1.2集合间的基本关系(精讲)(原卷版+解析)

1.2集合间的基本关系目录TOC\o"1-1"\h\u学习内容与学习目标 1知识梳理 1学法指导 1自学与预习基础检测 1考点剖析 2考点一：集合间关系的判断 2考点二：子集、真子集的个数问题 2考点三：空集 3考点四：集合包含关系求参数 4课堂练习 41.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．1．子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B2.空集定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.1.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.2.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．规定：空集是任何集合的子集．1．空集中不含任何元素，所以∅不是集合．()2．任何一个集合都有子集．()3．若A＝B，则A⊆B且B⊆A.()4．空集是任何集合的真子集．()方法与技巧判断集合间关系的方法(1)用定义判断①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B.②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则AB.③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．1．下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知集合，则下列可以作为A的子集的是（

）A． B． C． D．3．集合，，，则满足条件的实数的值为(

)A．1或0 B．﹣2，0或2 C．0，1或2 D．﹣2，0，1或24．（难题）已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是（

）A．A⊆B B．ABC．BA D．A∈B方法与技巧公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．1.集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为（）A．5B．6C．7 D．82．符合的集合的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．94.已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足BC的集合B的个数为（

）A．32 B．31 C．30 D．55.非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．76.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8技巧与方法（1）空集的子集是空集。（2）空集是任何非空集合的真子集。（3）{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1.有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（

）A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④2．已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．3.给出下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则．其中正确的说法有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4.下面给出的几个关系中正确的是（

）A． B． C． D．5.若集合为空集，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．方法与技巧(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．(2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．1.集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2.已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．3.设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（

）A． B． C． D．5.若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（

）A． B． C． D．1．设集合且,则集合M的真子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．82．设集合，，则两集合间的关系是（

）A． B． C． D．3．满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有（）A．3个 B．6个 C．7个 D．8个4．已知集合，，则满足的集合的个数为（

）A．4 B．8 C．7 D．165．集合，，若且，则的取值为（

）A． B．4 C．或 D．或16．已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______.7．若集合有且仅有两个子集，则实数k的值是_______.1.2集合间的基本关系目录TOC\o"1-1"\h\u学习内容与学习目标 1知识梳理 1学法指导 1自学与预习基础检测 1考点剖析 2考点一：集合间关系的判断 2考点二：子集、真子集的个数问题 3考点三：空集 4考点四：集合包含关系求参数 5课堂练习 71.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．1．子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A＝B2.空集定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.1.子集的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.2.Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．规定：空集是任何集合的子集．1．空集中不含任何元素，所以∅不是集合．(×)2．任何一个集合都有子集．(√)3．若A＝B，则A⊆B且B⊆A.(√)4．空集是任何集合的真子集．(×)方法与技巧判断集合间关系的方法(1)用定义判断①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B.②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则AB.③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．1．下列四个写法：①；②；③；④.其中正确写法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用集合的概念与包含关系，逐一判断即可.【详解】对于①，是集合，也是集合，所以不能用这个符号，故①错误；对于②，是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确；对于③，由集合的无序性可知两集合是同一个集合，再由一个集合的本身是该集合的子集，故③正确；对于④，表示直线，两者毫无关联，故④错误；综上，正确写法的有2个.故选：B.2．已知集合，则下列可以作为A的子集的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据子集的知识可选出答案.【详解】∵1,，根据子集的定义可知，是A的子集．故选：D．3．集合，，，则满足条件的实数的值为(

)A．1或0 B．﹣2，0或2 C．0，1或2 D．﹣2，0，1或2【答案】B【分析】根据集合间关系和集合的互异性即可求解.【详解】因为，，，所以，或，(i)当时，即或，①当时，不满足集合的互异性，故不成立；②当时，，都满足集合的互异性，故成立；(ii)当时，即或，③当时，，都满足集合的互异性，故成立；④当时，，都满足集合的互异性，故成立.综上所述，满足条件的实数的值为﹣2，0或2.故选：B.4．（难题）已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x⊆A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是（

）A．A⊆B B．ABC．BA D．A∈B【答案】D【分析】根据集合B的元素的意义，列举出集合A的所有子集，得到集合B，即可判定A与B的关系.【详解】因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选：D.方法与技巧公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．1.集合A＝{1，2，3}的非空子集个数为（）A．5B．6C．7 D．8【答案】C【分析】由集合A知集合中元素的个数，由非空子集的定义可知非空子集个数.【详解】因为集合A＝{1，2，3}，知集合中有4个元素，则子集个数为个，非空子集个数为个.故选：C.2．符合的集合的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由，设，，故有个.故选：A.3．已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.【详解】因为，所以集合可以为：，共8个，故选：C.4.已知集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，则满足BC的集合B的个数为（

）A．32 B．31 C．30 D．5【答案】C【分析】由题意，集合B的个数可以看成由个元素构成的集合的非空真子集的个数，从而可得出答案.【详解】解：因为集合A，B，C，其中A有10个元素，C有15个元素，且BC，所以集合B的个数可以看成由个元素构成的集合的非空真子集的个数，有个，所以集合B的个数为30.故选：C.5.非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】由题得可将中元素分组为,,,再根据题意得出是求的非空真子集个数即可.【详解】由题得,若元素，则,可以推导出集合中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于中也可以不存在,故可以考虑集合等价于由元素,,组成的集合，又,故本题相当于求集合的非空真子集个数.即个.故选：C6.已知集合，，则满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】化简集合A，B，根据条件确定集合的个数即可.【详解】因为，,且。所以集合C的个数为故选：C技巧与方法（1）空集的子集是空集。（2）空集是任何非空集合的真子集。（3）{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.1.有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中不正确的是（

）A．①③④ B．②④⑤ C．②⑤⑥ D．③④【答案】D【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；对②：因为集合，故正确，即②正确；对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；对⑥：显然成立，因此⑥正确．综上，本题不正确的有③④，故选：D2．已知集合，表示空集，则下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合与集合间的关系，元素与集合的关系判断即可.【详解】，，，，A，B，D正确，∵表示以为元素的集合，而集合A中不含元素，∴不是A的子集。故C不对，故选：C.3.给出下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则．其中正确的说法有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论.【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；由于，则或，故④不正确；综上，正确的说法有0个.故选：A.4.下面给出的几个关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系确定正确选项.【详解】A选项，不是集合的元素，A错误.B选项，不是集合的元素，所以不是的子集，B错误.C选项，空集没有任何元素，C错误.D选项，空集是任何集合的子集，D正确.故选：D5.若集合为空集，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】题意说明不等式无实解，分类讨论和两种情况．【详解】由题意不等式无实解，时，不等式为，不成立，无实解．时，，解得，综上，．故选：D.方法与技巧(1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．(2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．1.集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．【详解】，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．2.已知集合，，且，则实数的取值构成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解出集合A，根据，分类讨论求出实数.【详解】.因为，所以，，.当时，关于x的方程无解，所以；当时，是关于x的方程的根，所以；当时，是关于x的方程的根，所以.故实数的取值构成的集合为.故选：D3.设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.【详解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范围为故选：D4.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．【详解】解：集合，，，，若，则，即有；若，可得，，不满足；若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，可得或，解得或．综上可得，或或2.故选：A.5.若集合，，则能使成立的所有a组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】考虑和两种情况，得到，解得答案.【详解】当时，即，时成立；当时，满足，解得；综上所述：.故选：C.1．设集合且,则集合M的真子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根据题意确定集合M的元素，进而可确定集合M的真子集的个数，即得答案.【详解】由题意知集合且，则集合M的真子集有，共7个，故选：C2．设集合，，则两集合间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】变形，，分析比较即可得解.【详解】由题意可即为的奇数倍构成的集合，又，即为的整数倍构成的集合，，即。故选：B3．满足条件∅⫋M⫋{a，b，c}的集合M共有（）