2026届九年级数学中考函数几何综合压轴模拟试卷（含答案详解与评分标准）

第页2026届九年级数学中考函数几何综合压轴模拟试卷（含答案详解与评分标准）考试名称2026届九年级数学中考函数几何综合压轴模拟卷考试时间120分钟满分100分适用对象九年级学生、任课教师、家长题型结构选择题8题、填空题6题、解答题8题使用场景中考压轴专题训练与模拟测评命题范围函数图象、几何图形、相似、圆、坐标综合答题要求写清步骤，规范作图，分层给分注意事项：1.本卷共三大题，22小题，满分100分，考试时间120分钟。请在规定位置作答，答案写在试题卷外不得分。2.选择题每题只有一个正确选项；填空题需写出最简答案或等价正确形式；解答题须写出必要的演算、证明和说明。3.作图、辅助线、函数图象和几何关系应标注清楚；涉及参数范围时，应说明由题意得到的限制条件。4.参考答案与解析另起新页，正式训练时请先独立完成试题部分，再对照评分标准订正。一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.（3分）一次函数如下式所示，当它的图象随自变量x的增大而减小时，m的取值可能是（）。A.3B.2C.1D.42.（3分）二次函数如下式所示，则该抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（）。A.顶点(2,-1)，对称轴x=2B.顶点(-2,-1)，对称轴x=-2C.顶点(2,1)，对称轴x=2D.顶点(-2,1)，对称轴x=-23.（3分）点A(0,0)，B(6,0)，C(6,8)，连接AC。若点D在AC上，且AD:DC=1:3，则点D的坐标是（）。A.(1.5,2)B.(2,1.5)C.(4.5,6)D.(3,4)4.（3分）反比例函数的图象经过点(2,3)，若点(a,2)也在该图象上，则a的值是（）。A.2B.3C.4D.65.（3分）以点O(2,1)为圆心、半径为2的圆与下列直线中相切的是（）。A.x=0B.x=1C.y=0D.y=46.（3分）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）。A.m<4B.0<m<4C.m>0D.m>47.（3分）如图形背景可转化为函数问题：在第一象限内取点P(x,y)，其中点P在直线y=12-2x上，作矩形OAPB（OA在x轴上，OB在y轴上）。矩形面积的最大值为（）。A.16B.18C.24D.368.（3分）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。下列结论正确的是（）。A.A(-1,0)，B(5,0)，C(0,5)B.顶点坐标为(4,5)C.对称轴为x=4D.当x=2时函数取得最小值9二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.（3分）一次函数图象经过点(1,3)和(3,7)，它与x轴交点的横坐标为________。10.（3分）反比例函数在第一象限内的点P到两坐标轴的垂线段围成的矩形面积为12，则该反比例函数的比例系数k=________。11.（3分）圆M的圆心为M(1,2)，半径为2；圆N的圆心为N(5,5)。若圆M与圆N外切，则圆N的半径为________。12.（3分）二次函数的最大值为________。13.（3分）点P在直线y=-x+6的第一象限部分上，A(2,0)，B(0,4)。当PA²+PB²取得最小值时，点P的横坐标为________。14.（3分）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。以C为原点，CA、CB分别为x轴、y轴正方向，点P在AB上，过P向两坐标轴作垂线，所得矩形面积的最大值为________。三、解答题（本大题共8小题，共58分）15.（6分）已知二次函数图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)。

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标；

（3）求当函数值不小于3时，x的取值范围。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________16.（6分）如图形情境：△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为BC的中点。点E在AB上，AE=6，过E作EF∥BC交AC于F。

（1）求EF的长；

（2）求四边形BCFE的面积；

（3）说明△AEF与△ABC相似所依据的条件。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________17.（7分）阅读材料：对于二次函数，若两个自变量x₁、x₂关于对称轴x=h对称，即x₁+x₂=2h，则这两个点在抛物线上具有相同的函数值。这个方法常用于把“找点”问题转化为“找对称轴”。

已知抛物线如下式所示。

（1）写出它的对称轴和顶点坐标；

（2）若点P(1,y₁)、Q(t,y₁)都在该抛物线上，且P、Q不是同一点，求t；

（3）若该抛物线向上平移n个单位后与x轴只有一个公共点，求n的值。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________18.（7分）某公园拱门截面可看成抛物线的一部分。以地面中点O为原点，地面所在直线为x轴，竖直向上为y轴，拱顶为(0,6)，拱脚为(-6,0)和(6,0)，单位为米。

（1）求拱门抛物线的函数解析式；

（2）一辆宽4米、高4.5米的货车沿中线通过，判断能否安全通过，并说明理由；

（3）若货车高5.5米，求允许通过的最大车宽。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________19.（8分）直线l与坐标轴交于A(6,0)、B(0,3)。点P(x,y)在第一象限内的线段AB上，过P向两坐标轴作垂线，围成矩形OCPD，其中C在x轴上，D在y轴上。

（1）求直线l的解析式；

（2）用x表示矩形OCPD的面积S，并求S的最大值；

（3）当反比例函数经过面积最大时的点P时，说明该双曲线与线段AB只有一个公共点。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________20.（8分）如示意图，抛物线经过C(0,5)，顶点D(2,9)，并与直线CD相交于C、D两点。点P(t,-t²+4t+5)在抛物线C到D之间的部分上，过P作x轴的垂线，交直线CD于N。

（1）求抛物线和直线CD的解析式；

（2）用t表示线段PN的长，并求PN的最大值；

（3）当PN=3/4时，求点P的坐标。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________21.（8分）已知圆O的圆心为坐标原点，半径为5。直线m的方程为y=kx+13。

（1）若直线m与圆O相切，求k的值；

（2）取斜率为负的切线，求切点P的坐标；

（3）该切线与x轴、y轴分别交于A、B，求△AOB的面积，并说明OP与直线AB的位置关系。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________22.（8分）如示意图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。点P(t,-t²+4t+5)是第一象限内抛物线上的动点，过P作PQ∥y轴交直线BC于Q。

（1）求A、B、C的坐标和直线BC的解析式；

（2）用t表示PQ的长，并求PQ的最大值；

（3）若△PBC的面积为15，求t的值，并分别写出对应△PBC的周长，判断哪一个周长较大。作答区：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________整卷备用演算区：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________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参考答案与解析一、选择题答案与解析（每小题3分，共24分）12345678CAABABBA1.解析：一次函数的增减性由一次项系数决定。若图象随x增大而减小，则m-2<0，即m<2。四个选项中只有1符合。评分：选C得3分；若写出m<2但选项误填，可酌情给1分。2.解析：函数已是顶点式，顶点为(2,-1)，对称轴为x=2。评分：选A得3分；只写顶点或只写对称轴不给选择题分。3.解析：D把AC按AD:DC=1:3分成四等份，D从A向C走全程的1/4。C(6,8)，故D(6/4,8/4)=(1.5,2)。评分：选A得3分。4.解析：反比例函数经过(2,3)，k=2×3=6。点(a,2)在图象上，则2a=6，a=3。评分：选B得3分。5.解析：圆心(2,1)到直线x=0的距离为2，等于半径，故相切；其余直线到圆心距离不等于2。评分：选A得3分。6.解析：两根不相等要求判别式16-4m>0，即m<4；两根为正要求两根和4>0且积m>0，故0<m<4。评分：选B得3分。7.解析：矩形面积S=x(12-2x)=-2x²+12x。抛物线开口向下，最大值在x=3处取得，Smax=18。评分：选B得3分。8.解析：令y=0，得x=-1或5；令x=0，得y=5。顶点为(2,9)，对称轴为x=2，且开口向下，所以只有A正确。评分：选A得3分。二、填空题答案与解析（每小题3分，共18分）9.答案：−1/2。解析：斜率为(7−3)/(3−1)=2，设y=2x+b，代入(1,3)得b=1，所以y=2x+1。令y=0，得x=−1/2。评分：答案正确得3分；解析中函数式正确但截距误算，给1分。10.答案：12。解析：第一象限内点P(a,b)在反比例函数上，矩形面积为ab。又k=ab，所以k=12。评分：答案12得3分；若写成面积等于k但未给数值，给1分。11.答案：3。解析：两圆圆心距MN=√[(5−1)²+(5−2)²]=5。外切时两半径和等于圆心距，所以2+r=5，r=3。评分：答案3得3分。12.答案：5。解析：y=−2(x²−4x)−3=−2(x−2)²+5，开口向下，最大值为5。评分：答案5得3分；若只写顶点(2,5)，给2分。13.答案：5/2。解析：设P(x,6−x)，则PA²+PB²=(x−2)²+(6−x)²+x²+(2−x)²=4x²−20x+44。该二次函数在x=5/2时取最小值。评分：答案5/2得3分。14.答案：12。解析：AB所在直线为x/6+y/8=1，即y=8−4x/3。矩形面积S=xy=x(8−4x/3)，开口向下，在x=3时取得最大值12。评分：答案12得3分。三、解答题答案详解与评分标准（共58分）15.答案详解（6分）（1）因抛物线过A(-1,0)、B(3,0)，可设y=a(x+1)(x−3)。代入C(0,3)，得−3a=3，所以a=−1。因此解析式为y=−x²+2x+3。评分：设交点式1分，代入求a1分，解析式1分。（2）y=−(x−1)²+4，顶点坐标为(1,4)。评分：配方正确1分，顶点坐标1分。（3）令y≥3，得−x²+2x+3≥3，即−x²+2x≥0，等价于x(x−2)≤0，所以0≤x≤2。评分：不等式建立1分，范围1分。易错点：把“函数值不小于3”误写成x≥3，或未考虑开口向下导致不等号方向判断错误。变式提示：若把点C改为(0,c)，仍可先用交点式y=a(x+1)(x−3)，再由C点确定a；若条件改为函数值不大于某数，应先画出或判断抛物线开口，再确定区间方向。16.答案详解（6分）（1）因为EF∥BC，所以∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，故△AEF∽△ABC。相似比AE:AB=6:10=3:5，所以EF=(3/5)BC=36/5。评分：相似关系1分，相似比1分，EF结果1分。（2）△ABC为等腰三角形，D为BC中点，AD⊥BC，BD=6，AD=√(10²−6²)=8，所以S△ABC=1/2×12×8=48。相似三角形面积比为(3/5)²=9/25，因此S△AEF=48×9/25=432/25。四边形BCFE面积为48−432/25=768/25。评分：求高1分，总面积1分，面积比与四边形面积1分。（3）依据为两角分别相等，判定△AEF∽△ABC。评分：写出“两角对应相等”得1分。易错点：把长度比3:5误当作面积比3:5，导致四边形面积偏大或偏小。变式提示：若将AE改为未知量x，可先写相似比x/10，再用面积比(x/10)²表示小三角形面积，四边形面积随x变化可转化为二次表达式。17.答案详解（7分）（1）y=x²−4x+1=(x−2)²−3，所以对称轴为x=2，顶点坐标为(2,−3)。评分：配方1分，对称轴1分，顶点1分。（2）P的横坐标为1。若Q(t,y₁)与P关于对称轴x=2对称，则1+t=4，t=3。又P、Q不是同一点，所以t=3。评分：写出对称关系1分，求出t=3得1分。（3）原抛物线顶点纵坐标为−3，向上平移n个单位后顶点纵坐标为−3+n。与x轴只有一个公共点时，顶点恰在x轴上，故−3+n=0，n=3。评分：理解“一公共点”为顶点在x轴上1分，n=3得1分。易错点：把“只有一个公共点”误判为判别式大于0；本题顶点式最直接。变式提示：若题目给出两个等高点的横坐标，可用x₁+x₂=2h反求对称轴；若改为向下平移，则顶点纵坐标应减去平移量。18.答案详解（7分）（1）由对称性设抛物线为y=ax²+6。代入(6,0)，得36a+6=0，a=−1/6，所以解析式为y=−x²/6+6。评分：设式1分，代入拱脚1分，解析式1分。（2）货车宽4米，沿中线通过时两侧边对应x=±2。此时拱高y=−4/6+6=16/3米，16/3>4.5，所以能安全通过。评分：代入x=2得1分，比较并判断1分。（3）货车高5.5米，要求−x²/6+6≥5.5，得x²≤3。允许半宽最大为√3米，所以最大车宽为2√3米。评分：建立不等式1分，解得半宽1分，写出总宽1分。易错点：宽度应取左右两侧总宽，不能把√3直接当作车宽。变式提示：拱门类问题的关键是“边缘高度”，货车宽为2a时要代入x=a；若拱顶高度或拱脚距离改变，仍可用y=ax²+c建立对称抛物线。19.答案详解（8分）（1）直线经过A(6,0)、B(0,3)，斜率为(0−3)/(6−0)=−1/2，所以直线l为y=−x/2+3。评分：斜率1分，解析式1分。（2）点P在线段AB上，可设P(x,−x/2+3)，其中0<x<6。矩形面积S=x(−x/2+3)=−x²/2+3x。该二次函数开口向下，顶点横坐标为3，最大面积Smax=9/2。评分：设点与范围1分，面积表达式1分，最大值2分。（3）面积最大时P(3,3/2)，反比例函数比例系数k=3×3/2=9/2。设双曲线与线段AB交于点(x,−x/2+3)，则x(−x/2+3)=9/2，化为x²−6x+9=0，即(x−3)²=0。因此交点只有P(3,3/2)一个。评分：求k1分，建立方程1分，判定唯一交点1分。易错点：矩形面积的最大点也是直线与双曲线的切触点，方程出现重根是“只有一个公共点”的代数表现。变式提示：若直线截距改为A(a,0)、B(0,b)，面积函数一般为S=x(−bx/a+b)，最大点位于线段中点横坐标a/2处。20.答案详解（8分）（1）由题中P坐标可知抛物线为y=−x²+4x+5；C(0,5)、D(2,9)，直线CD斜率为(9−5)/(2−0)=2，所以直线CD为y=2x+5。评分：抛物线1分，直线斜率1分，直线解析式1分。（2）P(t,−t²+4t+5)，N在直线CD上且横坐标相同，所以N(t,2t+5)。PN=(−t²+4t+5)−(2t+5)=−t²+2t=−(t−1)²+1。因为0<t<2，最大值为1。评分：N坐标1分，PN表达式2分，最大值1分。（3）令−t²+2t=3/4，得t²−