第13讲探索勾股定理(原卷版+解析)

第13讲探索勾股定理1．掌握勾股定理的概念；2．掌握勾股定理的证明方法；3、学会运用勾股定理解三角形；知识点一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。2.勾股定理的验证方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．考点一：勾股定理的证明方法例1．（2023秋·八年级单元测试）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B．C． D．【变式训练】．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（

）A．1 B．2 C． D．52．（2023春·山西忻州·八年级统考阶段练习）到目前为止，勾股定理的证明已超过种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____．3．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；在推得这个公式的过程中，主要运用了A．分类讨论思想

B．整体思想

C．数形结合思想

D．转化思想（2）如图2，，，且在同一直线上．求证：；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．

考点二：勾股树问题例2．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【变式训练】1．（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、2．（2023·四川泸州·统考二模）周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是______．3．（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5是一组“勾股数”．(1)判断8，15，17是不是一组“勾股数”，并说明理由；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．考点三：以弦图为背景的计算题例3．（2023春·全国·八年级期末）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，若的值为75，则正方形的边长为（

）A．5 B． C． D．【变式训练】1．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次综合实践活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则小正方形的面积是______．3．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形．

(1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________．(2)求图1中直角三角形的斜边长．考点四：用勾股定理解三角形例4．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级期末）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，，则的长为（）A． B． C．4 D．2．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则___________．

3．（2023春·广东清远·八年级统考期中）如图，在四边形中，，E为上的一点，且，，，．(1)证明：是直角三角形；(2)求的长．考点五：勾股定理与网格问题例5．（2023·陕西汉中·统考一模）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在网格的格点上，于点D，则的长为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023春·西藏·八年级校考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（）

A．6 B．8 C．10 D．122．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到边的距离等于____________________．3．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

(1)在图①中画一条线段，使；(2)在图②中画一个，使，，．的面积为________．(3)在（2）的条件下，过B点作的高，垂足为E；考点六：勾股定理与折叠问题例6．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（）

A． B． C．4 D．【变式训练】1．（2023·广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（

）A． B．3 C． D．42．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．

3．（2023春·广东东莞·八年级东莞市新世纪英才学校校考阶段练习）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．(1)求证：；(2)若，求的面积．考点七：用勾股定理构造图形解决问题例7．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，明德中学数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，据此可求得，之间的距离为（

）

A． B． C． D．【变式训练】1．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（）

A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m2．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于________米．

3．（2023春·安徽淮北·八年级校联考期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．(1)求处与地面的距离．(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？1．（2021·山西·统考中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（

）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想2．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（

）

A．8 B． C． D．3．（2022·湖北荆门·统考中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(

)A．20 B．60 C．30 D．304．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（

）A． B． C． D．5．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（

）A．4 B．8 C．12 D．166．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（

）A． B． C．1 D．27．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．8．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_____．

9．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为______．10．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．11．（2011·湖南常德·中考真题）中，，，边上的高，则长为__________．12．（2023·广东·统考中考真题）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．13．（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．

(1)在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)若，求的长．1．（2023·全国·八年级假期作业）在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（

）A．3 B． C．5 D．42．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列各组数中是勾股数的是（

）A．0.8、1.5、1.7 B．2、2、3 C．7、24、25 D．、、3．（2023春·天津西青·八年级统考期中）一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长为（

）．A．10 B． C． D．10或4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（

）A． B． C． D．5．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（

）

A．25 B．30 C．35 D．406．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）如图，已知线段，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，在直线上取一点使，连接、，点为的中点，连接，则的周长是（

）

A．10 B．9 C． D．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，在中，，为边上中线，过点作，连接，，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．68．（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）如图，现有一块三角板，其中，，，将该三角板沿边翻转得到，再将沿边翻转得到，则与两点之间的距离为（

）

A． B．16 C． D．9．（2023春·福建莆田·八年级校联考期中）若直角三角形的两条直角边分别5和12，则第三边长为_______．10．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是________．

11．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为_________．

12．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为2，以为边在数轴上方作一个正方形，以A为圆心，为半径作圆交数轴的负半轴于点E，则点E表示的数是___________．

13．（2023春·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，在中，，，，则_____________．

14．（2023春·山西太原·九年级山西实验中学校考期中）如图，为等边三角形，在内部作，使得，且，连接，再以为一边作等边，点M，N分别在的两侧，若，则＝_________．

15．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，，求高的长和的面积．17．（2023春·全国·八年级期中）如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，．(1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______．(2)求证：．18．（2022秋·福建三明·八年级统考期末）如图，，，，一机器人在处看见一个小球从点出发，沿着的方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是多少？

19．（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）问题情境：勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理．定理表述：（1）请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）；

尝试证明：（2）利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理．

定理应用：（3）某工程队要从点A向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段铺设，需要绕道沿着矩形的边和铺设管道，经过测量米，米，已知铺设每米管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

20．（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图，中，，平分交于点于点E．

(1)若．①求线段的长；②求的面积(2)若，求的长．

第13讲探索勾股定理1．掌握勾股定理的概念；2．掌握勾股定理的证明方法；3、学会运用勾股定理解三角形；知识点一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。（2）在应用勾股定理时要注意它的变式：（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。2.勾股定理的验证方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．考点一：勾股定理的证明方法例1．（2023秋·八年级单元测试）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据面积公式，逐项推理论证判断即可．【详解】解：A、大正方形的面积为：；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，故A选项能证明勾股定理；B、大正方形的面积为：；也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴，故B选项能证明勾股定理；C、梯形的面积为：；也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：，∴，∴，故C选项能证明勾股定理；D、大正方形的面积为：；也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：，∴，∴D选项不能证明勾股定理．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式，熟练掌握勾股定理的证明和完全平方公式的几何意义是解题的关键．【变式训练】．（2023秋·上海青浦·八年级校考期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（

）A．1 B．2 C． D．5【答案】C【分析】由题意求得，根据的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可求解．【详解】解：∵的面积为1，∴，即，∵，即，∴，即，∴的面积．故选：C．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解．2．（2023春·山西忻州·八年级统考阶段练习）到目前为止，勾股定理的证明已超过种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知，点F落在上，点C与点E重合，斜边与斜边交于点M，连接，，若，，则四边形的面积为_____．【答案】53【分析】根据全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积等于的面积与的面积的和，列出算式计算即可求解．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的证明，关键是求出，，以及由图形得到四边形的面积等于的面积与的面积的和．3．（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；在推得这个公式的过程中，主要运用了A．分类讨论思想

B．整体思想

C．数形结合思想

D．转化思想（2）如图2，，，且在同一直线上．求证：；（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你尝试该证明过程．

【答案】（1）；；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出即可，利用数形结合得出答案；（2）利用，得出，进而得出，即可得出答案；（3）利用图形面积即可证出勾股定理．【详解】解：（1）利用大正方形面积等于两个小正方形面积与两矩形面积之和得出：；利用数形结合得出：在推得这个公式的过程中，主要运用了数形结合思想；故答案为：；；（2）∵，∴，∵，∴，∴，即．

（3）∵，∴，∴，即．【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明，利用图形面积由数形结合思想得出等式是解题关键．考点二：勾股树问题例2．（2023·四川泸州·统考中考真题）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（）A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25【答案】C【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由，，是互质的奇数逐项求解即可．【详解】∵，∴．∵，∴．∴a，b是直角三角形的直角边，∵，是互质的奇数，∴A．，∴当，时，，，，∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出；B．，∴当，时，，，，∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出；C．，，∵，是互质的奇数，∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出；D．，∴当，时，，，，∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出．故选：C．【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过，，是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东河源·八年级统考开学考试）下列是勾股数的一组数是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】B【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可．【详解】解：A．、、不是整数，此数组不是勾股数，不合题意；B．，此数组是勾股数，符合题意；C．，此数组不是勾股数，不合题意；D．，此数组不是勾股数，不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．2．（2023·四川泸州·统考二模）周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前世纪．周髀算经中记载：“勾广三，股修四，经隅五”，意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为，后人简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”．观察下列勾股数：，，；，，；，，；，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为的一类勾股数，如：，，；，，；，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是______．【答案】【分析】根据题意可得，勾为为偶数且，根据所给的二组数找规律可得结论．【详解】解：根据题意可得，勾为为偶数且，则另一条直角边，弦．则弦为．，故答案为：．【点睛】本题考查勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．3．（2023春·全国·八年级专题练习）定义：若一个三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“正整数直角三角形”，这三个正整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5是一组“勾股数”．(1)判断8，15，17是不是一组“勾股数”，并说明理由；(2)在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，，那么以x，y，z为三边的三角形为直角三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．【答案】(1)8，15，17是一组“勾股数”，理由见解析(2)见解析【分析】（1）只需要验证两个较小边的平方和是否等于最大边的平方即可；（2）只需要证明即可．【详解】（1）解：8，15，17是一组“勾股数”．∵，∴8，15，17是一组“勾股数”；（2）解：∵，∴以x，y，z为三边的三角形为直角三角形，即x，y，z为勾股数．【点睛】本题主要考查了勾股数问题，整式的混合计算，正确理解勾股数的定义是解题的关键．考点三：以弦图为背景的计算题例3．（2023春·全国·八年级期末）如图，这是由“赵爽弦图”变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，若的值为75，则正方形的边长为（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先设出四个直角三角形的面积之和为S，然后根据，可以得到，即可求得的值，根据正方形的性质即可得到结论．【详解】解：设四个直角三角形的面积之和为S，∵，∴，即，解得，∴正方形的边长为5，故选：A．【点睛】本题主要考查了以弦图为背景的计算，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．【变式训练】1．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答．【详解】解：∵三角形较长直角边长为，较短直角边长为，∴四个三角形的面积为，∵，大正方形的面积为，∴小正方形的面积为，∴小正方形的边长为，∴，故选．【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积是解题的关键．2．（2023春·湖北孝感·八年级统考期中）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次综合实践活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，则小正方形的面积是______．【答案】【分析】在中，先根据勾股定理求出的长，再根据4个直角三角形是全等的，得出，从而得到小正方形的边长，进一步求出面积．【详解】解：在中，由勾股定理得，个直角三角形是全等的，，小正方形的边长，小正方形的面积，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．3．（2023春·福建莆田·七年级统考期中）公元3世纪初，东吴数学家赵爽用著名的“勾股圆方图”找出了直角三角形中求斜边的方法．李明同学在数学思维拓展课上效仿赵爽，如图1，先将一个边长为2的正方形纸片沿两对边中点处剪开，得到两个长方形，再分别沿对角线剪开，得到四个一模一样的直角三角形，再将它们按图2所示无重叠、无缝隙摆放，形成一个外部轮廓为正方形，内部缺口（阴影部分）也是正方形的图形．

(1)图1中每个直角三角形的面积是_________，图2中内部缺口正方形的边长为_________．(2)求图1中直角三角形的斜边长．【答案】(1)1，1(2)【分析】（1）根据图1中每个直角三角形的面积是正方形面积的可得每个直角三角形的面积，图2中内部缺口正方形的边长为直角三角形的两直角边的差；（2）利用勾股定理可得结论．【详解】（1）解：正方形面积的面积为，图1中每个直角三角形的面积是，图2中内部缺口正方形的边长为；故答案为：1，1；（2）根据勾股定理得，图1中直角三角形的斜边长为．【点睛】本题考查图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．考点四：用勾股定理解三角形例4．（2023年湖北省潜江、天门、仙桃、江汉油田中考数学真题）如图，在中，，点在边上，且平分的周长，则的长是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图所示，过点B作于E，利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则可求出，再由平分的周长，求出，进而得到，则由勾股定理得．【详解】解：如图所示，过点B作于E，∵在中，，∴，∵，∴，∴，∵平分的周长，∴，即，又∵，∴，∴，∴，故选C．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级期末）如图，在中，为斜边上的中线，点是上方一点，且，连接，若，，则的长为（）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：在中，为斜边上的中线，，，，在中，，故选：B．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形的性质是解题的关键．2．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在中，，D为AC上一点，若是的角平分线，则___________．

【答案】3【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

在中，∵，∴，∵是的角平分线，∴，∵，∴，∴，，设，在中，∵，，∴，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2023春·广东清远·八年级统考期中）如图，在四边形中，，E为上的一点，且，，，．(1)证明：是直角三角形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理即可求得，据此即可证明是直角三角形；（2）在中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴是直角三角形；（2）解：在中，，，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．考点五：勾股定理与网格问题例5．（2023·陕西汉中·统考一模）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，的顶点A、B、C均在网格的格点上，于点D，则的长为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：如图所示：

，，，即，解得：．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，利用勾股定理求出的长是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·西藏·八年级校考期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，P为上任一点，的值为（）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】先根据勾股定理用，表示出，用，表示出，再把,代入进行计算即可．【详解】解：∵与是直角三角形，，，∴，，∴，故选D．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．2．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）如图所示的边长为1的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到边的距离等于____________________．【答案】【分析】先用割补法求出三角形的面积、边的长，再利用三角形面积公式列方程求解．【详解】解：设点A到边的距离等于h，，，∵，∴．故答案为：．【点睛】本题以网格背景考查勾股定理、三角形面积计算公式，网格中图形面积的计算．熟练利用面积法是解题的关键．3．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：

(1)在图①中画一条线段，使；(2)在图②中画一个，使，，．的面积为________．(3)在（2）的条件下，过B点作的高，垂足为E；【答案】(1)见解析(2)图见解析，(3)见解析【分析】（1）利用数形结合的思想，利用勾股定理即可作出线段；（2）利用数形结合的思想，先根据网格特点作出，再根据勾股定理，，分别作出，，然后利用割补法即可得三角形的面积；（3）取格点F，连接并延长，交于点E；【详解】（1）解：如图①，线段即为所求；

；（2）解：如图②，即为所求；

的面积为，故答案为：；（3）解：如图②，的高即为所求．【点睛】本题考查了勾股定理的几何应用，结合网格的特点，利用勾股定理是解题关键．考点六：勾股定理与折叠问题例6．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（）

A． B． C．4 D．【答案】B【分析】先求出，由折叠的性质可得，则，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是中点，，∴，∵将折叠，使点C与的中点D重合，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【变式训练】1．（2023·广东广州·统考一模）如图，在中，，，，点在上，并且，点为上的动点（点不与点重合），将沿直线翻折，使点落在点处，的长为，则边的长为（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】由折叠可得，，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：由折叠可得：，，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到相应直角边．2．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图，一张直角三角形纸片ABC中，，将它沿折痕折叠，使点A与点B重合，则___________．

【答案】【分析】由折叠的性质得出，设，则．在中运用勾股定理列方程，解方程即可求出的长．【详解】解：∵，∴，由折叠的性质得：，设，则．在中，由勾股定理得：，解得：．∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．3．（2023春·广东东莞·八年级东莞市新世纪英才学校校考阶段练习）如图，在长方形中，将长方形沿折叠，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为点G．(1)求证：；(2)若，求的面积．【答案】(1)见解析(2)的面积为6．【分析】（1）根据平行线的性质以及折叠的性质证明，再根据等角对等边即可证明；（2）由折叠的性质得，设，在中，建立方程，进一步计算即可求解．【详解】（1）证明：∵长方形中，∴，∴，由折叠的性质得，∴，∴；（2）解：由折叠的性质得，设，∵，∴，在中，，即，解得，∴，∴的面积为．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，根据折叠的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．考点七：用勾股定理构造图形解决问题例7．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，明德中学数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，据此可求得，之间的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解．【详解】解：在中，，，，，，故选：A．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖北十堰·统考模拟预测）小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼，如图，已知电梯的长、宽、高分别是1m，1m，，那么电梯内能放入这些木条的最大长度是（）

A．2.6m B．2.4m C．2.2m D．2m【答案】B【分析】运用勾股定理求解即可．【详解】如图：

根据勾股定理：故故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．2．（2023春·湖北黄冈·八年级统考期中）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高米的市民正对门缓慢走到离门米的感应器地方时（即米），则人头顶离测温仪的距离等于________米．

【答案】1【分析】过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可．【详解】解：过点D作，如图所示，

∵，，，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得：米，故答案为：1．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度．3．（2023春·安徽淮北·八年级校联考期中）消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米．(1)求处与地面的距离．(2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？【答案】(1)米(2)米【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论；（2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．【详解】（1）解：在中，米，米，米米．答：处与地面的距离是米；（2）在中，米，米，米米．答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．1．（2021·山西·统考中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（

）A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想【答案】C【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可．【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，故选：C．【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键．2．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（

）

A．8 B． C． D．【答案】D【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE=CE=AC=2，利用勾股定理求出AB、BC的长度，进而可得EF=AB=2，CF=BC=，即可得出答案．【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，∵AB=BC，BE⊥AC，AE=CE=AC=2，由勾股定理得，AB=BC=，∵点F为BC的中点，∴EF=AB=，CF=BC=，∴∆CEF的周长为：+2=2+2．故选：D．【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．3．（2022·湖北荆门·统考中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(

)A．20 B．60 C．30 D．30【答案】C【分析】根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝30，∴∠B＝∠A＝45°，∴BC＝AC＝30，∴AB＝，故选：C【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键．4．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴∠ADE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3-x，∴22+(3-x)2=x2，解得即AE=故选A【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．5．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，据此即可求解．【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．故选B．【点睛】本题考查了以弦图为背景的计算题，理解题意是解题的关键．6．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形．若，，则点到的距离为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意求得，进而求得，进而等面积法即可求解．【详解】解：在中，，，，，设到的距离为，，，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．7．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为________．【答案】4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵在中，，是边的中线，∴，，在中，，，∴，故答案为：4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．8．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，分别以点B和点C为圆心、大于BC的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF交AB于点D，连接CD，则ACD的周长是_____．

【答案】18【分析】由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，则CD＝BD，由勾股定理可得AC5，则△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB，即可得出答案．【详解】解：由题可知，EF为线段BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴AC5，∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝5+13＝18．故答案为：18．【点睛】本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质及勾股定理是详解本题的关键．9．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线PQ与AC交于点D，则AD的长为______．【答案】【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出AD．【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=8，∴AC===4，由作图可知，PQ垂直平分线段AC，∴AD=DC=AC=2，故答案为：2．【点睛】本题考查作图﹣基本作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．10．（2022·湖北黄冈·统考中考真题）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是________（结果用含m的式子表示）．【答案】m2+1【分析】2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】∵2m为偶数，∴设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2=（a+2）2，解得a=m2-1，∴弦长为m2+1，故答案为：m2+1．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．（2011·湖南常德·中考真题）中，，，边上的高，则长为__________．【答案】4或14/14或4【分析】根据题意，可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股定理即可求解．【详解】解；在中，，，BC边上高，如图所示，当为锐角三角形时，在中,，，由勾股定理得：，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴BC的长为：；如图所示，当为钝角三角形时，在中，，由勾股定理得：，∴，在中，，由勾股定理得：，∴，∴BC的长为：；综上可得：BC的长为：4或14．故答案为：4或14．【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键．12．（2023·广东·统考中考真题）综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：

(1)直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．【答案】(1)(2)证明见解析.【分析】（1）和均是等腰直角三角形，；（2）证明是等腰直角三角形即可.【详解】（1）解：（2）解：证明：连接，

设小正方形边长为1，则，，，为等腰直角三角形，∵，∴为等腰直角三角形，，故【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键．13．（2023·广西·统考中考真题）如图，在中，，．

(1)在斜边上求作线段，使，连接；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)若，求的长．【答案】(1)图见详解(2)【分析】（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点O，则问题可求解；（2）根据含30度直角三角形的性质可得，则有，进而问题可求解．【详解】（1）解：所作线段如图所示：

（2）解：∵，，∴，∵，∴，∴，即点O为的中点，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．1．（2023·全国·八年级假期作业）在平面直角坐标系中，点，则点P到原点的距离为（

）A．3 B． C．5 D．4【答案】C【分析】根据点的坐标，可以得到点到轴和轴的距离，然后根据勾股定理即可得到点到原点的距离．【详解】解：点，点到原点的距离是：．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理解答．2．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）下列各组数中是勾股数的是（

）A．0.8、1.5、1.7 B．2、2、3 C．7、24、25 D．、、【答案】C【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可．【详解】解：A．∵0.8、1.5、1.7都不是正整数，∴这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；B．∵，∴这组数不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C．∵，∴这组数能构成直角三角形，且都是正整数，∴这组数是勾股数，故此选项符合题意；D．∵，，不是正整数，∴这组数不是勾股数，故此选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键．3．（2023春·天津西青·八年级统考期中）一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长为（

）．A．10 B． C． D．10或【答案】A【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】∵一直角三角形的两直角边长分别为6和8，∴第三边的长为，故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．4．（2023春·广东云浮·八年级校考期中）在中，，，的对边分别是，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】解：，，的对边分别是，，，，为斜边，．故选：C．【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．5．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积和为（

）

A．25 B．30 C．35 D．40【答案】A【分析】利用勾股定理，这两个正方形的面积和等于即可求解．【详解】解：∵，∴，∴正方形和正方形的面积和为，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是掌握勾股定理，一个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．6．（2023春·广东梅州·九年级统考期中）如图，已知线段，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，在直线上取一点使，连接、，点为的中点，连接，则的周长是（

）

A．10 B．9 C． D．【答案】C【分析】先利用垂直平分线与勾股定理求出，再利用直角三角形的性质求出，即可求解．【详解】解：由作图可知，垂直平分，∴，∵，∴，∵点为的中点，∴，∴，∴的周长为，故选：C．【点睛】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题关键是理解题意，掌握相关概念．7．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期中）如图，在中，，为边上中线，过点作，连接，，若，，则的长为（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据勾股定理求出．【详解】解：在中，，为边上中线，，则，，，，故选：．【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．（2023春·福建泉州·九年级校联考期中）如图，现有一块三角板，其中，，，将该三角板沿边翻转得到，再将沿边翻转得到，则与两点之间的距离为（

）

A． B．16 C． D．【答案】C【分析】连接，作，交延长线于点，在中求得、的长度，在中，即可求得．【详解】解：连接，作，交延长线于点，如下图：

由折叠的性质可得：，∴∵，∴，∴，∴，∴，，∴故选：C【点睛】此题考查了勾股定理，折叠的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练利用相关性质进行求解．9．（2023春·福建莆田·八年级校联考期中）若直角三角形的两条直角边分别5和12，则第三边长为_______．【答案】13【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，即可求解．【详解】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边=．故答案为：13【点睛】此题主要考查勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．10．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形，的面积分别为10，18，则正方形的面积是________．

【答案】28【分析】根据正方形的面积与边长的关系，可知，由此即可求解．【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可知，∴故答案为：28．【点睛】本题主要考查勾股定理，理解并掌握勾股定理是解题的关键．11．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）如图，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点落在直角边的延长线上的点处，折痕为，则的长为_________．

【答案】【分析】勾股定理求出的长，折叠得到，利用即可得解．【详解】解：∵，，，∴，∵翻折，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查勾股定理和折叠问题．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．12．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图，数轴上点A表示的数为1，点B表示的数为2，以为边在数轴