统计学作业答案

一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对

该电信的服务的满意情况。调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理

业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量较

两年前好。试在95%的置信水平下对大客户中认为营业厅现在的服务质量

较两年前好的比率进行区间估计。

4.据某市场调查公司对某市80名随机受访的购房者的调查得到了该

市购房者中本地人购房比率p的区间估计，在置信水平为10%下，其允许

误差E=0.08。则:

（1）这80名受访者样本中为本地购房者的比率是多少？

（2）若显著性水平为95%,则要保持同样的精度进行区间估计，需要

调查多少名购房者。

解：这是一个求某一属性所占比率的区间估计的问题。根据已知n=30,

=1.96,根据抽样结果计算出的样本比率为。

总体比率置信区间的计算公式为：

加一力）

力士Z〃/2

n

计算得:

力±=3。％±1.96X

=(13.60%,46.40%)

某大学生记录了他一个月31天所花的伙食费，经计算得出了这个月平均

每天花费10.2元，标准差为2.4元。显著性水平为在5览试估计该学生

每天平均伙食费的置信区间。

解：由已知：10.2,s=2.4,,则其置信区间为：

=(9.36,11.04)。

该学生每天平均伙食费的95%的置信区间为9.36元到11.04元。

据一次抽样调查表明居民每日平均读报时间的95%的置

信区间为12.2,3.4)小时，问该次抽样样本平均读报时间是多少？若

样本量为100,则样本标准差是多少？若我想将允许误差降为0.4小时,

那么在相同的置信水平下，样本容量应该为多少？

解：样本平均读报时间为:

3.4-2.2_（3.4-2.2）7100你

由E=ZO.O5~r=-—S—J•UO

2x1.96

某电子邮箱用户一周内共收到邮件56封，其中有若干封是属于广告

邮件，并且根据这一周数据估计广告邮件所占比率的95%的置信区间为

(8.9%,16.1%)。问这一周内收到了多少封广告邮件。若计算出了20

周平均每周收到48封邮件，标准差为9封，则其每周平均收到邮件数的

95%的置信区间是多少？(设每周收到的邮件数服从正态分布)

解：本周收到广告邮件比率为：==0.125

收到广告邮件数为：nX=56X0.125=7封

7、根据已知：=4B,n=20,s=9,

8、=[43.68,52.32]

为了解某银行营业厅办理某业务的办事效率，调查人员观察了该银行

营业厅办理该业务的柜台办理每笔业务的时间，随机记录了15名客户办

理业务的时间，测得平均办理时间为=12分钟，样本标准差为s二4.1分

钟，则：

（1）其95%的置信区间是多少？

（2）若样本容量为40,而观测的数据不变，则95%的置信区间又是

多少？

解：（1）根据已知有，n=l<5,=12,s=4.Io

置信区间为：=（9.73,14.27）

1.（2）若样本容量为n=40,则95%的置信区间为：

2.=（10.73,13.27）

（1）电视机显像管批量生产的质量标准为平均使用寿命1200小时，标

准差为300小时。某电视机厂宣称其生产的显像管质量大大超过规定的标

准。为了进行验证，随机抽取了100件为样本，测得平均使用寿命1245

小时。能否说该厂的显像管质量显著地高于规定的标准？

（2）给出上题的原假设和被择假设

（3）构造适当的检验统计量，并进行假设检验，分析可能会犯的错误

（取=0.05）

若要拒绝原假设，样本平均寿命至少要达到多少，此时可能会犯哪

类错误，大小如何？

解：（1）

（2）验问题属于大样本均值检验，因此构造检验统计量如下：

._天一从。

Z-----------7=-

由题知：=1200,,n=100,=1245,检验统计量的z值为:

z-x-//0=1245T2CO=L5

(T/Vn

V100

取=0.05时，拒绝域为z>=1.645。因为z=L5〈L645,故

落入接受域，这说明我们没有充分的理由认为该厂的显像管质量显著地

高于规定的标准。

(3)由上题的分析可知拒绝域为z>=1.645,这要求:

z=--5^>z=1.645

o-/Vn

有，=1200+1.645=1249.35

这说明只有样本均达到1249.35以上时，我们才能有充分的理由认为该厂

的显像管质量显著地高于规定的标准，这时我们犯错的概率为0.050

(1)由于时间和成本对产量变动的影响很大，所以在一种新的生产

方式投入使用之前，生产厂家必须确信其所推荐新的生产方法能降低成

本。目前生产中所用的生产方法成本均值为每小时200元。对某种新的生

产方法，测量其一段样本生产期的成本。

(2)在该项研究中，建立适当的原假设和备择假设。

当不能拒绝时，试对所做的结论进行评述。

当可以拒绝时，试对所做的结论进行评述。

解：(1)

(2)当不能拒绝时，说明我们没有充分的证据认为新的生产方法比原来

的方法在生产成本上有显著降低，但此时我们可能犯第二类错误，即实

际上新的生产方法确实比原来的方法在生产成本上有显著降低，我们对

犯该类错误的概率没有做控制。

（3）当可以拒绝时，说明新的生产方法比原来的生产方法在生产成本

上有显著降低，但此时我们可能犯第一类错误，即可能新的生产方法比

原来的方法在生产成本上并没有显著降低，但由于样本随机性的原因，

使检验统计量的值落入拒绝域，我们对这一类错误给予了控制，这就是

显著性水平。

（1）某种生产线的感冒冲剂规定每包重量为12克，超重或过轻都是

严重问题。从过去的资料知是0.6克，质检员每2小时抽取25包冲剂

称重检验，并作出是否停工的决策。假定产品重量服从正态分布。

（2）建立适当的原假设和备择假设。

（3）在=0.05时,该检验的决策准则是什么？

如果=12.25克，你将采取什么行动？

如果=11.95克，你将采取什么行动？

解：（1）

（2）这是小样本总体均值检验问题，且方差2已知。检验统计量为:

在=0.05时，临界值=1.96,故拒绝域为>1.96。

（3）当=12.25克，z==2.08

由于=2.08>1.96,拒绝。应该对生产线停产检查。

(4)当=11.95克,=-0.42

由于=0.42VI.96,不能拒绝。不应该对生产线停产检查。

（1）某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横

向延伸率不应低于65。己知该指标服从正态分布，一直稳定于5.5。从

近期来货中抽查了100个样品，得样本均值=55.06,试问：

（2）在二0.05水平上能否接收这批玻璃纸，并分析检验中会犯哪

类错误。

抽查的100个样本的样本平均值为多少时可以接收这批玻璃纸，此时

可能犯的错误属于哪种类型？

解：⑴

该检验问题为大样本总体均值检验，且方差己知，故检验统计量为：

在a=0.05水平上，=-1.645,故拒绝域为：

zV-1.645

由己知得:

三华55.06-65_°7v-l.645

z二=18>

o/Vn5.5/V100

故应拒绝原假设，不能接收这批玻璃纸,此时可能会犯第一类错误,

即本来这批玻璃纸是符合标准的，但由于抽样的随机性使得样本检

验统计量的值落入了拒绝域，从而拒绝接收该批玻璃纸。但这个犯错

概率是受到控制的，其出错概率不会超过显著性水平Q=0.05。

（2）接受该批玻璃纸，检验统计量值应满足为:

z=三竿N一1.645

cr/vn

此时，=65-1.6455.5/=64.095

也就是说检验统计量的值在64.095以上时，才可以接受该批玻璃纸。此

时可能犯第二类错误，即可能会接受没有达到标准的玻璃纸，并且这个

出错概率我们无法确定。

（1）某洗涤剂厂有一台瓶装洗洁精的灌装机，在生产正常是地，每

瓶洗涤洁精的净重服从正态分布，均值为454g,标准差为12g。为检查近

期机器是否正常，从中抽出16瓶，称得其净重的平均值为=456.64go

（2）试对机器正常与否作出判断。（取=0.01,并假定不变）

若标准差未知，但测得16瓶洗涤洁精的样本标准差为s=12g,

试对机器是否正常作出判断。（取=0.01）

解：⑴

在=0.01时，，从而拒绝域为。现由样本求得

_456.64-454

=0.88

12/V16

由于，故不能拒绝，即认为机器正常。

（2）当方差未知时，假设形式与上一问是相同的，只是检验统计量

变为:

x-Ao_456.64-454

=0.88

s/y[ii12/V16

3.在a=0.01时，拒绝域为。

4.由于，故不能拒绝，即认为机器正常。

某厂产品的优质品率一直保持在40%,近期技监部门来厂抽查，共抽

查了15件产品，其中优质品为5件，在a=0.05水平上能否认为其优

质品率仍保持在40%?

解：万=0.4H、：九手0.4

检验统计量为：

在a=0.05水平上拒绝域为，由已知数据得检验统计量:

5/15-0.4—

--------,=-0.52705，

0.4(134)

由于，故接受原假设，即可以认为该厂产品优质品率保持在40%。

已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，该种木材的标准抗压力应不

小于470kg/cm2,现对某木材厂的十个试件作横纹抗压力试验，得数据如

下：（kg/cm2）

482493457471510446435418394469

（1）若已知该木材的横纹抗压力的标准差=36,试检验该厂的木材

是否达到标准。（=0.05）

（2）若该木材的横纹抗压力的标准差未知，试检验该厂的

木材是否达到标准。（=0.05）

解：⑴

由于方差已知，且样本为小样本，检验统计量为:

X-N

a/4n

拒绝域为：

由已知计算得:

x-p_457.5-470

Z=---7=----------=-1.098

(7/yjn36/V10

由于z=-1.098>-，故接受原假设，即可认为该厂的木材达标。

(2)H^:/n>470,乩://<470

此时方差未知，且样本为小样本，检验统计量为：

s/yfn

拒绝域为：

由已知计算得:

x-f.i457.5-470..

=——P=----------T==-l.12o2o

s/yjn35.22/V10

由于，故接受原假设，即可认为该厂木材达标

一条自动装配线预定的平均操作完成时间是2.2分钟。

由于完成时间对装配操作前后都会产生影响，所以将完成时间控制在2.2

分钟是很重要的。45次装配的随机样本显示：样本的平均完成时间是2.39

分钟，样本的标准差是0.20分钟。采用=0.02的显著性水平，检验平

均操作