考研数学线代真题技巧试题

考研数学线代真题技巧试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。2.若A为n阶可逆矩阵，则det(A)≠0。3.齐次线性方程组Ax=0一定有非零解。4.若向量组α1,α2,α3线性无关，则α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。5.实对称矩阵的特征值一定是实数。6.若A可对角化，则A的特征向量可以构成整个向量空间的一组基。7.非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩。8.行列式的值等于其任意一行（列）的元素与其代数余子式乘积之和。9.若A为正定矩阵，则其所有特征值均为正数。10.初等行变换不改变矩阵的秩。二、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.设A为3阶矩阵，det(A)=2，则det(3A)等于（）。A.6B.8C.18D.542.向量组α1=(1,0,1),α2=(0,1,1),α3=(1,1,0)的秩为（）。A.1B.2C.3D.无法确定3.矩阵A=（a11a12；a21a22）的特征多项式为λ2-a11λ-a22，则a11+a22等于（）。A.λB.-λC.det(A)D.04.若A为n阶矩阵，且A2=A，则A的特征值可能为（）。A.1B.0C.1或0D.任意实数5.实对称矩阵A可对角化的充要条件是（）。A.A的特征值互异B.A的特征向量线性无关C.A有n个线性无关的特征向量D.A的特征值均为正数6.齐次线性方程组Ax=0的解空间维数等于（）。A.nB.r(A)C.n-r(A)D.r(A)+n7.若A为可逆矩阵，则(A)-1等于（）。A.AB.AC.(-A)D.A-18.行列式det(AB)等于（）。A.det(A)+det(B)B.det(A)det(B)C.det(B)det(A)D.|A||B|9.若A为正定矩阵，则|A|等于（）。A.0B.正数C.负数D.无法确定10.初等矩阵的逆矩阵仍是（）。A.非零矩阵B.初等矩阵C.单位矩阵D.零矩阵三、多选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.下列矩阵中，可逆的有（）。A.（10；01）B.（12；24）C.（30；03）D.（01；10）2.向量组α1,α2,α3线性无关的充要条件是（）。A.α1,α2,α3的秩为3B.存在不全为零的k1,k2,k3使k1α1+k2α2+k3α3=0C.α1,α2,α3中任意两个向量线性无关D.α1,α2,α3不能由其他向量线性表示3.实对称矩阵的特征值具有以下性质（）。A.均为实数B.可以相乘C.可以相加D.均为正数4.非齐次线性方程组Ax=b有解的充要条件是（）。A.det(A)≠0B.增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩C.Ax=0有解D.b可由A的列向量线性表示5.初等行变换具有以下性质（）。A.不改变矩阵的秩B.不改变矩阵的行列式C.不改变矩阵的行向量空间D.不改变矩阵的列向量空间6.正定矩阵具有以下性质（）。A.所有特征值均为正数B.对任意非零向量x，xTAx>0C.奇数阶行列式为负数D.可逆7.矩阵A可对角化的充要条件是（）。A.A的特征值互异B.A有n个线性无关的特征向量C.A的特征向量张成整个向量空间D.A是对角矩阵8.行列式det(A)等于（）。A.A的迹B.A的伴随矩阵的行列式C.A的任意一行（列）的元素与其代数余子式乘积之和D.A的转置矩阵的行列式9.齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是（）。A.det(A)=0B.r(A)<nC.A有零特征值D.A的列向量线性相关10.若A为可逆矩阵，则以下等式成立的有（）。A.A可逆B.A的逆矩阵唯一C.A的转置矩阵可逆D.A的行列式非零四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述矩阵的秩与其子式的关系。2.解释实对称矩阵可对角化的条件。3.说明非齐次线性方程组Ax=b无解的充要条件。4.列举三种常见的初等矩阵及其作用。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.设A=（12；34），B=（56；78），计算det(3A-2B)。2.判断向量组α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,6)的线性相关性。3.求矩阵A=（123；213；312）的特征值和特征向量。4.解齐次线性方程组x1+x2+x3=0，x1-x2+x3=0。【标准答案及解析】一、判断题1.√2.√3.×（只有n=0时成立）4.√5.√6.×（需特征向量线性无关）7.√8.√9.√10.√二、单选题1.C2.C3.A4.C5.C6.C7.B8.B9.B10.B三、多选题1.A,C,D2.A,C,D3.A,B,C4.B,D5.A,C6.A,B,D7.B,C8.C,D9.A,B,C,D10.A,B,C,D四、简答题1.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数，即r(A)≥k且不存在阶数大于k的非零子式。2.实对称矩阵的特征值均为实数，且存在正交矩阵P使P-1AP为对角矩阵。3.增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，或b不可由A的列向量线性表示。4.（100；010；001）为单位矩阵，(100；0k0；001)为倍乘行，(100；01k；001)为倍乘列。五、应用题1.det(3A-2B)=det（-1-2；-1-4）=4-2=2。2.因α3=α1+α2，向量组线性相关。3.特征值为1,4,-2，对应特征向量分别为(1,1,1),(1,-1,0),(-1,0,1)。4.解得x1=-x2=-x3，通解为k(1,-1,-1)。【解