线性代数综合练习题

线性代数综合练习题

时间：120分钟

一、选择题（每小题3分，共15分）：

1.设A是三阶矩阵，将A的第一列与第二列交换得B,再把B的第二

列加到第三列得C,则满足AQ二C的可逆矩阵Q为（)o

-010--010-

(A)100；(B)101*

101—001—

-01O--01\~

(C)100；(D)100O

011001

2.设A.B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有（）0

（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关；

（B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关；

（C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关；

（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关。

3.下列向量集按Rn的加法和数乘构成R上一个线性空间的是（）。

（A）Rn中，坐标满足xl+x2+…+xn=0的所有向量；

（B）Rn中，坐标是整数的所有向量；

（C）Rn中，坐标满足xl+x2+…+xn=l的所有向量;

（D）Rn中，坐标满足xl=l,x2,…，xn可取任意实数的所有向量。

4.设人=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-l有一个特征值等

于（）。

4311

（A）-；（B）-；（C）-；（D）-o

3424

5.任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它（）。

（A）合同；（B）相似；（C）等价；（D）以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.设矩阵A二,矩阵B满足:ABA*=2BA*+E,其中A*为A的伴随矩阵,E是三阶

单位矩阵，则|B|二o

2.已知线性方程组无解，则二o

3.若A二为正交矩阵，则二，二。

4.设A为n阶矩阵，且|A|W0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。若A

有特征值入，则（A*）2+E必有特征值。

5.若二次型f=2xl2+x22+x32+2xlx2+tx2x3是正定的，则t的取值范围是

三、（15分）

设有齐次线性方程组：

试问取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。

四、（10分）

设R3的两组基为：

和,向量“二（2,3,3）T

（1）求基基，幺到基7，%,小的过渡矩阵；

（2）求Q关于这两组基的坐标。

五、（15分）

设三阶实对称矩阵A的特征值为人1=-2,入2二1（2重），aI=（1,1,1）T

是属于入1=-2的特征向量。试求：

（1）属于入2=1（2重）的特征向量；

（2）A的伴随矩阵A*。

六、（10分）

设二次型/=X：+X；+k+勿^%+2%%3+2/不

通过正交变换化为:，求、。

七、（10分）

已知A,B为n阶可逆方阵.且满足2A-1B=B-4E,其中E是n阶单位矩阵，试证:

A-2E可逆。并求出（A-2E）-1=？

八、（10分）

设为阶矩阵，且，其中是中元素的代数余子式（=1,2,…,n）。试证：的伴随矩阵*

的特征值是（）和1,并说明各个特征值的重数。

线性代数综合练习参考答案

一、选择题：

1.(D)；2(A)；3.(A)；4.(B)；5.0；

二、填空题：

1.；2.-1；3.(,；4.；5.-

三、解:A=

(1)当=0时,r(A)=l<4,故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为:

xl+x2+x3+x4=0由此得一基础解系为：

,故全部解为：

(其中为任意常数)……。分)

(2)当#0时,

・・・A*的特征值为：|A|・（-），|A|・1（2重）

又・・・|A|二-2

・・・A*的特征值为：1,-2（2重）

（10分）

A*(a1,a2,a3)=(a1,a2,a3)

A*=1,a2,a3)(a1,a2,a3)-1

1-1-11001-1-1

1I00-20110

10100-2101

11

-1-110033

2

1100-20

333

10100-222

333

2211-333

1

1-20-12-13-33

33

0-2-11233-3

-111

-11（15分）

11-1

六、解:f的正交变换前后的矩阵分别为:

1a1’000、

4=1b和3=010

b11°。2)

于是,A.B相似，从而有相同的特征多项式即：|入E-A|=|入E-B|..........（5分）

也即：X3-3X2+(2-a2-b2)入+(a-b)2=入3・3入2+2人,比较上式

等号两边的人各基次项系数有：

。=0

•（10分）

〃=()

七、证明：・・・2A-1B=B-4E

左乘A得：2B=AB-4A（5分）

即：AB-2B-4A=0

・・・(A-2E)(B-4E)=8E

故A-2E可逆，

且(A-2E)-l=i(B-4E)....................................................(10分)

8

八、证明：:7(A)=n-l

Ar(A*)=1...............................................................................(2分)

又・・•齐次线性方程组(OE-A*)X=()的基础解系含有n-1个线性无关的解向

量，

・・・0是A*的特征值，其重数不小于n-l................................................(5分)

另外，tr(A*)=Al1