2026届深圳市高三数学高考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2026届深圳市高三数学高考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）考试时间：120分钟满分：150分学校：________________班级：________姓名：________考号：________________注意事项1．本卷为2026届深圳市高三数学高考一模阶段检测训练卷，试题覆盖集合与函数、三角与向量、数列、立体几何、统计概率、解析几何、导数与不等式等主干内容。2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写清楚；选择题答案按题号填涂或填写在规定位置，非选择题答案写在题后作答区。3．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤；仅写最后结果且缺少依据的，不得相应过程分。4．本卷共三大题，22小题；选择题10题共30分，填空题6题共18分，解答题6题共102分，合计150分。一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．设集合，，则中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．已知复数，则等于（）A．1B．2C．D．3．若向量，，则的值为（）A．5B．6C．7D．94．函数的定义域为（）A．B．[-2,1)C．[-2,2]D．(1,2]5．已知，且，则等于（）A．B．C．D．6．从数字1，2，3，4，5中随机选取两个不同的数字，则所取两个数字的乘积为偶数的概率为（）A．B．C．D．7．在等差数列中，，，则等于（）A．17B．21C．25D．298．圆上从点所作切线的长为（）A．1B．2C．D．39．已知函数满足，则实数的值为（）A．B．0C．D．110．长方体的长、宽、高分别为2，3，6，则其体对角线与底面所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。请将正确答案填写在题中横线上。11．二项式的展开式中的常数项为__________。12．已知函数，，其最小正周期为，则__________。13．曲线在点处的切线斜率为__________。14．椭圆的焦距为8，则该椭圆的离心率为__________。15．随机变量，且，则__________。16．若正数满足，则的最大值为__________。三、解答题：本题共6小题，每小题17分，共102分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角所对的边分别为。已知，，且。求边的长，并求的面积。18．已知数列满足，（）。（1）求数列的通项公式；（2）设，求。19．在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，侧棱。点为的中点。（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值。20．为了解高三一模复习阶段学生每周数学错题整理时长与成绩提升情况，某校从高三学生中随机抽取100人，按“每周错题整理时长”分组，并统计其中一模阶段数学成绩提升达到10分及以上的人数，得到如下表。每周整理时长（小时）12345对应人数822342412提升达到10分及以上人数27171610（1）估计该校高三学生每周数学错题整理时长的平均数；（2）从样本中每周整理时长不少于4小时的学生里随机抽取1人，估计其成绩提升达到10分及以上的概率；（3）从样本中每周整理时长为5小时的12名学生里随机抽取2人，求恰有1人成绩提升达到10分及以上的概率。21．已知抛物线，焦点为。过的直线与抛物线交于不同两点。（1）若点对应参数分别为，即，，证明；（2）求弦长的最小值，并指出等号成立时直线的位置；（3）若，求直线的方程。22．已知函数，定义域为。（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对任意，都有；（3）求所有实数，使得对任意，均有。

参考答案与解析一、选择题1．B。由得，因此，共有4个元素。2．C。化简，故。3．A。有，，点积为。4．D。根式要求，对数要求，交集为。5．C。由得，所以。6．D。总取法为，乘积为奇数只可能从1，3，5中取两个，共种，故所求概率为。7．D。设。由得；由得，解得，故。8．B。圆可化为，圆心为，半径为3。点到圆心距离为，切线长为。9．C。因为，由得，所以。10．C。体对角线长为，其与底面所成角的正弦值等于高与体对角线之比，即。二、填空题11．15。通项为。令，得，常数项为。12．。最小正周期，故。于是。13．2。由，在处斜率为。14．。焦距为8，所以；又，故，离心率。15．。二项分布满足，所以，故。16．。由且，有，最大值为。三、解答题17．解：由余弦定理，。因为，所以，从而。又，令，代入得，即。由于边长为正，得，进而。三角形面积为。评分标准：写出余弦定理并代入角得3分；正确利用建立关于的方程4分；求得共4分；面积公式和计算4分；结论完整2分。18．解：（1）设。由递推式两边同除以，得。又，故是首项为1、公差为的等差数列，所以。于是。（2）。由错位相减或常用求和式得，且，因此。评分标准：构造并推出等差关系4分；求出5分；正确拆分求和3分；使用错位相减或等价方法求出两个和3分；得到并书写结论2分。19．解：建立空间直角坐标系，取，，，，。由于为中点，故。（1），，于是，故。（2）平面由向量与张成，其一个法向量可取。设直线与该平面所成角为，则。评分标准：建立合理坐标系并写出关键点坐标4分；求出坐标2分；用数量积证明垂直4分；求出平面法向量3分；正确使用线面角公式并求得4分。20．解：（1）平均整理时长估计为小时。（2）样本中每周整理时长不少于4小时的学生共有人，其中成绩提升达到10分及以上的人数为人，所以所求估计概率为。（3）每周整理时长为5小时的12人中，成绩提升达到10分及以上的有10人，未达到的有2人。从中任取2人，恰有1人达到的概率为。评分标准：平均数加权计算5分；整理不少于4小时的人数和对应提升人数统计各2分，概率化简2分；第三问列出超几何模型4分，计算结果2分。21．解：（1）抛物线上参数为的点可写成。过，的弦所在直线方程为。焦点在该直线上，代入得，所以。（2）设。由，有。于是。等号成立当且仅当，此时直线为，即过焦点且垂直于对称轴的通径所在直线。（3）若，则，故。弦所在直线，所以直线方程为或。评分标准：写出参数点并得到弦方程5分；代入焦点推出3分；推导弦长表达式5分；确定最小值和等号条件2分；由弦长为8求出两条直线2分。22．解：（1）。当时，对任意，有，故在上单调递增。当时，等价于，等价于，故函数在上单调递增，在上单调递减。（2）当时，。由（1）可知在上递增，在上递减，因此在处取得最大值。故，即，当且仅当取等号。（3）若对任意均有。由得；令，得。由，注意，可得；令，得。因此必须。由（2）知确实满足条件，所以所求实数为。评分标准：求导并按分类讨论单调性6分；利用单调性证明对数不等式5分；必要性中分别讨论与并得到共4分；验证充分性并写出结论2分。全卷评分标准补充细则客观题评分细则：选择题每小题3分，只有一个正确选项。阅卷时以最终选项为准，选对得3分，选错、多选、未选均不得分。若学生在草稿或题旁写出正确理由，但最终选项填写错误，仍按最终选项判分。选择题解析中的关键理由用于帮助核对思路，不作为选择题拆分赋分依据。第1题主要考查一元二次不等式解集与整数集合交集，易把开区间端点误计入集合；第2题主要考查复数除法与模长，易漏乘共轭复数；第3题主要考查向量线性运算与数量积，易把坐标相加后再漏算符号；第4题主要考查函数定义域，根式与对数条件必须同时满足；第5题主要考查三角函数象限与倍角公式，象限只决定余弦符号，不能改变倍角公式；第6题主要考查古典概型，可用对立事件减少分类；第7题主要考查等差数列基本量运算；第8题主要考查圆的标准方程与切线长公式；第9题主要考查导数条件；第10题主要考查空间角与长方体体对角线。填空题评分细则：填空题每小题3分，答案必须写成等价、准确、最简明的形式。数值答案若未化简但与标准答案等价，可以给满分；若由于符号、指数、根号、分母位置等书写错误导致数值不等价，不得分。第11题中常数项符号必须判断正确，若只写出指数方程但常数项计算错误不得满分；第12题中应先由周期确定参数，再代入特殊角计算函数值；第13题只需给出切线斜率，若写成切线方程且方程正确，可视为包含斜率；第14题应区分焦距与半焦距，若把8当成半焦距会导致离心率错误；第15题必须利用二项分布数学期望求出参数；第16题可用配方法或基本不等式，若只写出取得最大值时的点而没有数值，不得分。解答题通用评分原则：每道解答题17分，按过程分、计算分和结论分综合给分。凡是关键公式、关键定理或关键转化正确，即使后续计算有轻微算术错误，前面的过程分仍应保留；若后续结果完全依赖错误计算且未作合理校验，则相应计算分和结论分不得给。对于使用不同方法的作答，只要逻辑完整、条件使用充分、结论与标准答案等价，应参照相同层级的过程给分。证明题重点看推理链条是否闭合，计算题重点看建模、代入、化简、取舍和结论是否一致。凡出现条件缺失、偷换变量、把必要条件当充要条件、忽视定义域或取值范围的，按错误发生位置扣除相应步骤分。第17题评分细化：本题是解三角形与面积计算的综合题。满分作答应先写出余弦定理，再根据已知角的余弦值将方程化为边长之间的关系；随后利用边长差建立一元二次方程，并根据三角形边长为正舍去不合题意的根。若学生直接代入边长差得到正确方程，可给建模分；若只写出方程但没有说明负根舍去，应在结论分中扣除。面积部分必须使用夹角面积公式，边长和角度代入均正确才能给足该部分分数。若面积结果只差根号化简，按计算错误酌情扣分；若将角A所夹的两边误认为含边c的另一组边，则面积公式对象错误，相应面积分不得给足。第18题评分细化：本题核心在于把非齐次递推转化为等差数列。设新数列时，必须说明两边同除以相同的指数项，并得到相邻两项差为常数。若学生没有明确定义新数列，但通过观察或数学归纳得到正确通项，也可按通项公式的推导完整程度给分。求和部分可采用拆分求和、错位相减、数学归纳或利用已知等比求和公式等方法。若只得到通项而求和无过程，不能给求和过程分；若求和式结构正确但最后常数项错误，应保留拆分分，扣除计算分。结论应同时包含通项与前n项和，且变量范围为正整数。第19题评分细化：本题是直棱柱中的空间向量法。建立坐标系时，应保证底面直角边与坐标轴对应、侧棱垂直底面并对应竖直坐标；若坐标系不同但坐标关系自洽，同样可给分。第一问证明垂直的关键是求出两个方向向量的数量积为零，若只凭图形直观说明不构成严谨证明。第二问求线面角时，可用法向量公式，也可先求直线与法向量夹角再转化为线面角；必须注意线面角的正弦等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值。若把所成角直接当作直线与法向量的夹角，应扣除转化分。第20题评分细化：本题把一模复习情境下的统计表转化为平均数与概率问题。第一问平均数应使用分组代表值与频数加权，不可简单把1至5求平均。第二问条件样本空间是整理时长不少于4小时的学生，因此分母应为36，而不是全样本100；若分母选错但分子统计正确，可给部分统计分。第三问是有限个体中的不放回抽取，可用组合数列式，也可用分步乘法列式。若学生采用有放回模型，概率模型错误，相应模型分不得给足。结果可写成分数，也可写成等值小数，但应保持精确。第21题评分细化：本题考查抛物线参数法、焦点弦性质与弦长最值。第一问中，参数点代入抛物线是前提，弦方程可以直接写出，也可以由两点式推导得到；只要能利用焦点在弦上推出参数乘积为负一，即可获得核心分。第二问的弦长推导应体现横坐标差、纵坐标差与参数和、参数差之间的关系；最小值来自平方非负，不能只凭图像猜测。第三问由弦长等于8推出参数和的两个取值，进而得到两条对称直线。若只写出一条直线，应扣除一半结论分；若直线方程形式不同但等价，应按正确处理。第22题评分细化：本题是导数与不等式的综合题。第一问按参数分类是得分关键，当参数不为正时，导函数符号在整个定义域内保持正；当参数为正时，临界点为参数倒数，单调区间必须写在定义域内。第二问本质是利用函数最大值证明对数基本不等式，若学生用切线法、凸凹性或积分法证明，只要逻辑正确也可给满分。第三问要求求所有参数，必须同时说明必要性与充分性。由大于1和小于1两个区间分别得到参数的下界与上界，是保证结果唯一的核心步骤；若只验证参数等于1满足，而未排除其他参数，不能给满分。书写与规范评分说明：解答题中出现多个等式连续变形时，应保证每一步变形依据明确，尤其是平方、开方、取倒数、两边同除等操作要注意非负性或符号条件。统计概率题应明确样本空间与有利事件，解析几何题应明确点、直线、曲线之间的从属关系，导数题应先写定义域再讨论单调性。最终答案应与题目所问一一对应，不可只写中间量。若一题有多问，前问结果可作为后问条件使用；前问错误但后问按照错误结果进行自洽推导的，只能给后问中与方法相关的部分分。等价答案处理说明：本卷中的数值、方程、概率和函数区间允许等价表达。根式结果可以写成分母有理化或未有理化形式，概率可以写成最简分数或等值精确小数，直线方程可以写成一般式、斜截式或点斜式，区间端点必须保持开闭正确。对于含参数的讨论题，若单调区间的表达与标准答案等价，应给相应分数；若遗漏参数等于零这一临界情形，应视为分类不完整。对选择题和填空题，等价答案只适用于答案本身，不因草稿中出现正确方法而改变最终判分。选择题第1题到第5题补充解析：第1题先解二次不等式，再与整数集合取交集，关键是端点负一和四均不能取；第2题复数化简时，分母实数化要乘以共轭复数，得到纯虚数后再求模长；第3题应先求两个新向量，而不是分别把两个原向量直接点乘；第4题两个限制条件同时成立，根式给出闭区间，对数给出开区间，交集端点要保留二；第5题应先由象限判断余弦为负，再用平方差形式求倍角余弦，结果为正并不矛盾，因为二倍角已经落入另一个角度范围。以上五题都属于一模客观题的基础辨析题，解答时最容易失分在集合端点、对数定义域、象限符号和公式代入顺序。选择题第6题到第10题补充解析：第6题若直接分类，可分为至少取到一个偶数，使用对立事件更简洁；第7题由两个等差关系式解出首项和公差，注意两个方程的系数不同；第8题圆的一般方程要先配方得到圆心和半径，再用切线长定理计算；第9题只给出导数在一点为零的条件，不需要讨论极值性质，直接代入导函数即可；第10题空间角常转化为直角三角形中的比值，体对角线与底面的夹角，其正弦值对应高除以体对角线。若学生把底面对角线与体对角线的夹角混淆，会得到余弦或正切相关结果，应判为选项错误。填空题第11题到第16题补充解析：第11题通项指数为十二减三倍的选择次数，只有选择次数为四时出现常数项；第12题三角函数周期由角频率决定，求出角频率后再代入指定自变量；第13题函数含对数，求导时使用乘积法则，切线斜率就是导数值；第14题中焦距是两焦点距离，半焦距才是椭圆公式中的参数；第15题二项分布的期望等于试验次数乘以成功概率，因此成功概率固定后再求恰有四次成功；第16题可把约束式代入目标式化为二次函数，也可由基本不等式转化，但必须说明正数条件保证取值有效。第17题作答补充说明：若采用正弦定理或构造辅助角求解，也必须回到边长关系完成唯一确定。由于题目给出一个角、一条边和两边差，直接使用余弦定理最稳定。建立方程后出现两个根，负根不符合边长为正，因此舍去是必要步骤。面积计算不能使用海伦公式的近似数值替代精确结果；若使用海伦公式，半周长为三加根号七的一半附近，计算较繁，且更容易引入无理式错误。标准答案采用夹角面积公式，理由是已求出夹角A两边a与b，代入后即可得到精确面积。第18题作答补充说明：递推式右侧同时含有当前项和指数项，直接迭代虽然可行，但不利于发现一般项。把每一项除以相同指数后，递推式变成相邻两项差为常数，这是本题的核心转化。前n项和的求法中，若学生自行推导等式，应注意错位相减时上下两式对齐；若使用已知公式，也要说明公式适用范围。答案中的前n项和可通过代入n等于一进行检验，这一步虽然不要求写出，但有助于发现常数项错误。第19题作答补充说明：空间向量题的第一步是把几何关系翻译成坐标关系。直三棱柱说明侧棱垂直底面，因此上下底面对应点的前两个坐标相同，竖直坐标相差二。证明线线垂直时，只要两条直线方向向量点积为零即可。求线面角时，平面法向量的选取不唯一，任意非零数倍均可；计算中取绝对值是因为所成角规定为锐角或直角。若学生求出直线与法向量夹角的余弦为根号三分之一，还需要说明它就是线面角的正弦。第20题作答补充说明：统计概率题要特别区分“估计概率”和“精确概率”。第一问、第二问都基于样本数据估计总体情况，因此计算结果来自样本频率；第三问只在样本中指定的12名学生里抽取，样本空间已经确定，属于精确的组合概率。平均数计算时，时长分组的代表值就是表头给出的小时数，不能把达到提升的人数当作权重。第三问若用先抽到提升者再抽到未提升者的顺序概率，应把两种顺序相加，结果与组合数方法一致。第21题作答补充说明：参数法是处理抛物线焦点弦的高效工具。抛物线上任一点写成参数形式后，两点弦方程具有固定结构，焦点代入后迅速得到参数乘积。弦长化简中要把横坐标差写成参数差乘以参数和，纵坐标差写成二倍参数差，从而出现同一个平方和因子。最小值的取得条件不是随意指定，而是参数和为零；这对应两端点参数互为相反数，同时与乘积为负一相容。弦长为八时参数和有正负两个值，因此直线关于x轴对称成对出现。第22题作答补充说明：导数题的关键是把参数对导函数符号的影响说清楚。参数小于或等于零时，导函数在正半轴始终为正；参数大于零时，临界点在定义域内，函数先增后减。第二问证明不等式时，最大值法比直接变形更稳健，因为对数函数与一次函数之间的比较本质上是切线不等式。第三问若只从函数最大值角度处理，也要注意参数变化会改变最大点位置；使用极限夹逼参数的方法更直接，左右趋近一分别给出上界和下界，最后再用第二问完成充分性验证。阅卷合分说明：每一题得分先按小问统计，再合成题目总分。解答题若某小问满分不足以覆盖学生的全部正确推导，不得超过该小问分值上限；若某小问的错误结论被后续小问引用，后续小问中与方法独立的部分可以酌情给分。整卷合分时，客观题、填空题、解答题三部分分别小计，再求总分。若学生答案书写在题后作答区以外但题号清楚、内容完整，可按内容判分；若题号不清且无法判断对应题目，不能随意迁移分数。卷面规范说明：数学作答应尽量使用清晰的等式链、必要的文字解释和明确的结论。对于“求值”题，最后应写出所求量；对于“证明”题，最后应回扣命题；对于“讨论”题，分类边界必须完整。出现根号、分式、指数、对数、三角函数时，应注意括号范围。统计表中的数据引用要与表头一致，几何题中的点、线、面符号应与题目一致。若学生使用计算器式小数近似代替精确答案，在本卷要求精确值的题目中应扣除相应结论分。综合能力点说明：本卷按照高三数学高考一模检测要求设置基础题、中档题和综合题。基础题强调概念准确、运算稳健和公式熟练，中档题强调条件转化、模型识别和过程规范，综合题强调跨知识点联结与参数讨论。阅卷时应区分“会做但算错”和“方法方向错误”两种情况：前者保留已经完成的正确步骤分，后者从错误转化处起不再给依赖该错误的后续分。对于学生在同一道题中写出两种不同答案的情况，若未明确最终答案，以最后呈现或最接近结论位置的答案为准；若两个答案相互矛盾且无法判断，应按不确定答案处理。常见错误扣分细则：集合题中把小于号写成小于等于、函数定义域中漏掉对数真数为正、三角题中把二倍角公式写成一次角公式、概率题中把有放回与不放回混用、数列题中把下标递推关系错位、立体几何题中把线面角与线线角混淆、解析几何题中把参数和与参数积混淆、导数题中漏掉参数分类，均属于实质性错误。实质性错误若发生在关键步骤，应扣除该关键步骤及依赖它的分数；若发生在最后化简且不影响主要思路，可保留大部分过程分。书写中只有符号笔误且上下文可唯一确定含义的，可按轻微错误处理。审题要点说明：本卷中多处条件带有限定语，例如“正数”“不同数字”“不少于4小时”“对任意正数”“不同两点”等，这些限定语直接影响解题范围。若学生忽视限定语导致答案范围扩大或缩小，应视为条件使用不完整。特别是第16题正数条件保证二次函数顶点落在可行域内，第20题不少于4小时改变样本空间，第21题不同两点排除了切线退化情形，第22题对任意正数要求参数同时满足两个方向的限制。这些条件不能只在题干中出现而在解答中完全不体现。计算过程判分说明：高中数学阅卷不仅看最终结果，还看计算链是否可靠。若学生在一行中跨越多步化简并出现错误，应根据能够确认的最后正确位置给分。含分式的题目需注意通分和约分条件，含根式的题目需注意根号内非负，含指数的题目需注意底数和指数对应，含对数的题目需注意真数范围。对于统计概率题，组合数分子和分母的含义应能从文字说明中看出；对于导数题，单调区间端点应与临界点、定义域同时一致。证明过程判分说明：证明题或含证明要求的小问，应以逻辑闭环为核心。第19题第一问必须证明向量点积为零或给出等价的垂直判据；第21题第一问必须说明焦点在弦所在直线上，从而推出参数乘积；第22题第二问必须说明函数在指定点取最大值，才能推出不等式对全体正数成立。若学生只写出目标结论而没有连接条件与结论的中间依据，不能给证明过程分。若证明中使用了反证法、构造函数法或参数法等不同路径，只要每一步逻辑充分，同样可按标准分层给分。最终答案呈现说明：答案区每一道题都应有明确结果，解答题还应在结果前后保留必要推导。第17题应同时写出两条边长和面积；第18题应同时写出通项公式和前n项和；第19题应写出垂直证明结论和线面角正弦值；第20题应写出平均数、估计概率和精确概率；第21题应写出参数关系、弦长最小值及两条直线方程；第22题应写出单调性分类、不等式证明和参数取值。若最终结果缺少单位或对象名称但不影响数学意义，可轻扣结论表达分；若缺少某一问结果，则该问结论分不得给。试卷结构复核说明：本卷前半部分重在快速判断，后半部分重在完整表达。选择题按照从基础运算到空间几何的顺序展开，填空题覆盖二项式、三角函数、导数、圆锥曲线、概率分布和基本最值，解答题依次安排解三角形、数列、立体几何、统计概率、解析几何和导数压轴。这样的顺序便于考生在一模检测中合理分配时间，也便于阅卷时按照知识板块检查得分。评分时不应因某一板块整体表现影响另一板块给分，每题均独立判定。时间分配参考说明：虽然本卷不直接给时间分，但从阅卷角度看，选择题和填空题应以结果准确为主，解答题应以过程完整为主。第17题和第18题属于常规模型，过程应简洁清楚；第19题和第20题需要把题干信息转化为坐标或表格数据，转化准确是得分基础；第21题和第22题综合性更强，参数关系、最值条件和充分必要性都要交代。若学生在后两题写出关键思路但未完成全部计算，应根据已经形成的有效推理给相应过程分。数学表达复核说明：本卷答案中出现的集合、区间、向量、概率、函数和几何对象都具有明确含义。集合题要写清元素，区间题要写清开闭，向量题要写清方向向量或坐标，概率题要写清分子分母对应事件，函数题要写清定义域和单调区间，几何题要写清点、线、面的位置关系。若学生只用口语化描述而没有数学表达，但含义清楚，可酌情给过程分；若描述无法唯一对应数学对象，应扣除相应表达分。结果复查说明：每道题完成后可以用题干条件进行反代检验。第17题所得边长应满足边差为一且余弦定理回代得到根号七；