2026届北京市朝阳区九年级数学中考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2026届北京市朝阳区九年级数学中考一模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：________________班级：____________姓名：____________考号：____________考试时间120分钟满分120分试卷结构选择题10题30分填空题6题18分解答题6题72分注意事项：1．本试卷用于九年级中考一模阶段复习检测，试题包括选择题、填空题和解答题三部分。2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号填写清楚；客观题按要求作答，主观题写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程。3．可使用黑色字迹签字笔作答；作图时先用铅笔，确认后再描清。结果中含根号或圆周率时，可保留准确值。4．全卷共22题，满分120分。考试结束后，将试卷和答题内容一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）1．计算的结果是（）A．-13B．-3C．3D．132．九年级一模阶段复习中，某校资料库共整理约18600道典型题。将18600用科学记数法表示为（）A．B．C．D．3．点关于轴的对称点为，则点的坐标是（）A．(-2,-3)B．(2,-3)C．(2,3)D．(-3,2)4．一个多边形的内角和为，这个多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．85．关于一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法由判别式判断6．若一次函数的图象随的增大而减小，则的取值范围是（）A．B．C．D．7．一个不透明盒子中有形状、大小完全相同的小球，其中红球2个、白球3个、蓝球1个。从盒中任意摸出1个小球，摸到的球不是白球的概率是（）A．B．C．D．8．如在中，点分别在上，，且，，则的长为（）A．5B．6C．9D．109．一组数据为7，6，8，6，9，10，6，8，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．6，7B．8，7.5C．6，7.5D．8，810．在中，是直径，点在圆上。若，则的度数为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：________________。12．计算：________________。13．若反比例函数的图象经过点，则________________。14．不等式的解集是________________。15．若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为________________。16．若抛物线与轴只有一个公共点，则________________。三、解答题（本大题共6小题，共72分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）17．（10分）计算与解方程。（1）计算：；（2）解方程：。答：18．（10分）已知一次函数的图象经过点和。（1）求这个一次函数的解析式；（2）若反比例函数的图象也经过点，求的值，并在的范围内求一次函数值大于反比例函数值时的取值范围。答：19．（12分）某校九年级在中考一模阶段复习后进行一次数学基础检测。为了解复习效果，随机抽取30名学生的成绩，整理成如下表：成绩段60～6970～7980～8990～100人数48126（1）求样本中成绩在80～89分这一组所占百分比，并求扇形统计图中该组对应的圆心角度数；（2）若全年级共有480名学生，请估计成绩不低于80分的学生人数；（3）从这30名学生中随机抽取1人，求抽到成绩不低于90分学生的概率。答：20．（12分）在中，，，点是的中点。点在上，且。过点作，交于点。（1）证明：△AEF∽△ACB；（2）求EF、AF和AD的长。答：21．（14分）如图形情境所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点。点在抛物线上，且位于第一象限。（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△PAB面积的最大值，并写出此时m的值；（3）过点作直线，交轴于点。若，求的值。答：22．（14分）某校九年级在一模后开展“数学错题展评”活动，准备利用教学楼一侧外墙围成一个矩形展板区。矩形的一边靠墙，不需要围栏，其余三边共使用40米围栏。设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边长为米，展板区面积为平方米。（1）用含x的式子表示y，并写出x的取值范围；（2）求S关于x的函数表达式，并求展板区面积的最大值；（3）若要求展板区面积不少于平方米，且均取整数米，求所有符合条件的的值。答：

参考答案与解析一、选择题答案与解析（每小题3分，共30分）1．答案：B。解析：，，所以原式等于。A、C、D均与运算结果不符。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。2．答案：B。解析：科学记数法要求写成的形式，其中。。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。3．答案：C。解析：关于轴对称时，横坐标互为相反数，纵坐标不变，所以。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。4．答案：C。解析：设边数为，多边形内角和为。由得。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。5．答案：A。解析：判别式，因此方程有两个不相等的实数根。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。6．答案：A。解析：一次函数随的增大而减小时，斜率。本题斜率为，故，即。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。7．答案：B。解析：共有个小球，不是白球的有红球和蓝球共个，所以概率为。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。8．答案：B。解析：，所以。又，故，从而，。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。9．答案：C。解析：数据6出现3次，次数最多，众数为6。将数据从小到大排列为6，6，6，7，8，8，9，10，中位数是第4个和第5个数据的平均数，即。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。10．答案：C。解析：圆周角等于它所对弧的圆心角的一半。所对的弧的圆心角为，所以。评分标准：选对得3分，未选、错选或多选不得分。二、填空题答案与解析（每小题3分，共18分）11．答案：。解析：平方差公式，所以。评分标准：填写正确得3分；结果等价且书写规范得3分。12．答案：。解析：，，所以差为。评分标准：填写正确得3分；结果等价且书写规范得3分。13．答案：-6。解析：把点代入，得，所以。评分标准：填写正确得3分；结果等价且书写规范得3分。14．答案：。解析：去括号得，移项合并得。评分标准：填写正确得3分；结果等价且书写规范得3分。15．答案：8。解析：正多边形的外角和为，每个外角为，边数为。评分标准：填写正确得3分；结果等价且书写规范得3分。16．答案：4。解析：抛物线与轴只有一个公共点，说明方程有两个相等实根。判别式，得。评分标准：填写正确得3分；结果等价且书写规范得3分。三、解答题答案详解与评分标准（共72分）17．（10分）答案详解：（1），且，所以。原式。（2）原方程中。方程两边同乘，得，解得。经检验，是原方程的解。评分标准：第（1）小题5分，其中正确化简根式1分，正确处理绝对值2分，合并得出结果2分；第（2）小题5分，其中写出定义域1分，去分母2分，求解1分，检验并写出结论1分。18．（10分）答案详解：（1）将、代入，得，。两式相减得，所以，再得。故一次函数解析式为。（2）反比例函数经过，所以，反比例函数为。在范围内，令一次函数值大于反比例函数值：。因为，两边同乘不改变不等号方向，得，即。结合，得。评分标准：第（1）小题4分，列方程组2分，求得a、b各1分；第（2）小题6分，求得k得2分，建立比较不等式2分，结合x的范围解出x>1得2分。19．（12分）答案详解：（1）80～89分这一组人数为12人，样本总人数为30人，所占百分比为。对应圆心角为。（2）成绩不低于80分的样本人数为，所占比例为。全年级480名学生中，估计成绩不低于80分的人数为人。（3）从样本中随机抽取1人，成绩不低于90分的共有6人，所以所求概率为。评分标准：第（1）小题4分，百分比2分，圆心角2分；第（2）小题4分，求样本比例2分，完成估计2分；第（3）小题4分，写出事件人数2分，得出概率2分。20．（12分）答案详解：（1）因为，所以，，又为公共角，所以。（2）由相似可得。已知，，所以相似比为。因此，。又因为且是的中点，所以，。在直角三角形中，。评分标准：第（1）小题5分，写出平行线所得对应角2分，说明公共角1分，得出相似结论2分；第（2）小题7分，写出相似比例2分，求得AF、EF各2分，利用等腰三角形性质和勾股定理求AD得1分。21．（14分）答案详解：（1）令，得，即，解得或。所以，。令，得，所以。（2）因为，点在第一象限时到轴的距离为，所以。即。当时，面积最大，最大值为。（3）直线经过、，斜率为。因为，所以直线的斜率也为。过且斜率为的直线与轴交于，其纵截距为，所以。于是。由于在第一象限且，故。由得，即，解得或。评分标准：第（1）小题4分，求A、B各1分，求C得2分；第（2）小题5分，写出面积表达式2分，配方或利用顶点求最大值2分，写出m值1分；第（3）小题5分，求出平行直线斜率1分，求D点坐标2分，建立并解方程2分。22．（14分）答案详解：（1）由于靠墙的一边不需要围栏，其余三边使用40米围栏，所以，即。要围成矩形，应有且，所以。（2）面积。配方得，因此当时，取得最大值。此时。（3）面积不少于180平方米，则。整理得，即。所以。又取整数，故。由可知对应的也均为整数且为正数，因此这些取值均符合要求。评分标准：第（1）小题4分，列出2x+y=40得2分，写出y=40-2x得1分，写出0<x<20得1分；第（2）小题5分，写出面积函数2分，配方或利用顶点求最大面积2分，写出最大值及对应尺寸1分；第（3）小题5分，建立不等式1分，解出连续取值范围2分，结合整数条件列出全部x值2分。解答题分步评分细则17题评分细则：计算题与分式方程题重在“化简依据”和“检验意识”。第（1）小题若只写出结果但没有体现根式化简和绝对值判断，可酌情扣步骤分；若把绝对值内的符号判断错误，后续合并即使形式正确也不得相应步骤分。第（2）小题必须说明分母不为0，去分母后应得到等价整式方程，最后检验所得根不使原分母为0。18题评分细则：函数题评分看三类关键点：第一，能否根据两点坐标准确列出待定系数方程；第二，能否由点在反比例函数图象上正确求出比例系数；第三，比较两个函数大小时是否注意x大于0，只有在正数范围内同乘x才不改变不等号方向。答案写成开区间形式或文字形式均可。19题评分细则：统计与概率题应体现样本、总体和随机事件之间的关系。第（1）小题百分比和圆心角应分别给出；第（2）小题应先求样本中“不低于80分”的比例，再用该比例估计全年级人数；第（3）小题只抽取1人，所有样本学生等可能被抽到，概率应写成最简分数或与其相等的小数。20题评分细则：几何题评分重点在证明链条完整。证明相似时，需要说明平行线形成的对应角相等，并写出相似三角形名称的对应顺序。求线段长时，应先写相似比，再由对应边成比例求AF和EF；求AD时应说明等腰三角形底边上的中线也是高，再使用勾股定理。若学生画图辅助但未写推理，应按文字推理完整性给分。21题评分细则：二次函数综合题应分层评分。第（1）小题求交点时要分别令y等于0和x等于0；第（2）小题面积表达式中底边AB的长度与点P到x轴的距离必须对应准确，配方得到最大值；第（3）小题要先求BC斜率，再写出平行直线在y轴上的截距，最后由CD长度建立方程。若遗漏P在第一象限导致符号判断不清，应扣除相应过程分。22题评分细则：实际应用题评分看建模、最值和约束条件。第（1）小题应由围栏总长列出2x+y=40，并结合矩形边长为正写出取值范围；第（2）小题应把面积化为关于x的二次函数，通过配方或顶点公式求最大值；第（3）小题先解面积不等式得到连续范围，再结合整数条件列举全部可行x值，不能只写一个方案。客观题与填空题阅卷标准选择题每题只有一个正确选项。若学生同时写出多个选项，即使其中含有正确选项，也不得分；若将答案写在题目旁但字迹清楚，可按正确作答处理。填空题答案若与标准答案等价，例如分数未化为最简但数值正确、根式形式等价、区间或不等式表示一致，可给满分；若出现单位、符号或范围缺失，应根据是否影响数学意义酌情扣分。含根式、分式、二次函数和几何相似的题目，应关注学生是否把关键条件使用完整。客观题解析中的理由用于帮助核对唯一答案，不作为客观题额外得分点。逐题阅卷核对要点第1题核对要点：本题考查有理数乘方与绝对值。阅卷时只核对最终选择，不要求呈现过程；解析中给出的运算顺序可用于判断选项唯一性。若学生把负数乘方看成正数，通常会落入干扰选项。第2题核对要点：本题考查科学记数法的规范形式。核对时应确认有效数1.86满足大于等于1且小于10，指数4表示小数点向左移动4位。18.6×10³虽然数值相等，但不符合规范形式。第3题核对要点：本题考查轴对称与坐标变化。关于y轴对称只改变横坐标符号，纵坐标保持不变；若把横纵坐标交换，属于对称轴理解错误。第4题核对要点：本题考查多边形内角和公式。应由(n-2)×180°=720°求出n=6，不能直接用720÷180得到4。选项设置区分“内角和公式”和“每个内角”的概念。第5题核对要点：本题考查一元二次方程根的判别式。只需判断Δ的符号，Δ大于0对应两个不相等的实数根；无需求出两个根的具体数值。第6题核对要点：本题考查一次函数的增减性。斜率m-1小于0时函数随x增大而减小，因此m<1。若只看常数项2，将无法判断函数单调性。第7题核对要点：本题考查简单随机事件概率。基本事件总数为6，不是白球的事件数为3，概率为3/6并化简为1/2。红球和蓝球虽颜色不同，但都属于“不是白球”。第8题核对要点：本题考查平行线分线段成比例与相似三角形。AD:DB=2:3应转化为AD:AB=2:5，再由相似比求DE。若直接用2:3乘以BC，比例对象不对应。第9题核对要点：本题考查众数和中位数。众数由出现次数判断，中位数须先排序并取中间两个数的平均数。原数据个数为8个，不能直接取第4个数。第10题核对要点：本题考查圆周角定理。∠ABC所对弧AC的圆心角为∠AOC，圆周角等于同弧所对圆心角的一半。直径AB用于保证图形位置，不改变本题角度计算。第11题核对要点：本题考查平方差公式。结果写成(x-3)(x+3)与标准答案等价；若写成x²-3²仍未完成因式分解，不得满分。第12题核对要点：本题考查二次根式化简与同类二次根式合并。√50化为5√2，√8化为2√2，二者相减得到3√2；若只写成√42，说明误用根式减法。第13题核对要点：本题考查反比例函数系数的意义。点在图象上等价于横纵坐标乘积为k，故k=3×(-2)=-6。注意k的符号由象限决定。第14题核对要点：本题考查一元一次不等式。去括号、移项和合并同类项后得到x≤5；移项时不需要改变不等号方向，因为没有乘除负数。第15题核对要点：本题考查正多边形外角和。任何凸多边形外角和均为360°，正多边形每个外角相等，因此边数为360÷45=8。第16题核对要点：本题考查二次函数与方程的联系。抛物线与x轴只有一个公共点，表示对应一元二次方程有两个相等实数根，即判别式等于0。第17题核对要点：本题属于基础运算与方程综合。阅卷时既看结果，也看关键步骤：根式化简、绝对值符号判断、分式方程定义域、去分母、检验五个环节均应清楚呈现。第18题核对要点：本题属于函数图象与解析式综合。待定系数法、反比例函数系数、函数值大小比较三部分相互独立给分；比较大小时对x>0的使用是关键逻辑点。第19题核对要点：本题属于统计与概率应用。百分比、圆心角、样本估计总体、古典概型概率分别考查不同能力；估计人数通常按样本比例计算，结果应为人数单位。第20题核对要点：本题属于几何相似与勾股定理综合。相似证明要写清角的对应关系；求长度时先确定相似比，再由对应边求值；求高AD时要说明中点和等腰条件带来的垂直关系。第21题核对要点：本题属于二次函数综合。求交点、求面积最大值、利用平行线构造直线方程三个步骤层层递进；m的取值范围由点P在第一象限确定，是第（3）小题符号判断的重要依据。第22题核对要点：本题属于实际问题建模。围栏长度条件给出一次关系，面积形成二次函数；最大面积由顶点确定，面积不少于180平方米则转化为二次不等式，再结合整数条件列举结果。整卷评分执行标准本卷评分遵循“结论正确、过程充分、书写规范”的原则。选择题和填空题以最终答案为主；解答题以关键步骤为主，学生的解法与参考答案不同但推理正确、计算无误、结论一致的，应按相应步骤给分。对于计算类问题，若前一步计算错误但后续方法与错误结果相匹配，可在不重复扣分的前提下给后续方法分；若错误导致题目性质改变，例如把分式方程定义域遗漏并接受增根，则应扣除检验和结论分。对于几何证明类问题，必须说明使用的定理或条件，如平行线所得对应角、等腰三角形底边中线性质、勾股定理等。只有图形标注而没有文字推理时，不能替代证明过程。对于函数综合与实际应用类问题，列式建模、函数表达式、取值范围、最值或不等式解集均是独立评分点。单位和实际意义应与题目情境一致，整数条件、正数条件等限制不得遗漏。核心知识点与阅卷边界数与式部分覆盖有理数运算、科学记数法、因式分解和二次根式化简。阅卷时应区分“结果等价”和“形式规范”：科学记数法必须符合标准形式，因式分解必须分解到不能继续在有理数范围内分解，二次根式结果应化为最简二次根式。同一题中若计算顺序正确但符号出现一次错误，应扣除相应计算分；若因概念混淆导致方法错误，如把根式差写成被开方数之差，则不能给方法分。方程与不等式部分覆盖一元二次方程判别式、一元一次不等式和分式方程。判别式题不要求求根，但必须准确判断判别式的符号及其对应结论；不等式题应保留解集方向，只有乘除负数才改变不等号方向；分式方程必须写明分母限制或在最后完成检验。若学生没有单独写定义域，但检验过程明确排除了使分母为零的数，可给检验分；若完全没有检验，应扣除相应步骤分。函数部分覆盖一次函数、反比例函数和二次函数。一次函数的增减性由斜率决定，反比例函数的系数由点的横纵坐标乘积确定，二次函数的最值可通过配方或顶点公式获得。综合题中，坐标、函数表达式、图象位置和自变量范围相互关联，不能只给出计算结果而缺少依据。对于第21题，点P位于第一象限这一条件决定0<m<3，是面积为正和CD长度表达式去绝对值的重要依据。图形与几何部分覆盖轴对称、三角形相似、圆周角定理、等腰三角形性质和勾股定理。证明题评分重视对应关系，三角形相似的书写顺序应与角和边的对应一致，线段比的使用应与相似比匹配。圆的角度题要判断圆周角所对的弧，不能把圆心角直接作为圆周角。几何计算题允许学生采用不同辅助线或不同证明路径，只要逻辑完整并能推出相同结论，均可按步骤给分。统计与概率部分覆盖数据整理、样本估计总体和简单概率。百分比、圆心角和估计人数分别对应比例的不同表达方式，不能混用单位。概率题中应明确基本事件等可能，本题从30名样本学生中随机抽取1人，成绩段人数就是有利事件数。若学生将“成绩不低于90分”误读为“成绩高于90分”，则事件范围发生变化，不得给结论分。实际应用与建模部分覆盖由文字条件抽象数量关系、建立函数模型、求最值和处理整数限制。第22题中“靠墙一边不需要围栏”是建立2x+y=40的关键，若列成2x+2y=40，则模型错误。面积函数形成开口向下的二次函数，最大值由顶点给出；面积不少于180平方米转化为二次不等式后，还要结合x、y均为正整数的实际要求，列出所有方案而不是只写最优方案。整卷书写应保持步骤清楚、符号准确、单位完整。解答题中，文字说明、演算步骤和结论应形成闭环：先说明依据，再列式运算，最后回答题目所问。若学生结果正确但没有体现关键推理，不能获得完整过程分；若过程正确但最后单位或答语缺失，可根据是否影响题意扣除少量结论分。分层能力考查与扣分边界基础层面重点考查学生对概念、公式和运算规则的掌握程度。第1题、第2题、第11题、第12题等题目虽然计算量不大，但容易暴露符号、指数、根式和因式分解的基础问题。评分时应把“会套公式”和“会规范表达”同时纳入核对范围：例如科学记数法中的有效数范围、平方差公式中的两个因式、最简二次根式中的被开方数处理，均属于基础规范。理解层面重点考查学生能否把文字条件转化为数学关系。第6题需要把“随x增大而减小”转化为斜率小于0，第10题需要把圆周角和圆心角联系起来，第18题需要把“图象经过点”转化为坐标满足解析式。若学生能够写出正确关系式，即使后续计算出现轻微错误，也应保留相应理解分；若关系式本身错误，则后续结果通常不能获得主要分。运用层面重点考查在熟悉情境中选择合适方法。第19题要求从统计表中提取信息并完成百分比、圆心角、总体估计和概率计算；第20题要求由平行线想到相似，再由等腰三角形想到高和勾股定理。评分时应关注方法选择是否与条件相匹配，不能只看最后数值。对于多步骤题，前后步骤之间的逻辑衔接是给分的重要依据。综合层面重点考查多知识点之间的联结。第21题把抛物线交点、三角形面积、平行直线和方程求解放在同一题中；第22题把一次关系、二次函数最值和整数限制放在实际问题中。综合题评分要分段核对，每一问相对独立，前一问的结论可作为后一问依据。若学生前一问坐标写错但后一问方法正确，可根据实际影响保留部分方法分。表达层面重点考查数学语言是否清楚。证明题应写清“因为”“所以”的推理链；计算题应写清变形过程；应用题应在最后回答实际问题所问的量。阅卷时，只有结果没有步骤的解答题不能给满过程分；步骤混乱但关键式子清楚、结论正确的，可依据评分标准分点给分。严谨层面重点考查限制条件和检验意识。分式方程要排除分母为0，二次函数实际问题要写出自变量范围，概率问题要确认等可能，几何题要确认对应关系，整数方案题要验证所有列出的值均满足原条件。限制条件遗漏往往会导致答案范围扩大或出现不合题意的值，应按对结果的影响扣分。规范层面重点考查书写与结果形式。分数可保留精确形式，根式应化到最简，角度要带度数意义，面积和长度要区分单位，坐标要写成有序数对。若学生使用小数近似，应保证与精确结果等价并未改变题目要求；若题目允许保留准确值，则不强制化为小数。整卷难度结构体现中考一模的阶段检测功能：客观题覆盖基础面，填空题检查关键结论，解答题考查过程表达和综合运用。评分标准的执行应保持统一，同类错误在同一题内不重复扣分，不同题目独立评分，确保分数能够反映学生在一模复习阶段的真实掌握情况。阅卷操作细化标准客观题核分时，先核对题号与答案位置是否对应，再核对选项是否唯一。若学生在试卷上圈画多个选项，但答题位置只写一个清楚答案，以答题位置为准；若答题位置无法辨认，则不得分。填空题核分时，应把数值、符号、范围和表达形式作为整体判断。答案为不等式或区间时，端点能否取到必须准确；答案为代数式时，等价变形可以给分，但改变定义域或运算意义的形式不得给分。解答题核分时，先找出每问的关键得分点，再按步骤对应给分。若学生把多个步骤合并书写，只要关键等式、推理依据和结论完整，可以按合并步骤给分；若只写结果，应按题目评分标准保留结论分但扣除过程分。计算错误的处理应遵循“前错后随”的原则。前一处数值错误不重复扣分，但后续方法必须与该错误结果形成合理推导；若后续又出现新的概念性错误，则应继续扣除相应分值。几何题中，图形标注可以帮助理解，但不能替代文字证明。学生若用全等、相似、面积法或坐标法等不同方法完成证明或计算，只要条件使用完整、推理闭合、结论正确，均可按照相同得分点折算给分。函数题中，坐标代入、解析式求解、图象性质和取值范围应逐项核对。涉及最值时，配方、顶点公式或图象对称轴均可作为有效方法；涉及交点时，应写明令哪个变量为0。统计题中，样本容量、各组人数、百分比和概率之间必须对应。估计总体人数时，若结果不是整数，应结合题意处理；本题计算结果为整数，需写出人数单位。实际应用题中，最后答案要回到实际情境。只给出代数解集而没有筛选整数条件，不能获得完整分；列出整数结果后，应检查对应边长为正且面积要求满足。常见错因辨析数与式常见错误包括负数