甘肃省兰州市2026届高三数学下学期第一次模拟考试含解析

甘肃兰州市2026届高三数学第一次模拟试卷

一、单选题

1．集合Ax∣2x5,xZ,B1,2,3,6，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A．2,3B．4,5C．1,2,3,6D．2,3,4,5

2x,x0

2．已知函数fxx（i是虚数单位），则ff1（）

,x0

1i

1111

A．iB．iC．1iD．1i

4444

3．下列函数中，既是奇函数又在区间0,1上单调递增的是（）

1

A．yexB．yx

x

1

C．ylogxD．yx

2x

4．Sn为等差数列an的前n项和.若S9182S6S3，则公差d（）

A．0B．1C．2D．3

5．在ABC中，AB2,BC23,ABC90,E为AC边上靠近点A的三分点，F为AC的中点，则

BEBF（）

1614108

A．B．C．D．

3333

6．已知直线l,m,n，平面,，则下列说法正确的是（）

A．若∥,m∥，则m∥

B．若l∥,m∥,l,m，则∥

C．若m,mn，则n∥

D．若m,n∥，则mn

7．为全面提升学生的核心素养与综合实践能力，某校举办“模拟联合国大会”活动，设置了A，B，C，D

共4个不同的国家立场，由4名同学通过随机抽签确定每人代表一个国家立场参与活动.已知这4名同学每

人都有且仅有一个心仪的国家立场，且4人心仪的国家立场互不相同，则仅有1名同学抽到自己心仪国家

立场的抽取方法数是（）

A．4B．8C．12D．24

8．已知曲线C:x33y2，则曲线上的点到直线l:xy40的距离的取值范围是（）

3252

A．,B．2,32

22

3264232

C．,D．,32

222

二、多选题

9．某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对

参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了

解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查.

根据以上信息，下列说法正确的是（）

A．艺术社的学生人数有120人

B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人

7

C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为

20

D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率

为0.81

9

10．在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足2bcosC2a3c，且BABC，设ABC外

2

接圆半径为R，则下列结论正确的是（）

33

A．ABC的面积为

2

B．当b3时，R3

π

C．当a3时，C

6

D．b的取值可能是2

11．已知函数fx是定义在R上的偶函数且在区间0,3上单调，函数gxx3fx的图象关于点

3,0中心对称，则以下说法正确的是（）

A．fx3fx

1

B．若g11，则f5

2

C．若gx在区间0,2上是增函数，则gx在区间4,6上是增函数

3

D．若f0，则gx在区间5,6上的零点之和为0

2

三、填空题

x2y2

12．双曲线C:1a0的右焦点为22,0，则双曲线的渐近线方程为__________.

a24

13．正四面体ABCD的棱长为6，过棱AB作平面与棱CD平行，则平面截该正四面体的外接球所得

截面的面积为__________.

1

1,x,

2

14．已知函数fx，向量e,e,e是平面内三个不同的单位向量，其中向量e,e相互垂直，且

112312

1,x

2

满足，则的取值范围是__________.

fe1e2fe2e3fe3e11(e13e2)e3

四、解答题

n*

15．已知数列an中，a11，当n2时，an为(1x)nN的展开式第3项的二项式系数.

(1)求数列an的通项公式；

1

(2)设数列bn满足bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：1Tn3.

an

16．已知三棱锥PABC中，PBPCBC2,PAAC5，平面PAB平面ABC，PMAB,M为

垂足.

(1)求BM的长；

(2)求平面PAC与平面PBC所成的锐角的余弦值.

1

17．已知fxx3ax2sinx.

3

π

(1)若曲线yfx在x处的切线的一个方向向量为4,π2，求实数a的值；

2

π

(2)若fxx对任意x0,恒成立，求实数a的取值范围.

2

22

xy22

18．已知椭圆E:1ab0的左､右焦点分别为F1,F2，且F1,F2在椭圆E1:x3y4上，椭圆E

a2b2

与椭圆E1离心率相同.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)P是椭圆E1上异于F1,F2的一点，过点P作直线PF1交椭圆E于点A,C，作直线PF2交椭圆E于点B,D.

（i）证明：ACBD为定值；

S

（ii）若FPF，四边形ABCD的面积为S，求的最大值.

12sin

19．一项物理实验是向区域中发射某种粒子，该粒子随机落于中的任何位置，且任意两个粒子落于何

处互不影响.当某个粒子落于中特定区域A内时，则需对其进行检测，已知每个粒子落于A内的概率均为

1

1（e是自然对数的底）.

e

(1)若一次向中发射3个粒子，求恰有2个粒子需要检测的概率；

(2)若向中发射该粒子，每次一个，只要有粒子落于A内，就停止发射.X表示粒子首次落于A内的发射

m999

次数，PXi表示第i次发射时粒子首次落于A内的概率，若P(Xk)，求m的最小值；（参考

k11000

数据：ln102.303）

(3)若一次向中发射nnN*个粒子，X表示落于A内的粒子个数，PXi表示有i个粒子落于A内的

nn1

概率，求证：.

P(Xk)n1

k1ee

参考答案

1．B

ð

【详解】设全集为U，由图可知阴影部分可表示为AUBxxA,xB，

ð

可知A2,3,4,5，则AUB4,5

2．A

1

【详解】由题知，f121，

2

111

1i1i

所以122211.

ff1fi

21i1i1i244

3．D

1

【详解】对A，设fxex，其定义域为R，因为f1e1，f1e，

e

所以f1f1，则不是奇函数，故A错误；

111

对B，设m(x)x的定义域为,00,，关于原点对称，mxxxmx，

xxx

满足奇函数的定义，

1

所以m(x)x是奇函数，任取x，x2(0,1)，且xx，

x112

1111

则m(x1)m(x2)(x1)(x2)(x1x2)()

x1x2x1x2

x2x11

(x1x2)(x1x2)(1)，

x1x2x1x2

1

<<<1

由于0x1x21，有x1x20，且0x1x21，所以1，即10.

x1x2x1x2

所以m(x1)m(x2)0，所以m(x1)m(x2)，

1

所以m(x)x在区间0,1上单调递减，故B错误；

x

对C，设hxlog2x，其定义域为,00,，关于原点对称，

因为hxlog2xlog2xhx，所以hxlog2x是偶函数，故C错误；

1

对D，设gxx，其定义域为,00,，关于原点对称，

x

11

且gxxxgx，则其为奇函数，

xx

11

又因为yx,y均在0,1上单调递增，则函数gxx在0,1上单调递增，故D正确.

xx

4．C

【详解】设等差数列an的首项为a1，由S9182S6S3，

则9a136d1826a115d3a13d，解得：d2.

5．C

【详解】以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.

因为AB2，BC23，所以B0,0，A0,2，C23,0，

，1232234

因为F为AC中点，所以F3,1AC23,2，AEAC,，则E,.

33333

234

所以BE,，BF3,1.

33

2346410

所以BEBF31.

33333

6．D

【详解】选项A：若//，m//，则m或m//，故A错误；

选项B：面面平行的判定定理：内两条相交直线l,m，l∥,m∥，则//，

由于直线l,m不一定相交，故命题不一定成立，故B错误；

选项C：若m，mn，则n，或n//，故C错误；

选项D：若m，则m垂直于平面内所有直线；

又n//，由线面平行性质定理可知：存在直线m，使得m//n，

又mm，所以mn，D正确.

7．B

1

【详解】从4名同学中选1名抽到自己心仪国家立场，则有C44种，

设剩下3名同学分别为甲，乙，丙，他们心仪国家分别为A,B,C，

当甲抽到B时，乙只能抽到C，丙只能抽到A；

当甲抽到C时，乙只能抽到A，丙只能抽到B，共2种情况，

仅有1名同学抽到自己心仪国家立场的抽取方法数有428种.

8．D

x2

【详解】曲线C:x33y2变形得C:y21x0，表示y轴右侧的部分椭圆，

3

所以x0,3，y1,1，

2ππ

设点P3cos,sin为曲线C:x33y的任意一点，且,，

22

π

2sin4

点P3cos,sin到直线l:xy40的距离为：3cossin43

d

22

ππππ5π

因为,，,，

22366

ππ

所以2sin1,2，2sin43,6

33

π

2sin4

所以332，

d,32

22

32

所以曲线C上的点到直线l的距离的取值范围是,32.

2

9．ABD

60

【详解】对于A，因为文学社有60人占比为10%，所以五类社团总人数为600人，

10%

90

辩论社有90人，占比应为15%，所以体育社和艺术社共占比为110%35%15%40%，

600

又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为20%，

可知艺术社的学生人数有60020%120人，即A正确；

201

对于B，文学社和辩论社共150人，分层抽样比为，

60030

1

因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有1505人，即B正确；

30

对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为110%90%，又因为是科创社成员的概率为

35%，

35%7

因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误；

90%18

对于D，依题意可知社团活动总体满意率为10%35%0.755%0.90.81，即D正确.

10．BCD

【详解】由题意可得2sinBcosC2sinA3sinC，又ABCπ，

所以sinAsinBCsinBcosCcosBsinC，

代入前式可得2sinBcosC2sinBcosCcosBsinC3sinC，

π

展开化简得2cosBsinC3sinC，在ABC中，sinC0，且B0,π，解得B，

6

99

又BABC，所以accosB，解得ac33，

22

11133

对于A，ABC的面积为SacsinB33，故A错误；

ABC2224

对于B，当b3时，由余弦定理可得b2a2c22accosB，

22

化简可得a2c212，所以aca2c22ac126333，

a3a3

即ac33，同理可得ac33，所以或，

c3c3

3

2R23

易知可构成三角形，又由正弦定理可知π，解得R3，故B正确；

sin

6

对于C，当a3时，进一步可得c3，

由余弦定理可知b2a2c22accosB3，则b3，此时bc3，

π

由等边对等角可知BC，故C正确；

6

27

对于D，由余弦定理b2a2c22accosB，则可得b2a29，

a2

2727227

所以b2a292a29639，当且仅当a即a233时取等号，

a2a2a2

又b2时，b24639，故D正确．

11．BC

【详解】对于A，因为函数gxx3fx的图象关于点3,0中心对称，

所以g3xg3x，即3x3f3x3x3f3x，

也即xf3xxf3x，

当x0时，f3xf3x成立，

当x0时，f3xf3xfxf6x，

又函数fx是定义在R上的偶函数，

所以fxf6xfxf6x，故A错误；

1

对于B，g12f11f1，

2

由fxf6x，所以函数fx的周期为6，

1

所以f5f61f1f1，故B正确；

2

对于C，因为函数gx的图象关于点3,0中心对称，且在区间0,2上是增函数，

由中心对称的性质可得函数gx在4,6上是增函数，故C正确；

对于D，令gxx3fx0，则x30x3或fx0，

此时gx在区间5,6有一个零点3，

3

因为函数fx是定义在R上的偶函数，且周期为6，f0，

2

33399

所以ff0,f6f0,f0，

22222

3399

此时gggg0，

2222

3399

所以gx在区间5,6共有5个零点分别为3,,,,，

2222

3399

此时330，故D不正确.

2222

12．yx

2

【详解】由题设a2422，可得a24a2，而b2，

b

所以双曲线的渐近线方程为yxx.

a

3π

13．

2

63

【详解】正四面体的外接球半径为：R6，

42

2

对棱AB和CD互相垂直且距离为：63，

2

平面过AB且平行于CD，故平面与CD的距离等于AB与CD的距离为3，

3

球心在正四面体的中心，所以球心到平面的距离d，

2

333

则截面圆的半径r2R2d2()2()2，

222

3π

所以截面的面积为：Sπr2.

2

14．3,2

1

【详解】因为，所以，故.

e1e2e1e20fe1e21

2

由fe1e2fe2e3fe3e11，得fe2e3fe3e12，

11

所以有fe2e3fe3e11，即e2e31，e3e11.

22

由题不妨可设e11,0，e20,1，e3cos,sin，

11

由ee1，ee1知cos0,sin0,

223231

1ππ

由e2e3sin,1可得,，

262

1ππ

同理可得e3e1cos,1，可得0,，所以,，

2363

所以(e13e2)e31,3cos,sincos3sin2sin，

6

而,，所以2sin3,2，即(e13e2)e33,2.

6326

1,n1

15．(1)ann(n1)

,n2

2

(2)证明见解析

n*

【详解】（1）由题意，n2时an为(1x)nN的展开式第3项的二项式系数，

1,n1

2n(n1)

所以anCn，且a11，故ann(n1)；

2,n2

2

1,n1

1

（2）由（1）b211，

n

an2,n2

n(n1)n1n

111112

当n2时，Tn1213，

223n1nn

2*

因为T11满足上式，所以Tn3对nN恒成立，

n

2*

易知Tn3在nN上单调递增，

n

22

n12，n0，所以1T3.

nnn

16．(1)BM1

(2)3

3

【详解】（1）因为在PAB和△CAB中，PBCB,PAAC,ABAB，

所以△PAB△CAB，可得PMCM，

平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PMAB，

所以PM平面ABC，CM平面ABC，

可得PMCM，所以△PCM为直角三角形，

又PMCM，PC2，因此PMCM1,

可得BMPB2PM21.

（2）由（1）中结论可知，以M为坐标原点，分别以MC,MB,MP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系

Mxyz，如下图所示：

可得P0,0,1,A0,2,0,B0,1,0,C1,0,0，

则PA0,2,1,PB0,1,1,PC1,0,1，

设平面PAC的一个法向量为n1x1,y1,z1，

PAn12y1z10

可得，令z12，可知x12,y11，

PCn1x1z10

即n12,1,2；

设平面PBC的一个法向量为n2x2,y2,z2，

PBn2y2z20

可得，令z21，可知x21,y21，

PCn2x2z20

即n21,1,1；

设平面PAC与平面PBC所成的锐角为，

n2n233

所以coscosn2,n2，

n2n2333

3

因此平面PAC与平面PBC所成的锐角的余弦值为.

3

17．(1)a0

(2),1

1

【详解】（1）由f(x)x3ax2sinx，求导得：f(x)x2a2cosx，

3

2

πππππ2

则曲线在x处的切线斜率kfa2cosa，

22224

2

π2π

又曲线yfx在x处的切线的一个方向向量为4,π，故切线斜率k，

24

22

所以a，解得a0；

44

π

（2）由f(x)x对任意x0,恒成立，

2

1π

可得x3a1x2sinx0对任意x0,恒成立，

32

1

令gxx3a1x2sinx，则gxx2a12cosx，

3

令hxx2a12cosx，则hx2x2sinx2xsinx，

'π

由于xsinx1cosx0在x0,恒成立，

2

π

所以hx在0,上单调递增，则hxh00，

2

2π

所以hxxa12cosx在0,上单调递增，

2

则hxh01a，即gxg01a，

当1a0时，即a1，gx0，

1π

gxx3a1x2sinx在0,上单调递增，则gxg00满足条件，

32

当a1时，g0a121a0，则必存在x0，使得x0,x0时，gx0，

1

此时gxx3a1x2sinx在0,x上单调递减，则有gxg00，不满足条件，

30

π

综上可知：当a1时，fxx对任意x0,恒成立，

2

即实数a的取值范围是,1.

x2y2

18．(1)1

62

16

(2)（i）证明见解析；（ii）

3

22

【详解】（1）因为F1,F2在椭圆E1:x3y4上，所以F12,0,F22,0，

4

因为椭圆22的离心率为4，所以26，所以，

E1:x3y436a6

a3

43

x2y2

所以b2a2c2642，所以椭圆E的标准方程为1.

62

（2）（i）设直线AC，BD的斜率分别为k1,k2，故直线AC的方程为yk1x2，

直线BD的方程为yk2x2，

yyy2y21

220000

设Px0,y0，则x03y04，所以k1k222，

x02x02x0443y043

x2y2

12222

由62得(13k1)x12k1x12k160，

yk1x2

12k212k26

11

设点A,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1x22，x1x22．

13k113k1

2

222

12k12k626k11

所以2211，

AC1k1x1x21k12422

13k113k113k1

2

26k21

同理BD，所以

2

13k2

22k2113k2k2113k2

26k1126k211221

ACBD26

2222

13k113k213k113k2

222822

22

6k1k24k1k224k1k223kk

3861286，为定值；

26226

9kk3k2k212222

121223k1k2323k1k23

（ii）因为四边形ABCD的面积为