（）A． B． C． D．14．下列不等式中，解集相同的是（）A．与 B．与 C．与 D．与15．若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（）A． B． C．或 D．16．由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中不可能恒成立的是（）A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素三、解答题（第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题10分，第21题10分，共计42分）17．写出不等式组：的解集．18．已知集合，．（1）当时，求集合；（2）若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数的取值范围．19．已知函数．（1）若的解集为，求的值．（2）若，解关于的不等式．20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中．（1）请你说明（5）的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．21．已知是的非空真子集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．（1）判断集合，，0，是否为封闭集，并说明理由；（2）命题：若非空集合，是封闭集，则“”是“是封闭集”的充要条件．请判断命题的真假，并说明理由．

参考答案一、填空题（1-6题每题3分，7-12每题4分，共计42分）1．27的3次方根为3．解：设27的3次方根为，则，解得，所以27的3次方根为3．故答案为：3．2．已知集合，1，，，则，1，2，．解：集合，，1，，则，1，2，．故答案为：，1，2，．3．陈述句“或”的否定形式是且．解：命题为全称命题，则“或”的否定形式为且，故答案为：且．4．关于的方程无实数解，则实数的取值范围是．解：由关于的方程无实数解，得，解得．故答案为：．5．已知集合，，则．解：集合，又，故可以取全体实数，，故．故答案为：．6．若，，则是的必要不充分条件．解：由或，，故是的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．7．正实数、满足，则的最大值为．解：，，，，当且仅当时，等号成立，的最大值为．故答案为：．8．已知，则的最小值为3．解：，，，当且仅当时，等号成立．故的最小值为3．故答案为：3．9．若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是，．解：当时，不等式即，满足条件．当时，要使不等式对一切恒成立，需，解得．综上可得，实数的取值范围是，4，故答案为，4．10．已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为．解：由的解集为，得1，2是方程的根，则，，即，，不等式为，即，解得或．故答案为：．11．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，．解：因为，当时，取等号，所以，解得．故答案为：，．12．已知集合，，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，4，，可以求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为2560．解：集合，，2，3，4，5，6，7，8，9，，集合中所有非空子集中含有1的有10类，（1）单元素集合中只有含有1，1出现了次，（2）双元素集合含有1的有，，，，，，1出现了次，（3）三元素集合含有1的有，2，，，2，，，9，，1出现了次，含有10元素集合，2，3，4，5，6，7，8，9，，即1出现了次，故1出现了次，故集合的所有非空子集中，这些和的总和是．故答案为：2560．二、选择题（每题4分，共计16分）13．如果实数、同号，则下列命题中正确的是（）A． B． C． D．解：选项，当时，，故错误；选项，当，时，，而，故错误；选项，当，时，，而，故错误；选项，因为实数、同号，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确．故选：．14．下列不等式中，解集相同的是（）A．与 B．与 C．与 D．与解：对于：由，解得：，故不等式的解集是，而中，故不等式的解集是，，，中解集不同；对于：由，解得：且，故中解集不同；对于的解集是，的解集是，中的解集相同；对于的解集是且，的解集是，故中解集不同；故选：．15．若全集，集合，或，则图中阴影部分所表示的集合为（）A． B． C．或 D．解：由题可得或，故图中阴影部分所表示的集合为．故选：．16．由无理数引发的数学危机已知延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中不可能恒成立的是（）A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素解：若，；则没有最大元素，有一个最小元素0；故正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故不正确；故选：．三、解答题（第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题10分，第21题10分，共计42分）17．写出不等式组：的解集．解：由，得，解得，由，得，解得，所以原不等式组的解集为．18．已知集合，．（1）当时，求集合；（2）若“”是“”成立的充分非必要条件，求实数的取值范围．解：（1）当时，，集合，．则；所以．（2）因为“”是“”成立的充分非必要条件，则，且，易知所以，解得，符合题意；综上所述，的取值范围为．19．已知函数．（1）若的解集为，求的值．（2）若，解关于的不等式．解：（1）由题意知，是方程的解，将代入得，解得；原不等式为，化简为，，所以不等式的解集为，；所以．（2）由不等式，可得，即，则方程的两根分别是或；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；当时，，不等式的解集为；综上，时，解集为；时，解集为；时，解集为．20．上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔（单位：分钟）满足：，，经测算，地铁载客量与发车时间间隔满足，其中．（1）请你说明（5）的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．解：（1）由分段函数的表达式得（5）的实际意义，发车间隔为5，载客量为950；（2）当时，，，当且仅当，即时取等号．当，．则当，．即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益为120元．21．已知是的非空真子集，如果对任意，，都有，，则称是封闭集．（1）判断集合，，0，是否为封闭集，并说明理由；（