2026年南师附中高三5月模拟考试数学卷及答案

南京师大附中2026届高三年级模拟考试数学试题命题人：高三数学备课组时间：2026.5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C. D.2.若，则（）A. B.i C. D.13.在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（）A. B.成绩在的频数为35C.成绩中位数在区间内 D.成绩平均数在区间内4.已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.5.若，则（）.A. B. C. D.6.已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（）A. B. C. D.7.若曲线关于直线对称，则（）A. B.2 C.0 D.18.如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（）A.20 B.21 C.100 D.101二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.记为等比数列的前项和，为的公比且．若，则下列说法正确的是（）A. B.数列是等比数列C. D.数列是公差为2的等差数列10.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（）A. B.C.事件“”与“”互斥 D.事件“”与“”相互独立11.在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（）A.若，则与轴公共点坐标为和B.若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为C.内的点到轴距离的最大值为D.与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的展开式中的系数为__________________．13.已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________．14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.在中，内角对边分别是．已知，且的外接圆面积为．（1）求的大小；（2）若，求的面积．16.已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为．（1）求数列，的通项公式；（2）将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和．17.如图，在三棱柱中，平面平面，，，，（1）证明：平面；（2）求的长；（3）求平面与平面夹角的余弦值．18.双曲线的左右顶点为，其渐近线上有一点，且轴．（1）求双曲线的方程；（2）过点作直线交于点，点在第一象限．（i）若的面积为14，求直线方程；（ii）若为钝角，过作的垂线，垂足为，求的最大值．19.（1）设函数，求证：．（2）已知均为大于1的整数，个同学每人在1到这个正整数中任取一个数字，记为仅被选取到一次的数字的个数．（i）若，求的分布列与期望；，（ii）若，求证：．南京师大附中2026届高三年级模拟考试数学试题.命题人：高三数学备课组时间：2026.5一、选择题1.A2.C3.D4.B5.D6.C7.C8.A二、选择题9.ABC10.AC11.ACD三、填空题12.13.14.9四、解答题15.（1）由正弦定理可得：，.因为，所以，上式即为，所以，由外接圆面积，解得外接圆半径，由正弦定理得.（2）将代入余弦定理，得：

，整理得，解得，均为正根符合要求，代入面积公式，故面积为或.16.（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，.当时，.也适合上式，所以，.，即，且，所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则.由题意可得，解得，因此，；（2）的前项和为，数列的前项和为，设新数列为，其前项和为，则.17.（1）证明：因为，所以四边形是菱形，所以，又，且，所以，因为，平面，平面，所以平面；（2）在△中，由，，，所以，如图，取的中点，连接，，因为，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，，平面，且，所以平面，因为平面，所以因为的中点为，所以，在△和△中，可知，在△中，可知，因为，所以，解得：；（3）由（2），以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，即，令，则，所以平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．18.（1）双曲线的渐近线上有一点，所以其渐近线方程为，，即.又轴，，即.双曲线的方程为.（2）（i）由（1）可得，，，.直线的方程为.设，①.点到直线的距离.，整理得，②联立①②，解得，故点直线的方程为.（ii）.为钝角，，.则，当时，有最大值.19.（1）函数的定义域为，又，令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单