2026届山东省高三数学高考三模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2026届山东省高三数学高考三模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：班级：姓名：考号：考试时间：120分钟满分：150分考试节点：高考三模科目：数学注意事项：1．本卷用于2026届山东省高三数学高考三模考前综合检测，重点考查基础知识、关键能力与综合运用能力。2．全卷共22题。选择题10题，每题3分，共30分；填空题6题，每题3分，共18分；解答题6题，共102分。3．答题前请将学校、班级、姓名、考号填写清楚；客观题答案写在规定位置，主观题写出必要步骤。4．解答题应书写清晰，凡只写结论而缺少主要过程的，按评分标准酌情扣分。不得使用计算器。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．已知集合A={x｜x²−3x−4<0}，B={x｜log₂(x−1)<2}，则A∩B=（）A．(−1，4)B．(1，5)C．(1，4)D．(−1，5)2．设复数z=(1+2i)/(1−i)，则|z|=（）A．√5/2B．√10/2C．3/2D．√103．已知α∈(0，π/2)，sin(α+π/6)=√3/2，则cos2α=（）A．1B．1/2C．0D．−1/24．二项式(x²−1/x)⁶的展开式中，x³的系数为（）A．20B．−20C．15D．−155．已知向量a=(1，2)，b=(t，−1)，若a·(a+2b)=0，则t=（）A．−1/2B．0C．1/2D．26．袋中有4个红球、3个蓝球、2个白球，从中一次取出3个球，则恰有两球颜色相同的概率为（）A．5/12B．55/84C．29/84D．13/217．函数f(x)=eˣ−ax在区间[0，1]上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≤1B．a≥1C．a≤eD．a≥e8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，则点B₁到平面ACD₁的距离为（）A．2/√3B．4/√3C．√3D．2√39．样本数据2，3，5，7，a的平均数为5，则该样本方差（除以样本容量）为（）A．13/5B．4C．26/5D．610．等比数列{aₙ}各项为正，且a₂=3，a₅=24，则a₄=（）A．6B．9C．12D．18二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案填写在题中横线上。11．曲线y=xlnx在点x=e处的切线与y轴的交点纵坐标为________。12．不等式log₂(x+1)+log₂(3−x)>1的解集为________。13．椭圆x²/9+y²/4=1的离心率为________。14．5本不同的书排成一排，其中指定的两本书不相邻，则不同排法共有________种。15．数列{aₙ}的前n项和Sₙ=3ⁿ−1，则aₙ=________。16．曲线y=x²与直线y=2x围成的封闭图形面积为________。选择题、填空题作答栏题号12345678910答案题号111213141516答案三、解答题：本大题共6小题，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题14分）已知函数f(x)=（√3/2）sin2x+（1/2）cos2x，x∈[0，π]。（1）将f(x)化为一个角的正弦形式；（2）求f(x)的最大值、最小值及对应的x；（3）解不等式f(x)≥1/2在[0，π]上的解集。【作答区】18．（本小题16分）某校对2026届高三学生进行数学高考三模考前检测，随机抽取80名学生的成绩，整理得到如下频数分布表（单位：分）。成绩区间[80，90)[90，100)[100，110)[110，120)[120，130)[130，140]频数6101824148（1）根据组中值估计这80名学生的平均成绩；（2）若按分层抽样从这80名学生中抽取40人，求各成绩区间应抽取的人数；（3）从（2）中[130，140]组抽到的4人里随机选2人参加讲题交流，已知这4人中男生1人、女生3人，求选中一男一女的概率。【作答区】19．（本小题16分）已知抛物线C：y²=4x，焦点为F，O为坐标原点。（1）设过F的直线与C交于A，B两点，证明|AB|≥4，并说明等号成立的条件；（2）当直线l：y=x−1与C交于A，B两点时，求A，B的坐标及△OAB的面积。【作答区】20．（本小题18分）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=2。点M为A₁B₁的中点。（1）证明CM⊥AB；（2）求二面角A-CM-B的余弦值；（3）求点A到平面BCM的距离。【作答区】21．（本小题18分）已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=√(3aₙ+4)（n∈N*）。（1）证明2≤aₙ<4；（2）证明{aₙ}单调递增，并求其极限；（3）设bₙ=4−aₙ，证明bₙ₊₁≤(1/2)bₙ，并判断n至少为多少时有4−aₙ<10⁻³。【作答区】22．（本小题20分）设函数fₐ(x)=eˣ−ax−1（x∈R）。（1）当a=1时，求f₁(x)的单调区间与最小值；（2）若fₐ(x)≥0对任意x∈R恒成立，求实数a；（3）证明当x>0时eˣ>1+x，并由此证明对任意正整数n，有(1+1/n)ⁿ<e。【作答区】

参考答案与解析一、选择题答案与关键理由题号12345678910答案CBBBABABCC1．x²−3x−4<0可化为(x−4)(x+1)<0，得A=(−1，4)；log₂(x−1)<2要求x>1且x−1<4，得B=(1，5)，故A∩B=(1，4)。选C。2．z=(1+2i)/(1−i)=((1+2i)(1+i))/2=(-1+3i)/2，所以|z|=√[(-1/2)²+(3/2)²]=√10/2。选B。3．α+π/6∈(π/6，2π/3)，且sin(α+π/6)=√3/2，故α+π/6=π/3，α=π/6，cos2α=cos(π/3)=1/2。选B。4．通项为C₆ᵏ(x²)⁶⁻ᵏ(−x⁻¹)ᵏ=C₆ᵏ(−1)ᵏx¹²⁻³ᵏ。令12−3k=3，得k=3，系数为−C₆³=−20。选B。5．a·(a+2b)=a·a+2a·b=5+2(t−2)=2t+1。由2t+1=0，得t=−1/2。选A。6．总取法C₉³=84。恰有两球同色的取法为C₄²·5+C₃²·6+C₂²·7=30+18+7=55，概率为55/84。选B。7．f′(x)=eˣ−a。在[0，1]上eˣ的最小值为1，要使f′(x)≥0恒成立，只需a≤1。选A。8．取坐标A(0,0,0)，C(2,2,0)，D₁(0,2,2)，B₁(2,0,2)。平面ACD₁的方程为x−y+z=0，点B₁到该平面的距离为|2+2|/√3=4/√3。选B。9．由平均数得2+3+5+7+a=25，a=8。方差为[(−3)²+(−2)²+0²+2²+3²]/5=26/5。选C。10．设公比为q>0，则a₅/a₂=q³=8，得q=2，所以a₄=a₂q²=12。选C。二、填空题答案与解析题号答案解析要点11−ey=xlnx，则y′=lnx+1。x=e时切点为(e，e)，斜率为2，切线方程y−e=2(x−e)，令x=0，得纵坐标−e。12(1−√2，1+√2)定义域为−1<x<3。原不等式等价于log₂[(x+1)(3−x)]>1，即(x+1)(3−x)>2，化为x²−2x−1<0，解得1−√2<x<1+√2。13√5/3椭圆中a²=9，b²=4，c²=a²−b²=5，故离心率e=c/a=√5/3。14725本不同书任意排列有5!种，指定两本相邻可看作一个整体，有2·4!种，故不相邻排法为5!−2·4!=72。152·3ⁿ⁻¹aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=(3ⁿ−1)−(3ⁿ⁻¹−1)=2·3ⁿ⁻¹，对n=1也成立。164/3交点由x²=2x得x=0或2，面积为∫₀²(2x−x²)dx=[x²−x³/3]₀²=4/3。三、解答题参考答案、详解与评分标准17．参考答案与解析（1）由辅助角公式，所以f(x)=sin(2x+π/6)。（2）令θ=2x+π/6。因为x∈[0，π]，所以θ∈[π/6，13π/6]。当θ=π/2时，x=π/6，f(x)取得最大值1；当θ=3π/2时，x=2π/3，f(x)取得最小值−1。（3）由sinθ≥1/2，且θ∈[π/6，13π/6]，得θ∈[π/6，5π/6]或θ=13π/6。因此x∈[0，π/3]或x=π。故解集为[0，π/3]∪{π}。评分标准：化为sin(2x+π/6)4分；确定θ范围2分；求最大值及对应x3分；求最小值及对应x3分；不等式解集2分。给分说明：若学生使用余弦形式或先求幅值后求相位，只要等价且角度范围处理正确，按同等标准给分；若最大值、最小值正确但漏写对应x，各扣1分。18．参考答案与解析（1）各组组中值依次为85，95，105，115，125，135。估计平均成绩为所以估计平均成绩为111.75分。（2）抽样比为40/80=1/2，各组应抽人数为3，5，9，12，7，4。（3）从4人中任取2人共有C₄²=6种等可能情况。选中一男一女的取法为C₁¹C₃¹=3种，故所求概率为3/6=1/2。评分标准：列出组中值并写出平均数表达式4分；算得111.75分2分；分层抽样人数每组正确共4分；写出总情况数2分；写出有利情况数2分；概率2分。给分说明：平均数若保留一位小数写成111.8分，可给满分；分层抽样人数必须为整数且总数为40，若仅个别区间错误，按每组约0.7分折算。19．参考答案与解析（1）抛物线y²=4x的焦点为F(1，0)。取抛物线参数点A(t₁²，2t₁)，B(t₂²，2t₂)。若AB过焦点，则焦点弦满足t₁t₂=−1。又因t₁t₂=−1，故(t₁−t₂)²=(t₁+t₂)²+4，于是|AB|=(t₁+t₂)²+4≥4。等号当且仅当t₁+t₂=0，此时直线AB为x=1，即过焦点且垂直于x轴。（2）将y=x−1代入y²=4x，得(x−1)²=4x，即x²−6x+1=0。故两个交点可写为A(3+2√2，2+2√2)，B(3−2√2，2−2√2)（次序可互换）。△OAB的面积为所以面积为2√2。评分标准：写出焦点和参数点2分；说明焦点弦条件t₁t₂=−13分；推出弦长表达式并证明|AB|≥45分；等号条件2分；联立求交点2分；面积计算2分。给分说明：第（1）问也可用焦半径公式或设直线方程联立证明，能得到焦点弦最小值为4且等号为通径时给满分；第（2）问交点次序不作要求。20．参考答案与解析建立空间直角坐标系：令C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A₁(2，0，2)，B₁(0，2，2)，则M(1，1，2)。（1）AB=(−2，2，0)，CM=(1，1，2)，有AB·CM=−2+2+0=0，故CM⊥AB。（2）平面ACM的一个法向量为n₁=CA×CM=(0，−4，2)，平面BCM的一个法向量为n₂=CB×CM=(4，0，−2)。按二面角A-CM-B的内侧方向，其余弦值为−1/5。（3）平面BCM的法向量可取n₂=(4，0，−2)。由点B(0，2，0)得平面BCM方程为4x−2z=0。点A(2，0，0)到该平面的距离为即点A到平面BCM的距离为4/√5。评分标准：坐标系和各点坐标3分；用数量积证明垂直3分；求两个法向量4分；计算二面角余弦4分；写出平面方程2分；距离公式与结果2分。给分说明：若采用传统几何法证明CM⊥AB，逻辑完整可给第（1）问满分；二面角若先求锐角再根据题意判定内侧角，应明确余弦符号，否则酌扣1分。21．参考答案与解析（1）由a₁=2，显然2≤a₁<4。若2≤aₙ<4，则10≤3aₙ+4<16，所以√10≤aₙ₊₁<4，特别地2≤aₙ₊₁<4。由数学归纳法知2≤aₙ<4。（2）当2≤aₙ<4时，上式成立，因此{aₙ}单调递增。又{aₙ}有上界4，所以收敛。设极限为L，则L=√(3L+4)，解得L=4或L=−1。由aₙ≥2，故L=4。（3）bₙ=4−aₙ>0，且从而bₙ≤2·(1/2)ⁿ⁻¹=2²⁻ⁿ。要使4−aₙ<10⁻³，只需2²⁻ⁿ<10⁻³。因为2¹⁰=1024>1000，所以n−2≥10，即n≥12。故n至少为12。评分标准：归纳证明范围5分；证明单调性4分；收敛性与极限4分；推导bₙ不等式3分；误差估计与最小n值2分。给分说明：第（1）问必须体现归纳起点和归纳步骤；第（2）问只写极限方程而未说明单调有界，极限部分最多给2分；误差估计写出n≥12即可。22．参考答案与解析（1）当a=1时，f₁(x)=eˣ−x−1，f₁′(x)=eˣ−1。故x<0时f₁′(x)<0，x>0时f₁′(x)>0，函数在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，最小值为f₁(0)=0。（2）若a≤0，则当x→−∞或x→+∞时，fₐ(x)不能保持非负，故需a>0。对a>0，fₐ′(x)=eˣ−a，唯一驻点为x=lna，且为最小点。恒有fₐ(x)≥0等价于a−alna−1≥0。设g(a)=a−alna−1，则g′(a)=−lna。g(a)在(0，1)上递增，在(1，+∞)上递减，最大值g(1)=0。因此g(a)≥0只能是a=1。故实数a=1。（3）由（1）知f₁(x)=eˣ−x−1在x=0处取得最小值0，所以对任意x∈R，eˣ≥1+x；当x>0时，因f₁在(0，+∞)上严格递增，故eˣ>1+x。取x=1/n（n为正整数），得e¹⁄ⁿ>1+1/n，两边取n次幂，得e>(1+1/n)ⁿ。评分标准：a=1时导数与单调区间4分；最小值2分；讨论a的必要范围3分；求一般最小值4分；分析g(a)并得a=14分；证明指数不等式与数列型结论3分。给分说明：第（2）问若直接利用图象或切线不等式判断a=1，需补足必要性论证；第（3）问须说明严格不等号的依据，不能只写eˣ≥1+x后直接得结论。四、评分标准细化说明（一）选择题评分细则：选择题每小题3分。学生只需选出唯一正确选项即可得满分；多选、错选或不选均不得分。若教师进行过程性讲评，可按以下关键点判断学生错因。1．关键点为二次不等式解集与对数定义域的同步处理。若只求出A或B而未取交集，说明集合运算意识不足；若未考虑x>1，容易误判端点。2．关键点为复数除法的共轭化简和模长计算。化简时应先把分母实数化，再由实部、虚部分别平方求和开方。3．关键点为角的范围。sin值相同会给出两个候选角，但α∈(0，π/2)排除了α=π/2的端点情形，因此只保留α=π/6。4．关键点为二项展开式通项的指数匹配。应写出指数12−3k，再令其等于3；符号由(−1)ᵏ决定，不能漏掉负号。5．关键点为向量数量积的线性运算。先算a·a=5，再算a·b=t−2，最终得到一次方程2t+1=0。6．关键点为“恰有两球颜色相同”不包含三球同色。应按红、蓝、白分别取同色两球，再从其他颜色中取一球，最后除以总数C₉³。7．关键点为导数在闭区间上的最小值。f′(x)=eˣ−a，eˣ在[0，1]上的最小值为1，所以a≤1是充要条件。8．关键点为空间坐标法求点到平面的距离。建立坐标系后求出平面方程x−y+z=0，再套用距离公式。9．关键点为先由平均数确定未知数a，再按样本容量为分母计算方差。本题明确“除以样本容量”，不能使用除以n−1的估计方差。10．关键点为正项等比数列的公比唯一。由a₅/a₂=q³=8得q=2，再求a₄=a₂q²。（二）填空题评分细则：填空题每小题3分。答案形式等价即可得分，如区间端点的根式化简、乘方形式与指数形式等价时均认可；若答案缺少定义域限制、端点开闭错误或只写中间式，按最终答案错误处理。11．采分点为导数y′=lnx+1、切点(e，e)、切线方程y−e=2(x−e)。若只写切线斜率而未求截距，不能得满分。12．采分点为定义域−1<x<3、对数合并、二次不等式求解。最终必须写成开区间(1−√2，1+√2)。13．采分点为识别长半轴a=3、短半轴b=2，利用c²=a²−b²求c=√5，最后写e=c/a。14．采分点为总排列5!与相邻排法2·4!。若使用插空法，也应得到3个非指定书形成4个空位，再安排两本指定书且不相邻。15．采分点为aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁。n=1时也满足2·3⁰=2，因此答案可统一写为2·3ⁿ⁻¹。16．采分点为求交点x=0，2，确定上方曲线为y=2x，下方曲线为y=x²，再计算定积分。（三）解答题评分细则：解答题按步骤给分。学生采用不同方法，只要逻辑严密、结论正确、关键推理完整，应按同等数学价值给分；计算错误若不影响后续方法，可在相应计算点扣分，不重复扣同一错误。17．本题重点考查三角恒等变换、辅助角公式和三角不等式解法。第（1）问应体现系数平方和为1，并确认相位角为π/6；第（2）问要把x的范围转化为θ的范围，不能直接套用全周期结论；第（3）问要注意θ的取值区间超过一个周期，端点θ=13π/6对应x=π，应单独保留。若学生只写[0，π/3]而漏掉{π}，第（3）问扣1分。18．本题重点考查频率分布表、分层抽样和古典概型。平均数估计必须使用组中值而不是组端点；分层抽样应保持各组比例，且抽样人数相加为40；古典概型部分要说明每种抽法等可能。若学生把“至少一名男生”误读为“一男一女”，本题原设问为一男一女，应按题意给分；若只列出3/6未化简为1/2，也给满分。19．本题重点考查抛物线焦点弦与解析几何计算。第（1）问可用参数法、焦半径公式或直线联立法；无论采用何种方法，都应体现最小值来自平方非负或通径最短。第（2）问联立后得到两个交点，根式符号可交换；面积可用行列式形式、向量叉积或“底乘高”思路计算，结果为2√2。20．本题重点考查空间向量、垂直证明、二面角和点面距离。建立坐标系时应保证三棱柱为直三棱柱，侧棱方向与底面垂直；二面角余弦的符号需要结合面A-CM-B的内侧角判断；点到平面距离必须先写出或等价确定平面BCM的法向量。若只写出距离公式但平面方程错误，该问最多给1分。21．本题重点考查递推数列的归纳界定、单调有界原理和误差估计。第（1）问要完整呈现归纳起点和归纳步骤；第（2）问证明单调递增后还要说明上界为4，因此极限存在；第（3）问把非线性递推转化为误差递推是关键，最终由2²⁻ⁿ<10⁻³得到n≥12。22．本题重点考查导数、恒成立问题和指数函数不等式。第（1）问以导数符号确定单调区间，并得到最小值0；第（2）问要先排除a≤0，再对a>0求全局最小值，最后利用g(a)的单调性判断只有a=1；第（3）问的严格不等号来自x>0时f₁在(0，+∞)上严格递增，取x=1/n后再取n次幂即可。综合给分原则：书写顺序与参考答案不同不影响给分；符号、单位、区间端点和根式化简应保持准确；因前一步计算失误导致后续数值连带错误，但方法完整的，可在不超过该小问半数分值范围内酌情给分。（四）逐题阅卷提示：以下提示用于统一阅卷尺度，保证同一题在不同班级、不同阅卷教师之间保持稳定标准。客观题以最终选项或填空为准，主观题以关键步骤、逻辑链条和结论一致性为准。第1题：阅卷时重点看学生是否同时处理二次不等式和对数不等式。若草稿中只写出一个集合，通常对应选项A或B的误选；讲评时应强调定义域、解集和交集三步缺一不可。第2题：该题的主要误差来自分母没有实数化或虚部符号写反。正确过程应出现乘以1+i或等价的共轭处理，最后的模长应为平方和开方，不应把实部、虚部直接相加。第3题：该题虽然计算量小，但角的范围决定答案唯一性。若学生写出两个α值，应检查是否把开区间端点排除；若将cos2α写成cosα的值，说明二倍角概念混淆。第4题：该题阅卷时看通项指数是否为12−3k。若学生把指数写成12−2k或6−3k，属于通项构造错误；若k=3正确但系数写成20，则只错在符号判断。第5题：该题可直接使用坐标数量积。若学生把a+2b写错为2a+b，方程会完全改变；若结果为−1/2且过程清楚，满分认可。第6题：该题最常见问题是把“三球同色”也计入“恰有两球同色”。阅卷时应看是否采用分类相加：红色成双、蓝色成双、白色成双，并用总取法C₉³作分母。第7题：该题考查由导数非负判断单调递增。若学生只代入端点e−a≥0得到a≤e，则没有抓住导数最小值；正确标准是f′(x)在整个区间恒不小于0。第8题：空间坐标法中，平面方程是核心。若平面法向量与方程等价，结果可给满分；若只凭空间想象给出距离而无计算支撑，不宜给满分。第9题：方差计算必须先由平均数确定a=8。若学生得到a正确但方差分母使用4，说明混用了无偏估计方差；本卷题干已明确按样本容量计算。第10题：该题不需要求出首项也能解出a₄。若学生先求首项a₁=3/2再求a₄=12，过程同样有效；若公比取−2，与“各项为正”不符。第11题：阅卷时看是否写出导数lnx+1和切点(e，e)。切线纵截距是最终填空对象，不能把切点纵坐标e误填为答案。第12题：对数合并后要保留定义域。虽然最终区间自然落在定义域内，解题过程仍应体现x+1>0与3−x>0的条件，避免形成机械合并的习惯。第13题：椭圆离心率题应区分a²和a。若学生写e=√5/9，说明把长半轴平方当成长半轴；若写√5/3，形式已经最简。第14题：该题可用总数减相邻，也可用插空法。使用插空法时，三本其他书排好有3!种，形成4个空位，从中选2个安排指定两本并考虑顺序，结果为3!·C₄²·2!=72。第15题：前n项和转通项时应使用aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁。若学生只在n≥2时证明，应补充n=1的检验；统一表达2·3ⁿ⁻¹最为简洁。第16题：面积题应先求交点再确定上下函数。若学生把积分上下限写成0到2且被积函数为2x−x²，即使没有画图，也说明区域判断正确。第17题：三角题阅卷重点在辅助角公式和范围转化。学生可把函数写成cos(2x−π/3)等价形式，但随后求最值与不等式时必须与该形式对应，不能混用不同相位。第18题：统计题阅卷要分清“估计平均数”与“真实平均数”。表中给的是分组数据，所以组中值法是标准做法；分层抽样部分应完整列出六个区间的人数。第19题：解析几何题允许多种方法。若用直线y=k(x−1)联立，应能推出弦长关于k的表达式并说明最小值；若用参数法，t₁t₂=−1是关键等价条件。第20题：立体几何题使用空间向量较为直接。阅卷时重点看坐标系是否与题设长度一致、法向量是否垂直于相应平面内两条相交直线、距离公式是否代入正确。第21题：递推数列题的采分重点是“界—单调—极限—误差”四层结构。若只求出极限4而没有证明极限存在，不能给第（2）问满分。第22题：函数题的恒成立问题必须处理全体实数。若学生只在x≥0上讨论，会漏掉a≤0时的反向趋势；证明(1+1/n)ⁿ<e时应明确n为正整数，保证1/n>0。（五）解答题分步采分示例：下列分步说明用于细化主观题给分。实际阅卷时，若学生采用等价方法，可参照相同关键节点给分；若步骤之间存在轻微跳跃，但数学依据清楚、结论无误，可视为过程完整。17题分步采分：第一步识别两项同角函数的系数组合，写出幅值为1，确定辅助角π/6；第二步把原变量x的范围准确转化为θ=2x+π/6的范围；第三步在该范围内寻找正弦函数取到1和−1的点；第四步解sinθ≥1/2时，应把一个完整周期内的解与区间端点对应起来，最后回代为x的集合。18题分步采分：第一步列出组中值并建立加权平均式；第二步完成乘加运算并除以总人数80；第三步由抽样比1/2得到各组抽取人数，且六组人数总和为40；第四步在4人中选2人的古典概型中列出总情况数和一男一女的情况数，最后写出概率。若平均数计算出现个别乘法错误，但方法正确，可保留方法分。19题分步采分：第一步写出焦点F(1，0)和抛物线参数点；第二步说明焦点弦对应参数关系t₁t₂=−1；第三步由两点距离公式推出弦长表达式并转化为平方非负形式；第四步说明等号对应t₁+t₂=0，即通径；第五步对直线y=x−1与抛物线联立求根，并用坐标面积公式求△OAB面积。20题分步采分：第一步建立坐标系并列出A、B、C、M的坐标；第二步用数量积证明CM与AB垂直；第三步分别求平面ACM和平面BCM的法向量；第四步计算法向量夹角并结合二面角内侧方向给出余弦值；第五步写出平面BCM的方程，再用点面距离公式求点A到平面的距离。21题分步采分：第一步通过数学归纳法证明数列始终落在[2，4)内；第二步比较aₙ₊₁与aₙ，利用(aₙ−4)(aₙ+1)≤0证明单调递增；第三步由单调有界确认极限存在，再代入递推式求极限；第四步把4−aₙ