第13讲因式分解综合(原卷版+解析)

第13讲因式分解综合一、因式分解基本概念1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．二、四种基本方法：1、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净．（2）视“多”为“一”．（3）切勿漏1．（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解．（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．（1）平方差公式： 由平方差公式反过来可得：，这个公式叫做因式分解的平方差公式；（2）完全平方公式： 由完全平方公式反过来可得：和，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．3、十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：． 这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．4、分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．下列各式的分解因式：；②；③；④其中正确的个数有（ ）A、0 B、1 C、2 D、3下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A、 B、

C、 D、分解因式得（ ） A、 B、 C、 D、若，则=________，=________．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为．乙看错了，分解结果为，则=________，=________．已知：若，则的值为________．计算的值为________．把下列各式因式分解：（1）；（2）； （3）；（4）； （5）； （6）．把下列各式因式分解：（1）； （2）；（3）； （4）．已知：,求的值．（2021上海华育月考真题）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）下列多项式能进行因式分解的是（

）A． B． C． D．（2023上海上宝中学月考真题）如果是多项式的一个因式．则k的值为（

）A． B．1 C．4 D．8（2023上海华育月考真题）下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（）A． B． C． D．（2023上海上宝中学月考真题）给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中以代数式为因式的多项式的个数是（）A． B． C． D．（2022秋·上海·七年级校考期中）下列各式因式分解正确的是(

)A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2 B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是

(

)A． B．C． D．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）因式分解：x2-16x+64=___________（2022春·湖南岳阳·七年级校考期中）已知：，因式分解，结果为_______________．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）分解因式：________．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）已知a，b为自然数，且a＞b，若（a+b）+（a﹣b）+ab+＝243，则a，b的值分别为_____．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）已知，则______．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）分解因式：______．因式分解：__________．已知，那么多项式的值为________.（2022春·湖南永州·七年级校考期中）因式分解：(1)；(2)．因式分解(1)(2)（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由．（2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a D．a2+2ab﹣b2下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A．2 B．C． D．已知，，那么______，______．若可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么的最小值是_____．学校准备在校运动会开幕式上进行大型队列展示，通过变换队形，摆出不同造型，8路纵队（每路人数相同）进场，队列在主席台前一分为二，使两边的人数相同；接着，从一边走出96位学生到另一边，这时两边的学生刚好可以各自组成一个正方形队列．问这次队列展示至多需要多少名学生？分解因式：(1)(2)．第13讲因式分解综合一、因式分解基本概念1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式．2、因式分解与整式乘法互为逆变形：式中可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式．二、四种基本方法：1、提取公因式法：多项式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，将多项式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．提取公因式的步骤：（1）找出多项式各项的公因式．（2）提出公因式．（3）写成与的乘积形式．提取公因式法的几个技巧和注意点：（1）一次提净．（2）视“多”为“一”．（3）切勿漏1．（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变．（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解．（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．2、逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法．（1）平方差公式： 由平方差公式反过来可得：，这个公式叫做因式分解的平方差公式；（2）完全平方公式： 由完全平方公式反过来可得：和，这两个公式叫做因式分解的完全平方公式．3、十字相乘法：如果二次三项式中的常数项能分解成两个因式、的积，而且一次项系数又恰好是，那么就可以进行如下的分解因式，即：要将二次三项式分解因式，就需要找到两个数、，使它们的积等于常数项，和等于一次项系数,满足这两个条件便可以进行如下分解因式，即：． 这种利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法．4、分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．下列各式的分解因式：；②；③；④其中正确的个数有（ ）A、0 B、1 C、2 D、3【答案】A【解析】其中①应该为；②应该为；③不能因式分解．【总结】本题主要考查因式分解的概念．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）A、 B、

C、 D、【答案】D【解析】D选项变形为．【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解及运用．分解因式得（ ） A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】．【总结】本题主要考查利用平方差公式分解因式，注意一定要分解彻底．若，则=________，=________．【答案】30；74．【解析】；．【总结】本题主要考查利用因式分解求解代数式的值以及整体代入思想的运用．甲、乙两个同学分解因式时，甲看错了，分解结果为．乙看错了，分解结果为，则=________，=________．【答案】6，9．【解析】由可得：，再由可得：．【总结】考查整式的乘法以及待定系数法，要认真理解题意．已知：若，则的值为________．【答案】4或-1．【解析】∵， ∴． ∴a=4b或a=-b，∴的值为4或-1．【总结】本题主要考查利用因式分解解二次方程．计算的值为________．【答案】【解析】原式．【总结】本题主要考查利用因式分解进行分数简便运算．把下列各式因式分解：（1）；（2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）．【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式．【总结】本题主要考查如何选取适当的方法进行因式分解，注意分解时不要漏项．把下列各式因式分解：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）； （2）；（3）； （4）．

【解析】（1）原式； （2）原式；（3）原式；（4）原式．【总结】考查利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．已知：,求的值．【答案】2．【解析】由，可得，即．∴．【总结】本题主要考查利用因式分解求代数式的值以及整体思想的运用．（2021上海华育月考真题）将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（）A．x2+2x B．x2﹣4C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x【答案】D【分析】首先把每个选项中的多项式进行因式分解，再根据结果即可判定．【详解】解：A．原式＝x（x+2），故此选项不符合题意；B．原式＝（x+2）（x﹣2），故此选项不符合题意；C．原式＝（x﹣2+4）2＝（x+2）2，故此选项不符合题意；D．原式＝x（x2+3x﹣4）＝x（x+4）（x﹣1），故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）下列多项式能进行因式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的提公因式法和公式法进行计算判断，即可得出结果．【详解】解：A、=2（a+1）（a-1），故符合题意．B、不能分解因式，故不符合题意．C、，不能分解因式，故不符合题意．D、不能分解因式，故不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了实数范围内分解因式，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式．（2023上海上宝中学月考真题）如果是多项式的一个因式．则k的值为（

）A． B．1 C．4 D．8【答案】C【分析】设另一个因式是，根据多项式乘多项式法则求出，根据因式分解得出，，再求出答案即可．【详解】解：设另一个因式是，则，是多项式的一个因式，，解得：，，故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．（2023上海华育月考真题）下列各式中，不能在实数范围内分解因式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用提公因式法和公式法逐一进行因式分解，即可得到答案．【详解】解：A、，能分解因式，不符合题意，选项错误；B、，不能分解因式，符合题意，选项正确；C、，能分解因式，不符合题意，选项错误；D、，能分解因式，不符合题意，选项错误，故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，完全平方公式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．（2023上海上宝中学月考真题）给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中以代数式为因式的多项式的个数是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】综合提公因式法和公式法，十字相乘法，将四个多项式分解因式，根据分解的结果，逐一判断即可得到答案．【详解】解：①；②；③；④，以代数式为因式的多项式为①②③，共3个，故选C．【点睛】本题考查了公因式的确定，先分解因式，再做判断，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．（2022秋·上海·七年级校考期中）下列各式因式分解正确的是(

)A．a2+4ab+4b2=(a+4b)2 B．2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2C．3a2-12b2=3(a+4b)(a-4b) D．a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)【答案】D【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式写成几个因式的积的形式进行判断即可．【详解】a2+4ab+4b2=(a+2b)2，故选项A不正确；2a2-4ab+9b2=(2a-3b)2不是因式分解，B不正确；3a2-12b2=3(a+2b)(a-2b)，故选项C不正确；a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)是因式分解，D正确，故选D．【点睛】本题考查的是因式分解的概念，把一个多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，在判断一个变形是否是因式分解时，看是否是积的形式即可．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．【详解】A.等式右边不是乘积形式，故选项错误；B.是因式分解，故选项错误；C.72不是多项式，故选项正确；D.等式右边不是乘积形式，故选项错误.故选B.【点睛】此题考查因式分解的意义，解题关键在于掌握多项式的因式分解.（2022秋·上海嘉定·七年级统考期中）下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是

(

)A． B．C． D．【答案】A【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可.【详解】A、右边为是两个整式的积的形式，符合题意；B、C选项是展开,与因式分解相反；D选项还没有完全变成积的形式.故选A.【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键.（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）因式分解：x2-16x+64=___________【答案】【分析】利用完全平方公式直接进行因式分解，即可解答．【详解】解：x2-16x+64=x2-2×8x+82=(x-8)2故答案为：（x-8）2．【点睛】本题主要考查了运用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．（2022春·湖南岳阳·七年级校考期中）已知：，因式分解，结果为_______________．【答案】【分析】将提出一个，再将提出一个，继续提出一个，以此类推，直到原式变为，再化简即可．【详解】解：…故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法，一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成多项式与另一个因式的乘积的形式，在这种分解因式的方法叫做提公因式法．（2022春·浙江杭州·七年级校联考期中）分解因式：________．【答案】【分析】原式变形后，利用十字相乘法分解因式即可．【详解】解：原式，故答案为：．【点睛】此题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）已知a，b为自然数，且a＞b，若（a+b）+（a﹣b）+ab+＝243，则a，b的值分别为_____．【答案】a＝24，b＝8或a＝54，b＝2．【分析】先设k，则a＝bk，再把原式化为含未知数b、k的形式，再根据243＝3×81可知，k和必为3的倍数，再由a＞b且a，b为自然数即可求出a、b的值．【详解】解：设k，则a＝bk，∴原式可变形为：bk+b+bk﹣b++k＝k＝243，∵243＝3×81，∴k和必为3的倍数，∵a＞b且a，b为自然数，∴a＝24，b＝8，或a＝54，b＝2．【点睛】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是把原式化为含未知数b、k的形式，再根据k和必为3的倍数进行解答．（2022春·浙江宁波·七年级校考期中）已知，则______．【答案】2或【分析】结合题意，对等式两边同除以y，根据因式分解的性质计算，即可得到答案.【详解】∵，且，∴∴解得：或，∴或，∴或故答案为：或．【点睛】本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法．（2022秋·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）分解因式：______．【答案】【分析】先利用乘法公式展开、合并得到原式，再进行分组得到完全平方公式，所以原式，然后再把括号内分组分解即可．【详解】解：原式．故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解——分组分解，理解分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，并灵活运用整体代入思想解答是解题的关键．因式分解：__________．【答案】【分析】先提公因式n，再用完全平方公式对另一因式分解．【详解】m2n−10mn+25n=n(m2−10m+25)=n(m−5)2．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解决此类问题的关键．已知，那么多项式的值为________.【答案】//【分析】先根据式子的特点展开，然后求出的值，再代入即可求解．【详解】解：，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了乘法公式与因式分解的运算和求值的应用，熟练掌握整式的因式分解和整体代入的思想是解题的关键．（2022春·湖南永州·七年级校考期中）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】（1）解：原式；（2）原式．【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，解题关键是综合运用提公因式法和公式法进行因式分解．因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可得到答案；（2）综合提公因式法和公式法分解因式即可得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查了因式分解，平方差公式，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．（1）能被整除吗？能被整除吗？说明你的理由．（2）说明：当为正整数时，的值必为的倍数．【答案】（1）能被整除，能被整除，理由见解析；（2）见解析．【分析】（1）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，据此即可得到答案；（2）综合提公因式法和公式法对进行因式分解，得出，再根据、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数，即可说明结论．【详解】解：（1）能被整除，能被整除，理由如下：，能被整除，能被整除；（2），为正整数，、、为三个连续的整数，必有2的倍数和3的倍数，当为正整数时，的值必为的倍数．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是利用因式分解把复杂运算简单化或解决整除问题．下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a D．a2+2ab﹣b2【答案】B【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：选项A、C、D都不能够用完全平方公式分解，选项B能用完全平方公式分解，即，故选：B．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（

）A．2 B．C． D．【答案】C【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．【详解】A.右边不是整式积的形式，不符合；B.右边不是整式积的形式，不符合；C.符合因式分解的定义，故符合；D.右边不是整式积的形式，不符合.故选C.【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的性质是解题关键.已知，，那么______，______．【答案】-10【