三年级数学教案：笔算两位数乘一位数（进位）

三年级数学教案：笔算两位数乘一位数（进位）

一、教学内容分析

  本节课选自人教版三年级上册第六单元《多位数乘一位数》，是继口算乘法、不进位笔算乘法之后的进位笔算起始课。从《义务教育数学课程标准（2022年版）》看，本课内容隶属于“数与运算”领域，核心要求是“探索并掌握多位乘一位数的笔算方法，理解算理”。其知识技能图谱清晰：学生需在明确“满十进一”的规则下，将两位数乘一位数（不进位）的竖式模型进行迁移与升级，掌握进位的处理方法，并能够正确计算。这一知识点是后续学习三位数乘一位数、多位数乘法乃至小数乘法竖式计算的重要基石，在整个小学阶段的运算体系中起着承上启下的枢纽作用。从过程方法看，本课是培养学生运算能力和推理意识的绝佳载体。教学需引导学生经历“具体操作（小棒演示）—表象支撑（口算分解）—符号抽象（竖式计算）”的完整建模过程，深刻理解“为什么进位”以及“进位1写在哪里”的算理本质，而非机械记忆算法步骤。从素养价值渗透而言，通过解决诸如“购买若干套文具”等真实问题，不仅能够发展学生的模型意识和应用意识，更能在严谨的算理探究和有条理的表达中，培养其一丝不苟、言必有据的科学态度。

  基于“以学定教”原则进行学情诊断：学生已熟练掌握表内乘法、整十数乘一位数的口算以及两位数乘一位数（不进位）的笔算，具备自主迁移的基础。其生活经验中亦积累了对“总价=单价×数量”等乘法模型的朴素认知。然而，认知障碍同样显著：一是从“满十”到“向十位进一”的抽象过程存在思维跨度，部分学生可能仅记住步骤而无法理解其位值原理；二是连续进位时（如47×7），学生易出现遗忘加进位数或进位叠加错误。教学过程中，我将通过“前测”环节的针对性口算与旧知回顾，快速诊断学生迁移能力；在新授中，通过关键性问题链（如“这个‘1’表示什么？它应该放在哪里？为什么？”）和巡视时观察学生的操作与书写，动态把握算理理解程度。为此，教学调适策略将聚焦于搭建可视化脚手架（如小棒图、计数器动画），并为不同思维速度的学生设计分层探究任务：基础任务聚焦单次进位，挑战任务则涉及连续进位和简单实际问题，确保每一位学生都能在“最近发展区”内获得成功体验与思维发展。

二、教学目标

  知识目标：学生能准确阐述两位数乘一位数（进位）笔算的书写格式与计算步骤，特别是进位的方法；能结合小棒图、口算过程清晰地解释竖式中每一步计算的含义及进位“1”的来源与书写位置，达成对算理的深度理解，并能正确、熟练地进行计算。

  能力目标：学生能够在解决真实情境问题的过程中，自主经历从具体操作到抽象竖式的数学建模过程，发展运算能力和初步的推理能力；能通过对比、辨析，归纳概括进位笔算与不进位笔算的异同，提升归纳与迁移能力。

  情感态度与价值观目标：在小组合作操作与交流中，学生能乐于分享自己的发现，认真倾听同伴的见解，体验共同探索数学规律的乐趣；在严谨的算理探究过程中，逐步养成计算时专注、仔细、步步有据的学习习惯。

  科学（学科）思维目标：重点发展学生的符号意识与运算推理能力。通过设计“如何用简洁的竖式记录复杂的口算过程”这一核心任务，引导学生将具象的“满十捆成捆”的动作思维，转化为抽象的“向前一位进1”的符号思维，并能够有条理地表达其推理过程。

  评价与元认知目标：引导学生学会使用“说算理”的方式自我检验计算的正误；在课堂小结环节，能通过绘制简易的思维导图或流程图，反思本节课知识建构的路径，并能够清晰判断自己对于不同复杂度题目的掌握程度，为课后练习的选择提供依据。

三、教学重点与难点

  教学重点：掌握两位数乘一位数（进位）的笔算方法，并能正确计算。其确立依据源于课程标准的明确要求与学业评价的导向。从知识结构看，它是多位数乘一位数笔算规则的核心与关键，进位规则的掌握直接决定了后续所有乘法笔算学习的成败。从能力立意看，正确执行包含进位的多步计算，是学生运算能力达标的基本标志，也是各类学业水平测试中的基础且高频的考点。

  教学难点：理解进位的算理，特别是连续进位时如何正确处理。预设的难点成因主要有二：一是认知跨度大，学生需将“个位相乘满几十，就向十位进几”这一抽象规则，与位值概念紧密联系，理解“进上的数”是表示几个“十”；二是思维过程复杂，在连续进位（如个位乘得数加十位进上来的数再次满十）时，学生的短时记忆负荷与操作步骤叠加，极易出错。突破方向在于强化直观演示与算理对应，通过反复追问“这个‘几’表示什么？应该加在哪儿？”，将内隐的思维过程外显化、程序化。

四、教学准备清单

1.教师准备

  1.1媒体与教具：多媒体课件（内含小棒图动态演示、计数器模拟动画）；板书设计纲要（预留核心算理与算法归纳区）。

  1.2学习材料：课堂学习任务单（含分层探究任务）；示范用的小棒图卡片。

2.学生准备

  2.1学具：每人准备若干小棒（或替代物）。

  2.2知识：复习表内乘法和整十数乘一位数的口算。

3.环境布置

  3.1座位：四人小组合作式就坐，便于交流与操作。

五、教学过程

第一、导入环节

  1.情境创设，激活旧知：“同学们，学校文体店新进了一批羽毛球拍，每副24元。如果买2副，多少钱？谁会列式？”（24×2）。“这是个我们学过的两位数乘一位数，请大家用竖式在任务单上算一算。”学生独立计算不进位乘法。“算得又快又准！看来不进位的笔算大家已经掌握得很牢固了。”

  1.1制造冲突，提出问题：“现在，如果老师想买3副呢？算式怎么列？”（24×3）。“估一估，大约要多少钱？”学生可能估60元或70多元。“那准确结果到底是多少？还能不能用竖式来计算呢？试试看！”学生尝试计算，必然出现“个位4×3=12，这个‘12’该怎么处理？”的认知冲突。“我发现了，有的同学遇到了新情况，个位乘得的数‘满十’了！这可怎么办？今天，我们就来当一回‘算法工程师’，一起攻克‘进位’这个新挑战。”

  1.2明晰路径：“我们将请出老朋友小棒来帮忙，从摆一摆、算一算中明白道理，最后总结出既清晰又可靠的笔算新方法。”

第二、新授环节

  ###任务一：借助直观，初探算理

  教师活动：首先，发布任务：“请同学们用手中的小棒，摆出3个24。想一想，怎么摆能让人一眼就看出来是多少根？”巡视，引导学生将10根小棒捆成一捆。接着，指名上台演示，并引导全班观察：“他先摆了什么？（3个4根）一共是12根单根的，然后呢？（把10根捆成1捆）现在能一眼看出是多少了吗？（7捆零2根，就是72根）”课件同步动态演示此过程。然后，抛出核心问题链：“谁能用我们学过的口算方法，把这个摆小棒的过程说出来？”引导学生说出：先算3个4是12，再算3个20是60，最后60+12=72。“大家听出来了吗？这12里，其实包含了1个‘十’和2个‘一’。这个‘十’怎么办？”自然引出“进到十位”的概念。

  学生活动：动手操作小棒，经历“分开摆—合并单根—满十捆成一捆”的全过程。观察同伴和课件的演示，直观感受“满十进一”的具象意义。尝试用口算分解法描述操作过程，并在教师引导下，发现“12”中的“十”需要被特殊处理，与已有知识经验产生链接。

  即时评价标准：1.操作是否规范，能否主动进行“捆”的操作。2.口述摆的过程与计算结果时，是否清晰、有条理。3.是否能将小棒操作与口算分解式中的“12”建立联系。

  形成知识、思维、方法清单：★算理根基：个位上乘得的数如果“满十”（等于或超过10），就不能直接写在个位，因为十位上的“1”表示1个十，需要进入十位参与计算。这是基于位值制的根本原则。▲方法联系：摆小棒“捆”的过程，就是口算中“先分后合”的直观体现，也是竖式进位的现实原型。理解这一点，竖式就不再是抽象的符号游戏。

  ###任务二：架设桥梁，对应竖式

  教师活动：在黑板上规范板书24×3的竖式。“刚才我们口算的‘3个4是12’，在竖式里对应哪一步？”（用3乘个位上的4，得12）。这是关键点：“这个‘12’在竖式里怎么写，才能既体现我们口算的思路，又能和小棒‘捆’的过程对上号呢？小组讨论一下。”巡视听取讨论，可能有两种意见：直接写12，或分开写。引导辨析：“如果直接写12，这个‘1’（十位上的）和‘2’（个位上的）挤在一起，一会儿还要用‘1’去加，容易混淆。数学追求清晰简洁，我们通常分开写。”演示写法：在横线下面对齐个位写2，同时，将这个“1”写在十位的右下角，写得小一些，当作一个“秘密记号”，提醒自己：“我这里还有1个十没加呢！”这个“小1”我们叫它“进位点”。

  学生活动：观察竖式，积极思考口算与竖式的对应关系。小组内热烈讨论“12”的书写方式，尝试说出各自的理由。观察教师的规范板书，理解“进位点”的位置、写法和意义，并跟随教师一起书空练习。

  即时评价标准：1.讨论时能否将竖式步骤与口算过程对应起来。2.是否理解“进位点”作为临时记录符号的必要性。3.书空时笔顺、位置是否大致正确。

  形成知识、思维、方法清单：★核心书写规范：个位乘得的数满几十，就在积的个位写几，同时向十位进几。进的“几”要写在十位的右下角，记为进位点，通常写得小而清晰。▲易错警示：进位点千万不能写在两个数位的中间或别的位置，否则会导致后续加法错位。这是初学时的书写通病，需反复强调。◆思维转化：将脑中“满十进一”的抽象思维，外化为一个可见的、有固定位置的符号（进位点），这是数学表达精确化的重要一步。

  ###任务三：完成计算，归纳算法

  教师活动：“秘密记号做好了，接下来怎么办？”引导学生：“别忘了，十位上原本有2个十（2×10），我们还要加上刚刚从个位进上来的‘1个十’。”带领学生完成竖式后续计算：“所以，用3乘十位上的2，得6个十，再加进上来的1个十，一共是7个十，在积的十位写7。”完整展示计算过程。“现在，谁能看着竖式，把计算过程完整地说一遍？注意说清先算什么，再算什么，进位怎么处理。”请1-2名学生尝试叙述，教师用流程图（乘个位→写个位积、记进位→乘十位→加进位→写十位积）辅助梳理。最后，引导学生对比24×2和24×3的竖式：“仔细观察，进位乘法和不进位乘法，最大的不同在哪里？”

  学生活动：跟随教师的引导，完成竖式后半部分的计算。尝试独立、完整地叙述计算步骤。通过对比两个竖式，直观发现“进位点”的存在与否是根本区别，并尝试用自己的语言总结进位笔算的注意事项。

  即时评价标准：1.叙述计算过程是否完整、条理清晰，尤其是否包含“加进位”这一关键步骤。2.对比观察时，能否准确指出核心差异。3.能否初步归纳出“不要忘记加进位数”这类朴素的计算要点。

  形成知识、思维、方法清单：★完整算法步骤：两位数乘一位数（进位）笔算可分五步：一对齐（数位对齐）；二乘个（乘个位，写个位，记进位）；三乘十（乘十位）；四加进（十位乘得数加进位数）；五写十（写得数）。▲方法提炼：“一乘、二写、三记、四加、五落”的口诀可以帮助记忆，但必须在理解算理的基础上使用，避免机械套用。◆结构化思维：通过对比，将新知识（进位乘）整合到原有知识网络（不进位乘）中，明确其是原有模型的特例与发展，形成结构化的认知。

  ###任务四：分层探究，深化理解

  教师活动：出示分层任务卡。基础组：计算47×2，18×5（单次进位）。挑战组：计算36×7（涉及连续进位思考），并尝试解决：“一套《童话大王》56元，买4套赠1套，买5套实际要付多少钱？”巡视指导，对基础组重点检查进位点书写和“乘十位后加进位”的步骤；对挑战组，在连续进位处提示：“个位6×7=42，向十位进4。十位3×7=21，这里加的‘4’是哪里来的？现在十位一共是25，又满二十了，怎么办？”引导学生理解“满几十进几”规则的普适性。

  学生活动：根据自身情况选择任务组进行独立计算。基础组巩固单次进位流程；挑战组探索连续进位问题，并在教师点拨下理解“十位乘得数加进位数后可能再次进位”的规则。尝试解决实际问题，体会乘法在购物场景中的应用。

  即时评价标准：1.计算准确率，特别是进位加法是否正确。2.挑战组能否理解连续进位的逻辑，并尝试用算理解释。3.解决实际问题时，能否正确提取数学信息并列出算式。

  形成知识、思维、方法清单：★连续进位规则：“满几十，就向它的前一位进几”。无论是个位、十位，还是未来学习的更高数位，此规则一致。个位满几十向十位进几；十位运算后如果又满几十，则向百位进几。▲应用意识：将乘法计算置于“买赠”的实际问题中，需要先理解“买4付4”的实际付款方式，再列式计算。这考查了信息处理与建模能力。●差异化路径：设计分层任务，让所有学生都能获得成功体验，并在各自水平上接受适度挑战，是实现课堂公平与效率的关键策略。

第三、当堂巩固训练

  基础层（全员必做）：列竖式计算。①29×3②38×2③15×6。设计意图：巩固单次进位笔算的基本功。反馈：学生独立完成后，同桌交换批改，重点互查“进位点”是否标记、十位计算是否加了进位数。教师选取一份典型作业（完全正确）投影展示，请作者简述计算过程；再选取一份有“忘加进位”错误的作业，进行集体诊断：“大家看看这位同学的‘病历’，问题出在哪儿？怎么‘治疗’？”

  综合层（多数学生完成）：森林医生（改错）。出示两道有典型错误的竖式（如：进位点位置写错；十位乘完后未加进位数）。设计意图：在辨析错误中深化对算理和书写规范的理解。反馈：学生独立“诊断”并改正。请学生扮演“小医生”上台讲解病因和疗法，要求用数学语言说明。

  挑战层（学有余力选做）：□里可以填几？4□×2的积的个位是0。设计意图：这是一道蕴含推理趣味的开放题，需要综合考虑乘法口诀和进位对个位的影响。反馈：鼓励学生分享不同的填法（0或5），并追问：“为什么填0或5都可以？它们计算过程有什么不同？”（填0时，0×2=0，个位为0；填5时，5×2=10，向十位进1，个位写0）。引导发现规律，激发深度思考。

第四、课堂小结

  “同学们，这节课我们当了一回出色的‘算法工程师’，成功升级了乘法笔算系统。现在，请大家闭上眼睛回顾一下，我们是怎样一步步找到‘进位’密码的？可以从‘我们遇到了什么新问题’、‘我们用了什么好办法’、‘我们最后学会了什么’这几方面想一想。”给予学生片刻静思时间。随后，邀请2-3名学生分享收获，教师适时板书关键词（如：摆小棒、进位点、乘加……）。引导学生共同完成一个简易的思维导图（中心：笔算进位乘法；分支：算理-操作与口算；算法-五步骤；注意-别忘加进位）。最后布置分层作业：“今天的作业是自助餐：A餐（必做）是课本第61页做一做第1题；B餐（推荐）是完成学习任务单上的‘生活小超市’应用题；C餐（挑战）是探究‘三位数乘一位数，如果有进位，该怎么算呢？’大家可以先猜一猜。我们下节课继续研究！”

六、作业设计

  基础性作业（必做）：完成课本对应练习中的基本计算题，如列竖式计算16×4、27×3、35×8等共计6道。旨在通过适量重复，固化正确计算步骤，形成肌肉记忆，保证基础运算的熟练度与准确率。

  拓展性作业（推荐多数学生完成）：“家庭购物小清单”任务。请学生记录家中购买某一种物品的单价和数量（如苹果每斤8元，买了3斤），列出乘法算式并用竖式计算总价。旨在将数学与生活实际紧密相连，在实践中应用知识，体会数学的价值。

  探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：1.数学小讲师：录制一段1分钟左右的短视频，向家人或“虚拟同学”讲解一道进位乘法题（如48×6）的计算过程，要求说清算理。2.挑战谜题：一个两位数乘7，得到的积的个位数字是8，这个两位数可能是多少？（列出所有可能）。这类作业重在发展学生的表达能力和探究推理能力。

七、本节知识清单、考点及拓展

  ★核心概念：进位。在乘法竖式计算中，当某一位上的乘积满几十时，就必须向它的前一位进几。这个“几”表示的是几个更高位的计数单位（如向十位进2，表示2个十）。这是位值制计算的铁律。

  ★笔算算法（两次进位以内）：五步法。1.数位对齐：通常将位数多的数写在上面。2.乘个位：用一位数乘两位数的个位数字。3.写个记进：将所得积的个位数写在积的个位，满几十就在十位右下角记一个小数字“几”作为进位点。4.乘十位加进：用一位数乘两位数的十位数字，再加上进位点上的数。5.写十位：将上一步的结果写在积的十位上。（若满百，则向百位进位）

  ▲易错点1：忘加进位数。这是最常见的错误。解决方案：将进位点写在清晰且固定的位置（十位右下角），计算十位时养成“先看一眼进位点”的习惯。

  ▲易错点2：进位点书写位置错误。如写在两数中间或个位下方。会导致数位混乱。需通过反复示范和对比纠错强化正确书写格式。

  ▲易错点3：连续进位出错。在计算如47×7时，个位7×7=49，向十位进4；十位4×7=28，加上进位的4得32，应向百位进3，在十位写2。学生容易在第二次进位时忘记或加错。突破方法是放慢节奏，分步标清。

  ◆算理理解模型：可利用方格图或位值板。将24×3理解为3个“2条（十格条）和4个单格”，操作中将12个单格中的10个换成一个十格条，直观呈现“替换”与“进位”过程。

  ●典型考题（基础）：直接列竖式计算两位数乘一位数的进位乘法。要求过程完整，书写规范。

  ●典型考题（应用）：结合简单的实际问题，如“一辆准乘48人的大巴，运了6趟，最多能运送多少人？”，考查学生选择算法和计算的能力。

  ●典型考题（辨析）：给出有计算错误的竖式，让学生判断并改正。重点考查对算理和算法的深度理解。

  ◆拓展联想（为后续铺垫）：引导学生思考：如果是三位数乘一位数，比如128×3，个位、十位、百位分别该怎么算？进位的规则会变吗？让学生初步感知算法的一致性。

八、教学反思

    （一）目标达成度评估：从当堂巩固训练的情况看，约85%的学生能独立、正确地完成基础层计算，说明知识技能目标基本达成。在“说算理”环节，大部分学生能借助小棒图或口算分解来解释进位，表明算理理解的目标得到落实。然而，挑战层的连续进位题和开放题，仅有约30%的学生能完全自主解决，提示高阶思维目标的达成度存在分层，这与学生原有的迁移能力和专注度差异有关。情感目标方面，小组操作环节学生参与度高，但在倾听同伴发言的专注度上，仍有提升空间。

    （二）核心环节有效性分析：1.导入环节：由不进位乘法自然引出进位问题，制造认知冲突，成功激发了学生的探究欲。“算法工程师”的隐喻贯穿始终，赋予了学习以使命感和趣味性。2.任务一（摆小棒）：这是突破算理难点的关键“脚手架”。实际操作中，部分小组在“捆”的动作上耗时较多，影响了后续讨论时间。思考：是否可前置微课视频示范标准操作，或使用更便捷的数学磁性学具，以节省时间，将重点聚焦于观察与思考“满十”与“进一”的对应关系上？3.任务二（架设桥梁）：关于“12”书写方式的讨论非常必要，有效暴露了学生的原始思维。但在引导“为什么分开写”时，我的解释“数学追求清晰简洁”略显抽象。改进：可对比展示直接写12和规范写法的竖式，让学生计算几步后，直观感受哪种更不容易出错，从而自己得出结论。4.分层探究任务（任务四）：设计满足了不同层次需求，但在巡视指导时，我对挑战组的关注时间占比过高，导致对基础组中个别书写仍有问题的学生指导不够及时。需优化课堂动线，或培养小组长作为“初级助手”。

    （三）学生表现深度剖析：本节课，学生的思维差异显著体现。直觉型学生通过操作能快速理解进位，但语言概括能力弱，需要框架（如流程图）辅助表达。谨慎型学生每一步都力求清晰，书写工整，但速度偏慢，在分层任务中常选择基础组，需要教师鼓励其尝试挑战。粗心型学生理解无碍，但计算时“眼高手低”，漏加进位是通病。针对此，除了强调习惯，是否可引入“计算过程自查表”（如：1.进位点标了吗？2.十位乘了吗？3.进位数加了吗？）作为元认知工具，帮助他们将内隐的检查步骤外显化、程序化？

    （四）策略得失与理论归因：成功之处在于坚持了“直观感知-操作体验-抽象概括”的认知建构路径，符合皮亚杰的认知发展理论。同时，将算法