2024-2025学年北京三里屯一中高二(下)期中数学试卷含答案

2024-2025学年北京市朝阳区三里屯一中高二（下）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（）A．10 B．15 C．20 D．252．（5分）(xA．30 B．20 C．15 D．103．（5分）已知函数f（x）＝ln（3x），则f'（3）＝（）A．3 B．1 C．13 D．4．（5分）若函数f（x）＝log2（x+a）的图象过点（﹣2，0），则a＝（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣35．（5分）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，则P（1＜X＜5）＝（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.36．（5分）如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为（）A．r3＜r2＜r1 B．r2＜r3＜r1 C．r3＜r1＜r2 D．r1＜r3＜r27．（5分）某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为X门，则下列概率中等于C6A．P（X≤3） B．P（X＝3） C．P（X≤5） D．P（X＝5）8．（5分）已知函数f（x）＝x2•sinx，则f′(πA．0 B．π C．π24 9．（5分）随机变量X的分布列是．若E（X）＝1，则D（X）＝（）X﹣212Pab12A．0 B．2 C．3 D．410．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x2+bx+c．若函数g（x）＝e﹣xf（x）有三个极值点m，1，n，且m＜1＜n，则mn的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，14） C．（﹣∞，﹣1） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．（5分）函数y=x−1x的定义域为12．（5分）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.7，P（B）＝0.4，则P（B|A）＝．13．（5分）设函数f（x）＝x，g(x)=x，h（x）＝x3，当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则m1，m2，m3之间的大小关系为（用“＞”“＜”“＝”连接）；三个函数中在x＝1处的瞬时变化率最大的是14．（5分）“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：则第8行的第7个数是．15．（5分）将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同．已知袋子中红球与黄球个数之比为6：4，其中13的红球印有商标，34的黄球印有商标．现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为16．（5分）合理使用密码是提升网络空间安全的重要手段．密码安全性强弱与其长度、使用字符种类数及排列规律等相关，其中字符可以是数字、字母及一些特殊符号等．某密码的安全性评分主要分为以下四个方面：长度小于等于4个字符5至7个字符大于等于8个字符得5分得10分得30分字母不含字母含字母，全用小写或全用大写含字母，既含小写又含大写得0分得10分得25分特殊符号不含符号含1个符号含大于1个符号得0分得10分得25分数字不含数字含1至2个数字含大于等于3个数字得0分得10分得20分设密码安全性评分为x，若x≥80为安全性较强；60≤x＜80为安全性中等；x＜60为安全性较弱．现有一个长度大于8个字符的密码，其安全性评分为85分，给出如下判断：①该密码既含有小写字母又含有大写字母；②该密码至少含有3个数字；③该密码含多于1个特殊符号；④该密码一定同时含有字母，特殊符号和数字．其中所有正确判断的序号是．三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．（14分）已知函数f（x）＝ex﹣3x+1．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）的最小值．18．（14分）毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为34，45，（1）求小萌同学制作一件作品成功的概率；（2）若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为X．求X的分布列及期望．19．（15分）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：百辆）：在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q．（Ⅰ）从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过50%的概率；（Ⅱ）现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值超过50%，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过50%的年份．记抽取的次数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）记2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为s12，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为s22，写出20．（15分）设函数f（x）=ln(x+1)（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值点个数；（Ⅲ）若x＞0时，f(x)x＞k，求21．（12分）设A是非空实数集，且0∉A．若对于任意的x，y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P1；若对于任意的x，y∈A，都有xy∈A，则称集合A具有性质P（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质P1的集合A；（2）若非空实数集A具有性质P2，求证：集合A具有性质P1．

2024-2025学年北京市朝阳区三里屯一中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCCAABDBBD一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为（）A．10 B．15 C．20 D．25【分析】利用分步计数原理进行计算即可．【解答】解：平面坐标系中坐标的横坐标和纵坐标位置不同，横坐标有5种，纵坐标有4种，则共有5×4＝20种不同的点．故选：C．【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．2．（5分）(xA．30 B．20 C．15 D．10【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为0，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项公式为Tr+1=C令12﹣3r＝0，解得r＝4，所以(x2+故选：C．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．3．（5分）已知函数f（x）＝ln（3x），则f'（3）＝（）A．3 B．1 C．13 D．【分析】利用对数函数的求导公式和复合函数的求导法则求得导函数，再代入x的值求导数值，即可得答案．【解答】解：由题意，f（x）＝ln（3x），则f′（x）＝3×1故f′(3)=故选：C．【点评】本题考查复合函数的导数计算，注意导数的计算公式，属于基础题．4．（5分）若函数f（x）＝log2（x+a）的图象过点（﹣2，0），则a＝（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【分析】因为函数图象过一点，代入该点的坐标解方程即得解．【解答】解：由已知得f（﹣2）＝log2（﹣2+a）＝0，所以﹣2+a＝1，解得a＝3，故选：A．【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，属于基础题．5．（5分）若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，则P（1＜X＜5）＝（）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解．【解答】解：∵随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，∴P（1＜X＜5）＝1﹣2P（X≥5）＝1﹣2×0.2＝0.6．故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．6．（5分）如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是r1，r2，r3，那么r1，r2，r3之间的关系为（）A．r3＜r2＜r1 B．r2＜r3＜r1 C．r3＜r1＜r2 D．r1＜r3＜r2【分析】由题意，根据所给散点图，先判断是正相关还是负相关，再根据点的集中程度分析相关系数的大小．【解答】解：由散点图可知，图（1）和图（3）是正相关，相关系数大于0图（2）是负相关，相关系数小于0又图（1）和图（2）的点相对集中，所以相关性更强，此时r1接近于1，r2接近于﹣1，所以r1＞r3＞r2．故选：B．【点评】本题考查了相关系数，考查了逻辑推理和数据分析．7．（5分）某校为全体高中学生开设了15门校本课程，其中人文社科类6门，科学技术类6门，体育美育类3门．学校要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程．从全校高中学生中随机抽取一名学生，设该学生选择的人文社科类的校本课程为X门，则下列概率中等于C6A．P（X≤3） B．P（X＝3） C．P（X≤5） D．P（X＝5）【分析】利用超几何分布的概率公式求解．【解答】解：某校开设了15门校本课程，要求每位高中学生需在高中三年内选学其中的8门课程，则有C15因为人文社科类6门，该学生选择的人文社科类的校本课程为5门，则有C6然后从其他9门课程中选3门有C9所以该学生选择的人文社科类的校本课程为5门的概率为C6故选：D．【点评】本题考查超几何分布的概率公式，属于基础题．8．（5分）已知函数f（x）＝x2•sinx，则f′(πA．0 B．π C．π24 【分析】根据题意，先求出f′（x），将x=π【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2•sinx，则f′（x）＝2xsinx+x2cosx，则f′(π2)=πsinπ2+（π2故选：B．【点评】本题考查导数的计算，注意函数导数的计算公式，属于基础题．9．（5分）随机变量X的分布列是．若E（X）＝1，则D（X）＝（）X﹣212Pab12A．0 B．2 C．3 D．4【分析】由于分布列的概率之和为1，以及E（X）＝1，列出关于a，b的方程，再根据方差公式即可求出D（X）．【解答】解：由题意可知，a+b+1所以D(X)=(−2−1)故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）＝x3+3x2+bx+c．若函数g（x）＝e﹣xf（x）有三个极值点m，1，n，且m＜1＜n，则mn的取值范围是（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，14） C．（﹣∞，﹣1） 【分析】由题意，得到函数g（x）的解析式，对函数g（x）进行求导，根据g′（1）＝0对式子进行整理，根据m，n是函数g（x）的极值点，得到x＝m，x＝n是g′（x）＝0的两个根，又e﹣m，e﹣n，m﹣1，n﹣1均不为零且m＜1＜n，此时m，n为方程x2+x+b﹣5＝0的两个根，易得mn＝b﹣5，构造函数h（x）＝x2+x+b﹣5，利用二次函数的性质列出等式求解即可．【解答】解：已知函数f（x）＝x3+3x2+bx+c，函数定义域为R，可得f′（x）＝3x2+6x+b，此时g（x）＝e﹣xf（x），函数定义域为R，可得g′（x）＝﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）＝﹣e﹣x[x3﹣（6﹣b）x﹣b+c]，因为函数g（x）有三个极值点m，1，n，所以g′（1）＝0，解得c＝5，此时g′（x）＝﹣e﹣x[x3﹣（6﹣b）x﹣b+5]＝﹣e﹣x（x﹣1）（x2+x+b﹣5），因为m，n是函数g（x）的极值点，所以x＝m，x＝n是g′（x）＝0的两个根，因为e﹣m，e﹣n，m﹣1，n﹣1均不为零且m＜1＜n，所以m，n为方程x2+x+b﹣5＝0的两个根，可得mn＝b﹣5，不妨设h（x）＝x2+x+b﹣5，函数定义域为R，满足h（m）＝h（n）＝0，m＜1＜n，又函数h（x）是开口向上的二次函数，此时Δ＝21﹣4b＞0，又h（1）＜0，解得b＜3，则mn＝b﹣5＜﹣2．故选：D．【点评】本题考查录用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。11．（5分）函数y=x−1x的定义域为【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则x−1≥0x≠0，解得x∴函数y=x−1故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．12．（5分）已知事件A，B相互独立，P（A）＝0.7，P（B）＝0.4，则P（B|A）＝0.4．【分析】求出A，B同时发生的概率，再根据条件概率的计算公式进行计算即可．【解答】解：由题意可得，事件A，B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.7×0.4＝0.28，故P(B|A)=P(AB)故答案为：0.4．【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．13．（5分）设函数f（x）＝x，g(x)=x，h（x）＝x3，当自变量x从0变到1时，它们的平均变化率分别记为m1，m2，m3，则m1，m2，m3之间的大小关系为m1＝m2＝m3（用“＞”“＜”“＝”连接）；三个函数中在x＝1处的瞬时变化率最大的是h（x）【分析】（1）根据平均变化率的定义求解即可．（2）求导判断在x＝1处的导函数的值的大小即可．【解答】解：∵m1=f(1)−f(0)1−0=1，m2=g(1)−g(0)1−0=1，m∵f'（x）＝1，g′(x)=12x，h'（x）＝3故f'（1）＝1，g′(1)=12，h'（故三个函数中在x＝1处的瞬时变化率最大的是h（x），故答案为：m1＝m2＝m3；h（x）．【点评】本题主要考查了平均变化率的计算，导数的计算公式，属于基础题．14．（5分）“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：则第8行的第7个数是28．【分析】根据“杨辉三角”的特征，直接求出结果．【解答】解：根据杨辉三角的规律可知，第8行的第7个数是C8故答案为：28．【点评】本题主要考查了杨辉三角的应用，属于基础题．15．（5分）将若干红球与黄球放进一个不透明的袋子中，这些球的大小与重量完全相同．已知袋子中红球与黄球个数之比为6：4，其中13的红球印有商标，34的黄球印有商标．现从袋子中随机抽取一个小球，则小球印有商标的概率为1【分析】小球印有商标有两个来源，其一是红球印有商标，其二是黄球印有商标，分别计算其概率，再根据全概率公式计算印有商标的概率．【解答】解：设抽取一个小球为红球为事件A1，红球印有商标为事件B1，抽取一个小球为黄球为事件A2，黄球印有商标为事件B2，小球印有商标为事件A，则P(A1)=35，P(则P(A)=P(A故答案为：12【点评】本题考查全概率公式理解与应用，属于中档题．16．（5分）合理使用密码是提升网络空间安全的重要手段．密码安全性强弱与其长度、使用字符种类数及排列规律等相关，其中字符可以是数字、字母及一些特殊符号等．某密码的安全性评分主要分为以下四个方面：长度小于等于4个字符5至7个字符大于等于8个字符得5分得10分得30分字母不含字母含字母，全用小写或全用大写含字母，既含小写又含大写得0分得10分得25分特殊符号不含符号含1个符号含大于1个符号得0分得10分得25分数字不含数字含1至2个数字含大于等于3个数字得0分得10分得20分设密码安全性评分为x，若x≥80为安全性较强；60≤x＜80为安全性中等；x＜60为安全性较弱．现有一个长度大于8个字符的密码，其安全性评分为85分，给出如下判断：①该密码既含有小写字母又含有大写字母；②该密码至少含有3个数字；③该密码含多于1个特殊符号；④该密码一定同时含有字母，特殊符号和数字．其中所有正确判断的序号是②④．【分析】根据密码的评分为85分写出密码的可能组成方式，逐项判断可得结果．【解答】解：根据题意，因为该密码为一个长度大于8个字符，且该密码的得分为85分，有2种情况：（1）该密码含字母，全用小写或全用大写，且含大于1个符号，含大于等于3个数字，（2）该密码含字母，既含小写又含大写，且含1个符号，含大于等于3个数字，则①错，②对，③错，④对．故答案为：②④．【点评】本题考查合情推理的应用，注意密码密码安全性评分的规则，属于基础题．三、解答题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．（14分）已知函数f（x）＝ex﹣3x+1．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求f（x）的最小值．【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）对函数求导后，令f'（x）＝0，求出函数的极值点，再求出函数的单调区间，从而可求出函数的最小值．【解答】解：（1）由f（x）＝ex﹣3x+1，得f′（x）＝ex﹣3，∴f′（0）＝e0﹣3＝﹣2，又f（0）＝e0+1＝2，∴切线方程为y﹣2＝﹣2x，即2x+y﹣2＝0；（2）函数的定义域为R，由（1）可知f′（x）＝ex﹣3，令f'（x）＝0，得ex﹣3＝0，∴x＝ln3，当x＜ln3时，f′（x）＜0，当x＞ln3时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，ln3）上单调递减，在（ln3，+∞）上单调递增，∴当x＝ln3时，f（x）取得最小值，为f（ln3）＝eln3﹣3ln3+1＝3﹣3ln3+1＝4﹣3ln3．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求极值，考查运算求解能力，是中档题．18．（14分）毛猴是老北京的传统手工艺品，制作材料都取自中药材，工序大致分为三步，第一步用蝉蜕做头和四肢；第二步用辛夷做身子：第三步用木通做道具．已知小萌同学在每个环节制作合格的概率分别为34，45，（1）求小萌同学制作一件作品成功的概率；（2）若小萌同学制作了3件作品，假设每次制作成功与否相互独立．设其中成功的作品数为X．求X的分布列及期望．【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算即可得出；（2）先确定X～B(3，25)【解答】解：（1）根据题意知，由相互独立事件的概率乘法公式得小萌同学制作一作品成功的概率为：P=3（2）根据题意知，X的可能值为：0，1，2，3，显然X～B(3，2则P(X=0)=C30(25)所以X的分布列为：X0123P2712554125361258125所以X的数学期望：E(X)=3×2【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．19．（15分）发展纯电动、插电式混合动力等新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路．为调查研究，某地统计了辖区内从2017年至2024年这8年的新能源汽车和纯电动汽车的销量，得到如下折线图（单位：百辆）：在每一年中，记该年纯电动汽车销量占该年新能源汽车销量的比重为Q．（Ⅰ）从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，求该年Q值超过50%的概率；（Ⅱ）现从2019年至2024年这6年中依次随机抽取，每次抽取1个年份，若该年的Q值超过50%，则停止抽取，否则继续从剩余的年份中抽取，直至抽到Q值超过50%的年份．记抽取的次数为X，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）记2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的方差为s12，且这5年纯电动汽车销量数据的方差为s22，写出【分析】（Ⅰ）求出各年的Q值，利用古典概型概率公式求结论；（Ⅱ）确定随机变量X的可能取值，再求X取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；（Ⅲ）先求新能源汽车销量数据的平均数，纯电动汽车销量数据的平均数，再求两组数据的方差，比较大小即可．【解答】解：（Ⅰ）设从2017年至2024年这8年中随机抽取1年，且该年的Q值超过50%为事件A，由图表知，2017年的Q值为3580×100%＜50%，2018年的Q值为55121×100%＜50%，2019年的Q值为621632021年的Q值为121221×100%＞50%，2022年的Q值为298398×100%＞50%，2023年的Q值为312412所以在2017年至2024年这8年中，有且仅有2021年至2024年这4年的Q值超过50%，所以P(A)=4（Ⅱ）由图表知，在2019年至2024年这6年中，Q值超过50%的有4年，所以随机变量X的所有可能取值为1，2，3，则P(X=1)=46=23，P（X所以X的分布列为：X123P24115所以E(X)=1×2（Ⅲ）s1从2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的平均数为15所以从2020年至2024年这5年新能源汽车销量数据的方差s1从2020年至2024年这5年纯电动汽车销量数据的平均数为15从2020年至2024年这5年纯电动汽车销量数据的方差s2所以s1【点评】本题主要考查了统计图的应用，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．20．（15分）设函数f（x）=ln(x+1)（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的极值点个数；（Ⅲ）若x＞0时，f(x)x＞k，求【分析】（Ⅰ）由题意，对函数f（x）进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；（Ⅱ）对函数f（x）进行二次求导，结合零点存在性定理再进行求解即可；（Ⅲ）结合（Ⅱ）中信息得到f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，对k≤0和k＞0这两种情况进行讨论，进而可解．【解答】解：（Ⅰ）易知f