椭圆教案(含基础题)

第一章圆锥曲线与方程

知识体系总览

§2.1椭圆

知识梳理

1、椭圆及其标准方程

(1).椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点Z、尸?的距离的和大于|々尸2|这个条件不可

无视.假设这个距离之和小于那么这样的点不存在；假设距离之和等于|片那么动点的轨

迹是线段kB.

⑵.椭圆的标准方程：/-b2*/'b2

⑶.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果/项的分母大于V项的

分母，那么椭圆的焦点在X轴上，反之，焦点在y轴上.

2、椭圆的简单几何性质［4>。>0).

(1).椭圆的几何性质：设椭圆方程尸,尸=，线段A4、瓦分别叫做椭圆的长相和短轴它

们的长分别等于2a和2b,

e，产

⑵.离心率：&Va~OVeVl.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越

接近于圆.

⑶椭圆的焦半径：的="夕，M闾="

p,,、—V+—1((7>Z?>0)+<I

(4).椭圆的的内外部点(/，为)在椭圆b~的内部b-

⑸.焦点三角形APEB经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段归用、咽、2c,有关角卬隹

,20

结合起来，建立附㈤尸用、附”明等关系.面积公式：如艺=^2

§椭圆及其标准方程

典例剖析

题型一椭圆的定义应用

椭圆二一］=［上有一点P,它到椭圆的左焦点6的距鹿为8.求的面积.

例1；100361-

例2：椭圆的两个焦点为（-2,0）,（2,0）且过点22,求椭圆的标准方程

备选题

例3：设点P是圆/+丁2=4上的任一点，定点D的坐标为（8,0）,假设点M满足PM=2A/O.当

点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.

点击双基

1..中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4,短轴长为2,那么椭圆方程是（）

22），2，

XVX-VX*212y

—+—=1—+—=1—+y=1x+—=1

A.43B.34c.4D.4

2.假设椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是（3,0）,那么椭圆的标

准方程为（）

99?222少，

%■）厂,厂厂.厂厂.X-）广,

—4--=1—+—=1—+—=1—+—=I

A916D.2516Cg1625D,169

3.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4石的椭圆方程是（）

2?2122

xy...xy".「尸y"./）工+汇川

—+—=1B—+—=1C—+—=1

2520202520458085翰林汇

fA\

4、椭圆5'+&■>'=5的一个焦点坐标是(0,2),那么女=

5、椭圆的焦点为片9一5），8（0,5）,点尸（3,4）是椭圆上的一个点，那么椭圆的方程为

课外作业

一、选择题

1.椭圆2516上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,那么P到另一焦点距离为（）

A>2B*C,5D.7

2.假设椭圆的两焦点为（-2,0）和（2,0）,且椭圆过点［那么椭圆方程是（）

亡+上=1上+£=1£+£=i±i+Z=1

A.84B.I。6C.48D.I。6

3.假设方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围为()

A.[0,+8)B.(0,2)C.(1,+8)D.(0,1)

4.假设椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,那么椭圆的方程为()

2o

—+—=1—+—=1—+—=1—+—=i

2516

A.916B.2516c.或1625D.以上都不对

5.椭圆的两个焦点是Fl(-l,0).F2(l,0),P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PFI|与|PF2|的等差中项，那么该

椭圆方程是()。

xy_x-y_xy_x-y-

A16+9=]B16+12=ic4+3=|D3+4=|

6、椭圆〃式2++，加=0(川<〃<0)的焦点坐标为()

2

7.4ABC的顶点B、C在椭圆x年+y2=l上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC

边上，那么aABC的周长是()

(A)25(B)6(C)451D)12

O

\PFU\PF2\=：a+-(a>0)

8.设定点Fl[0,—3)、F2(0；3),动点P满足条件"。，那么点P的轨迹是()

A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段

二、填空题

9方程2表示焦点在〉轴的椭圆时，实数机的取值范围是

10.与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，且过点(一3,2)的椭圆方程为

1k如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式+(，+3尸++(),一3尸=10,那么M的轨迹

方程是

三、解答题

12.将圆/+炉=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明

它是什么曲线.

n如果方程f+Af=2表示焦点在j，轴上的椭圆，求实数〃的取值范围.

14.已知三角形418C的一边8c的长为6,周长为16,求顶点4的轨迹方程.

思悟小结

要灵活运用椭圆的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题那么应首先考虑定义。

要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，

在中心是原点的前提卜，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式：“定量”是指的不与〃具

课外作业

一、选择题

1.椭圆的中心在原点，焦点在X轴上，且长轴长为12,离心率为5,那么椭圆的方程是（）

.2y2x2y2x2y2x2y2

A.144+i28=iB.36+20=lc.32+36=1D.36+32=1

2

x2y2_x^_y2

3.椭圆靛+京一和/*〃一（％>°）具有（）

A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长、短轴

4.假设椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，那么离心率等于0

1_也

A.2B.2C,6D.2

22

二十上=1

5.椭圆4924上一点尸与椭圆的两个焦点片、B的连线互相垂直，那么△尸片鸟的面积为

0

A21B>22C.23D.24

^+/=1

6.椭圆正+彳一上的点到直线A2）」收=。的最大距离是（）

A.3B.而。2板D.反

7.椭圆两焦点为E（-40）,K（4,o）,p在椭圆上，假设△尸白鸟的面积的最大值为12,那么椭圆

方程为（）

工+Jir+£=1r+£=1

A.169B,259C.2516D,254

2

x|,2_]

8.过点M（-2,0）的直线m与椭圆2+>"交于Pl,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜

率为kl直线OP的斜率为k2,那么klk2的值为（）

A.2B.-2C.2D.-2

二、填空题

9.点（0,1）在椭圆券+\=1内，那么m的取值范围是

--厂---+A=1.I-

10.椭圆&+89的离心率为2,那么左的值为.

4+4=i

11.设AB是椭圆4b-的不垂直于对称轴的弦，M为A8的中点，。为坐标原点，那么

^AB'k()M=

三解答题

求过点4(-1,-2)且与椭网=+==1的两个焦点相同的椭咧标准方程

12.69

_2

13椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3,短轴长为8百，求椭圆的方程.

14椭圆户+尸一与直线x+)'=l交于P、。两点，且0尸,例2,其中°为坐标原点.

±+±V3V2

(I)求//的值；(2)假设椭圆的离心率6满足32,求椭圆长轴的取值范围.

思悟小结

1.要准确把握椭圆的标准方程的结构特征以及“标准”的含义•能从椭圆的标准方程读出几何性质，更

->

,a~

a,b,c,e,—

要能够利用标准方程解决问题，在解题时要深刻理解椭圆中的几何量。等之间的关系及每个

量的本质含义，并能熟练地应用于解题。

2.要能熟练地应用几何性质来分析问题，特别是离心率作为几何性质之一，必须重点突破。

§椭圆的简单的几何性质(第二课时)

典例剖析

题型一直线与椭圆

例1椭圆C的焦点F1(—2后，0)和F2(2收，0),长轴长6,设直线¥二1+2交椭圆c于A、

B两点，求线段AB的中点坐标.

题型二求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题

过椭圆三十匕1内一点。(1・0)引动弦求弦.43的中点”的轨迹方程

例294

备选题

例3.在AA4C中，BC=24,AC、AB边上的中线长之和等于39,求八43c的重心的轨迹方程。

点击双基

.如果椭圆二+t=1的弦被点(4・2)平分，则这条弦所在的直线方程是().

369

।A.x-2y=0B.jf+2y-4=0C.+-12=0D.x+2y-8=0

,J।

3.点P是椭圆95上的点，K、尸2是椭圆的左、右焦点，那么△尸招尸2的周长是()

(A)12(B)10(C)8(D)6

4.椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,那么椭圆E的离心率等于

5.P(MN)是椭圆面+方二上的点，那么x+)'的取值范围是

课外作业

一、选择题

2.椭圆/+‘町’"I的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么〃?的值为()

££

A.4B.2C.2D.4

3、假设椭圆经过点P(2,3),且焦点为F1(—2,0),F2(2,0),那么这个椭圆的离心率等于()

4.椭圆方程喷+冷1,焦点在x轴上，那么其隹距等于U

(A)2^8-m2(B)2^272-|m|(C)21m2-8(D)2ylm|

5.假设椭圆得+3:1的离心率为/那么口的值等于

)

[A)18或号(B)18或•詈(C)16或号(D)16或母

6.F是椭圆/

圆的离心率是

V2

(A)2

7.假设P是椭圆94上一点,Fl、F2为其焦点，那么C0S/F1PF2的最小值是()

2_

A.2B.-1C.9D.9

9x2y2

A(M，X),3(4,£),C(X2，M)广—+=>

8设5是右焦点为产的椭圆259上三个不同的点，那么

“阿阚，|5成等差数列”是“百十/=8”的()

A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既非充分也非必要

二、填空题

9.椭圆卷+》=1的焦距为9那么m的值为

10.椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1：4,短轴长为8,那么椭圆的标准

方程是

11、长为3的线段AB的端点A、B分别在x、y轴上移动，动点C(x,y)满足AC=2CB,那么动

点C的轨迹方程是

三、解答题

12椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形