2024-2025学年北京丰台区高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷一.选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤2} D．{x|x＞﹣1}2．（4分）下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（）A． B． C． D．3．（4分）若a＞b，则（）A．2a＜2b B．2a＞2b C．a2＞b2 D．ln（4．（4分）已知数列{an}是等比数列，若a1a2a3＝8，则a2＝（）A．﹣2 B．12 C．2 5．（4分）已知函数f（x）＝sinxcosx，则f′(πA．−32 B．−12 C．6．（4分）已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（）A．415 B．12 C．357．（4分）“m＞1”是“m2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）已知函数f（x）＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在区间（1，+∞）上单调递增 B．是奇函数，且在区间（﹣1，1）上单调递减 C．是偶函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增 D．是奇函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减9．（4分）2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一个人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（）A．20种 B．36种 C．24种 D．18种10．（4分）已知函数f(x)=lnx+1A．∀a＜0，f（x）有极小值 B．∀a＜0，f（x）恰有2个零点 C．∃a＞0，使得不等式f（x）≥0恒成立 D．∃a＞0，使得关于x的方程f（x）＝0有3个不同的实数解二.填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（x+2）4展开式中含x2项的系数等于．12．（5分）已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点(12，1)，则a13．（5分）用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数的个数为．（用数字作答）14．（5分）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的40%，优质率为80%，乙品牌的优质率为90%．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为．15．（5分）已知数列{an}满足a1①当k＝0时，对任意的m＞0，都有a2＜a1；②当k=12时，对任意的m＞0，都有a③当k＝1时，存在m＞0，使数列{an}是常数列；④当k＝2时，存在m＞0，使数列{an}是递减数列．其中所有正确结论的序号是．三.解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x．（I）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最小值和最大值；（Ⅲ）写出不等式|f（x）|＞2的解集．（不用说明理由）17．（14分）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”．（1）从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率；（2）现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为X，求X的分布列及数学期望．18．（14分）已知等比数列{an}的前n项为和为Sn(n∈N∗)，a1=2．再从条件①（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2（Sn+2），求数列{bn}的前n项和Tn．条件①：a1，a3，a5成等差数列；条件②：S6＝9S3；条件③：an+1＝2an．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（14分）2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“π站擂台”、“π史探秘”、“π日海报”、“π徽设计”、“π帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动．为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：挑战活动参与人数π站擂台π史探秘π日海报π徽设计π帽设计高一8045557545高二4060608040高三1550402030通过样本估计该校全体学生参与活动的情况．（1）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率；（2）从该校高一年级中随机选取1名学生，高二年级中随机选取2名学生，求这3名学生中恰有2名学生参与“π徽设计”的概率；（3）假设高一某班参加挑战活动的情况如下：挑战活动π站擂台π史探秘π日海报π徽设计π帽设计参与人数7a9bc当数据7，a，9，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）20．（15分）已知函数f(x)=eax+1x−b(a，b∈R)，曲线y＝f（（1）求a，b的值；（2）设g（x）＝（x﹣1）2f′（x）（f′（x）为f（x）的导数），求g（x）的单调区间；（3）求f（x）的极值点的个数．21．（15分）已知集合U＝{u1，u2，⋯，um}和V＝{v1，v2，⋯，vn}（m，n≥2）且U∩V＝∅．集合T由元素（ui，vj）或（vj，ui）构成，其中i＝1，2，⋯，m，j＝1，2，⋯，n，且（ui，vj）与（vj，ui）恰有一个属于T．定义l（ui）＝d（ui，v1）+d（ui，v2）+⋯+d（ui，vn），其中d(定义l（vj）＝d（vj，u1）+d（vj，u2）+⋯+d（vj，um），其中d(（1）若m＝2，n＝3，且（u1，v1），（u2，v3），（v2，u1），（v2，u2）∈T，写出d（u1，v1），d（v3，u2）及l（v2）的值；（2）从l（u1），l（u2），⋯，l（um）中任意删去一个数，并从l（v1），l（v2），⋯，l（vn）中任意删去一个数，记剩下m+n﹣2个数的和为M，证明：M≥mn﹣m﹣n+1；（3）若m＝n≥3，l（ui）＜n且l（vj）＜n（i，j＝1，2，⋯，m），设x为U中满足l（ui）≥2的元素个数，y为V中满足l（vj）≥2的元素个数，证明：x+y≥n．

2024-2025学年北京市丰台区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案ADBCCBADCC一.选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x|x﹣2≤0}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x≤2} B．{x|﹣1≤x＜2} C．{x|x≤2} D．{x|x＞﹣1}【分析】根据交集的运算判断．【解答】解：B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，A＝{x|x﹣2≤0}＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|﹣1＜x≤2}．故选：A．【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．2．（4分）下列四幅散点图中，所对应的成对样本数据呈现负相关的是（）A． B． C． D．【分析】根据数据点的分布情况直观判断是否有线性相关关系及正负相关即可．【解答】解：A，B，C选项中各点有非线性拟合趋势，D选项中具有线性相关且为负相关．故选：D．【点评】本题考查散点图，属于基础题．3．（4分）若a＞b，则（）A．2a＜2b B．2a＞2b C．a2＞b2 D．ln（【分析】根据不等式、指数函数、对数函数的性质，取值判断即可．【解答】解：a＞b，对于A，若a＞0，b＜0，则2a＜2对于B，∵y＝2x为R上的增函数，∴2a＞2b，故B正确；对于C，取a＝1，b＝﹣2，则a2＜b2，故C错误；对于D，取a＝0.5，b＝﹣0.5，则ln（a﹣b）＝0，故D错误．故选：B．【点评】本题考查不等式、指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（4分）已知数列{an}是等比数列，若a1a2a3＝8，则a2＝（）A．﹣2 B．12 C．2 【分析】根据等比数列下标的性质可得．【解答】解：数列{an}是等比数列，若a1a2a3＝8，则a1故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．5．（4分）已知函数f（x）＝sinxcosx，则f′(πA．−32 B．−12 C．【分析】由导数乘法的运算法则计算即可求得．【解答】解：因为f（x）＝sinxcosx，所以f′（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，所以f′(π故选：C．【点评】本题考查导数的运算，属于基础题．6．（4分）已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（）A．415 B．12 C．35【分析】根据题意，由条件概率计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，某班级有女生16人，其中喜欢羽毛球运动的有8人，则抽到的是女生的条件下，该生喜欢羽毛球运动的概率P=8故选：B．【点评】本题考查条件概率的计算，注意条件概率的定义，属于基础题．7．（4分）“m＞1”是“m2A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】依次求解充分性、必要性，即可求解．【解答】解：m＞1，则m2当m＝0.5，满足m2+1故选：A．【点评】本题主要考查充分不必要条件的判断，属于基础题．8．（4分）已知函数f（x）＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在区间（1，+∞）上单调递增 B．是奇函数，且在区间（﹣1，1）上单调递减 C．是偶函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增 D．是奇函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案．【解答】解：由题意知，f（x）的定义域为{x|x≠±1}，且f（﹣x）＝ln|﹣x+1|﹣ln|﹣x﹣1|＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|＝﹣f（x），所以f（x）是奇函数，选项A、C错误．当﹣1＜x＜1时，f（x）＝ln（x+1）﹣ln（1﹣x）＝lnx+11−x=ln2−(1−x)1−x=y=21−x−1在（﹣1，1）上单调递增，y根据复合函数单调性同增异减可知f（x）在区间（﹣1，1）单调递增，选项B错误．当x＞1时，f（x）＝ln（x+1）﹣ln（x﹣1）＝lnx+1x−1=lnx−1+2x−1=y＝1+2x−1在（1，+∞）上单调递减，y＝根据复合函数单调性同增异减可知f（x）在区间（1，+∞）单调递减，f（x）是奇函数，则在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性判断问题，是基础题．9．（4分）2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务．每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一个人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（）A．20种 B．36种 C．24种 D．18种【分析】分别考虑甲负责1个任务和甲负责2个任务的情况，结合甲不负责A，可得答案．【解答】解：由题意可知有1人负责两个任务，若甲负责两个任务，因甲不负责A任务，则有C3剩下的任务有A2所以分配方法共有C3若甲负责1个任务，因甲不负责A任务，则有C3剩下的任务有C3所以分配方法共有C3综上，满足题意的分配方法共有6+18＝24种．故选：C．【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于基础题．10．（4分）已知函数f(x)=lnx+1A．∀a＜0，f（x）有极小值 B．∀a＜0，f（x）恰有2个零点 C．∃a＞0，使得不等式f（x）≥0恒成立 D．∃a＞0，使得关于x的方程f（x）＝0有3个不同的实数解【分析】当a＜0，求导，分析得出函数f（x）在（0，x2）单调递减，在（x2，+∞）单调递增即可判断AB；当a＞0时，分a≥14和0＜a＜1【解答】解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=1a＜0时，令f′（x）＝0，即﹣ax2+x﹣1＝0，Δ＝1﹣4a＞0，所以﹣ax2+x﹣1＝0有两个不同实数根，设为x1，x2且x1＜x2，又x1+x2=1a＜0，x1x2所以f（x）在（0，x2）单调递减，在（x2，+∞）单调递增，f（x）在x＝x2时取得极小值，无极大值，故A正确；又f（x）mn＝f（x2）＜f（1）＝0，x→0，f（x）→+∞，所以a＜0时，f（x）恰有2个零点，故B正确；a＞0时，Δ＝1﹣4a，a≥14时，Δ＝1﹣4a≤0，f′（x）≤0恒成立，f（又f（1）＝0，所以x＞1时，f（x）＜0，则此时f（x）≥0不恒成立，当0＜a＜14，Δ＝1﹣4a＞0，所以﹣ax2+x﹣1＝0有两个不同实数根，设为x3，x4，且x3＜x又x3+x4=1a＞0，x3x4此时f（x）在（0，x3）单调递减，在（x3，x4）单调递增，在（x4，+∞）单调递减，又0＜x3＜1＜x4，所以f（x）极小＝f（x3）＜f（1）＝0，f（x）极大＝f（x4）＞f（1）＝0，所以此时f（x）≥0不恒成立，故C不正确；由上知0＜a＜14时，函数方程f（x）＝0有3个不同的实数解，故故选：C．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．二.填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）（x+2）4展开式中含x2项的系数等于24．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x2的幂指数等于1，求得r的值，即可求得展开式中的含x2项的系数．【解答】解：（x+2）4展开式的通项公式为Tr+1=C4r•x4﹣r令4﹣r＝2，求得r＝2，可得开式中含x2项的系数为C42×故答案为：24．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12．（5分）已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点(12，1)，则a＝【分析】根据函数图象所过点列方程，由此求得正确答案．【解答】解：因为函数f（x）的图象经过点(1所以loga1故答案为：12【点评】本题主要考查对数运算，属于基础题．13．（5分）用数字0，1，2，3，4组成的无重复数字的四位数的个数为96．（用数字作答）【分析】由于首位不能为0，故有4种选择，其它三位，任意选3个数即可，根据分步计数原理可得．【解答】解：首位不能为0，故有4种选择，其它三位，任意选3个数，故有C4故答案为：96．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．14．（5分）某手机销售店只销售甲、乙两个品牌的手机，其中甲品牌的销售量占本店手机销售量的40%，优质率为80%，乙品牌的优质率为90%．从该店中随机买一部手机，则“买到的是优质品”的概率为0.86．【分析】利用全概率计算公式求得正确答案．【解答】解：根据题意，设A＝“买到的是优质品”，则P（A）＝0.6×0.90+0.4×0.8＝0.86．故答案为：0.86．【点评】本题考查全概率公式，注意全概率公式的形式，属于基础题．15．（5分）已知数列{an}满足a1①当k＝0时，对任意的m＞0，都有a2＜a1；②当k=12时，对任意的m＞0，都有a③当k＝1时，存在m＞0，使数列{an}是常数列；④当k＝2时，存在m＞0，使数列{an}是递减数列．其中所有正确结论的序号是①③④．【分析】对于①：利用放缩，a2对于②：利用特殊值法，当m＝hn2时，a2＞0与题意不符；对于③：由常数列的定义，可求解出m的值；对于④：换元看成二次不等式，求解不等式，得出m的范围，再用数学归纳法证明其一般性．【解答】解：对于①：当k＝0时，则ea有a2=ln(ea1对于②：当k=12时，当m＝a2=ln(e对于③：当k＝1时，an+1由数列{an}是常数列，则an+1＝an，ln(ean−1)=0，an＝对于④：当k＝2时，an+1=ln(ea则an+1即ean−1＜则t2﹣t﹣1＜0解得1＜t＜1+所以1＜e即0＜an＜ln下证an+1＜an成立：当n＝1时，a2＜a1成立；假设当n＝k时，不等式ak+1＜ak成立，即ak+1﹣ak＜0，由a1＞0，得到ak+1则当n＝k+1时，ak+2＜ak+1，即证明ak+2构造函数f（x）＝ln（ex﹣1）+x，f'（x)=e因为x＞0，ex﹣1＞0，2ex﹣1＞0，f'（x）＞0，故f（x）单调递增，由ak+1＜akak＞0，ak+1＞0，故有f（ak+1）＜f（ak）＜0，即ak+2−a故答案为：①③④．【点评】本题考查数列递推式，属于中档题．三.解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f（x）＝x3﹣3x．（I）求曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣1，2]上的最小值和最大值；（Ⅲ）写出不等式|f（x）|＞2的解集．（不用说明理由）【分析】（I）曲线在点（0，f（0））处的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得；（Ⅱ）利用导数分析f（x）在区间[﹣1，2]上单调性，即可求得其最小值和最大值；（Ⅲ）利用导数分析f（x）的单调性，结合f（2）＝2，f（﹣2）＝﹣2，可写出不等式|f（x）|＞2的解集．【解答】解：（I）f′（x）＝3x2﹣3，f′（0）＝﹣3，又f（0）＝0，所以曲线y＝f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣3x；（Ⅱ）令f′（x）＝0得，x＝±1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣1，1）1（1，2）f′（x）﹣0+f（x）↘﹣2↗又f（﹣1）＝2，f（2）＝2，所以f（x）在区间[﹣1，2]上的最小为﹣2，最大值为2．（Ⅲ）|f（x）|＞2⇒f（x）＞2或f（x）＜﹣2，即x3﹣3x＞2或x3﹣3x＜﹣2，因为f（2）＝2，f（﹣2）＝﹣2，f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，所以，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，所以x＜﹣2或x＞2，即不等式|f（x）|＞2的解集为{x|x＜﹣2或x＞2}．【点评】本题考查利用导数求解曲线在某点上的切线方程及函数的单调性问题，考查综合运算能力，属于中档题．17．（14分）2025年4月25日下午，第十五届北京国际电影节AIGC电影单元荣誉盛典在中国传媒大学隆重举行．本届活动共收到1502部参赛作品，经过激烈角逐，最终79部佳作入围社会组、高校组、青少年组及中石化主题赛四大竞赛板块．青少年组的入围作品有5部，其中有4部荣获“优秀影片”，1部荣获“最佳影片”．（1）从参赛作品中随机选取1部，求恰好选到入围佳作的概率；（2）现有1名同学从青少年组获奖的5部影片中随机选取3部观看，设选到“最佳影片”部数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）利用古典概率求解即可；（2）利用超几何分布和期望的公式求解即可．【解答】解：（1）记A＝“从参赛作品中随机选取1部，恰好选到入围佳作”，根据古典概型可以求出：P(A)=79（2）根据题意可以知道，随机变量X的所有可能取值为0，1，所以得到P(X=0)=C随机变量X的分布列：X01P2535X的均值为E(X)=0×2【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．18．（14分）已知等比数列{an}的前n项为和为Sn(n∈N∗)，a1=2．再从条件①（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝log2（Sn+2），求数列{bn}的前n项和Tn．条件①：a1，a3，a5成等差数列；条件②：S6＝9S3；条件③：an+1＝2an．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】（1）选择①，求出公比q＝1或﹣1，不合要求；选择②，求出公比为2，得到通项公式；选择③：公比q＝2，从而得到通项公式；（2）利用等比数列求和公式，化简得到bn＝n+1，数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式得到答案．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，（1）选择①：因为a1，a3，a5成等差数列，所以2a3＝a1+a5，因为a1＝2，所以4q2＝2+2q4，解得q＝1或﹣1，此时数列{an}不唯一，不合要求，故舍去；选择②：因为S6＝9S3，且数列{an}为等比数列，显然公比q≠1，所以a1即1+q3＝9，q3＝8，q＝2．所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an选择③：因为an+1＝2an，且数列{an}为等比数列，公比q＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an（2）因为Sn所以bn所以bn+1﹣bn＝1，因为b1＝log2（S1+2）log24＝2，所以数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn【点评】本题考查等比数列的通项公式求法，等差等比数列的定义，属于中档题．19．（14分）2025年3月14日（第六个国际数学日），某校开展了“π站擂台”、“π史探秘”、“π日海报”、“π徽设计”、“π帽设计”共5项挑战活动，每名学生至少参与其中一项活动．为了解该校上述活动的参与情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：挑战活动参与人数π站擂台π史探秘π日海报π徽设计π帽设计高一8045557545高二4060608040高三1550402030通过样本估计该校全体学生参与活动的情况．（1）从5项活动中随机选择1项，估计此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半的概率；（2）从该校高一年级中随机选取1名学生，高二年级中随机选取2名学生，求这3名学生中恰有2名学生参与“π徽设计”的概率；（3）假设高一某班参加挑战活动的情况如下：挑战活动π站擂台π史探秘π日海报π徽设计π帽设计参与人数7a9bc当数据7，a，9，b，c的方差最小时，写出a，b，c的值．（结论不要求证明）【分析】（1）根据题意找出符合题意的情况，利用古典概型即可求解；（2）由题可得高一、高二随机选取1名学生参与“π徽设计”的概率，然后根据独立事件乘法公式可得．（3）由方差公式可知a=b=c=x时方差最小，再求(7−【解答】解：（1）根据题意，设事件A＝“从5项活动中随机选择1项，此项活动全校参与的人数大于该校总人数的一半”，根据题意，5项活动中，参与的人数大于该校总人数的一半的有：“π史探秘”、“π日海报”、“π徽设计”，由古典概型公式，P(A)=3（2）根据题意，从该校高一年级中随机选取1名学生参与“π徽设计”的概率为34从高二年级中随机选取1名学生参与“π徽设计”的概率为45设事件B＝“从高一年级随机选取1名学生，高二年级随机选取2名学生，这3名学生中恰有2名学生参与π徽设计”，事件B包括2种情况，①高一学生参与“π徽设计”，高二两名学生中有1人参与“π徽设计”，②高一学生没有参与“π徽设计”，高二两名学生都参与“π徽设计”，则P(B)=3（3）根据题意，设数据的平均数为x，设均数为x，又(7−x所以x=8时，(7−又S2所以a=b=c=x【点评】本题考查古典概型的计算，涉及平均数、方差的计算，属于基础题．20．（15分）已知函数f(x)=eax+1x−b(a，b∈R)，曲线y＝f（（1）求a，b的值；（2）设g（x）＝（x﹣1）2f′（x）（f′（x）为f（x）的导数），求g（x）的单调区间；（3）求f（x）的极值点的个数．【分析】（1）根据条件，建立方程组1−1（2）由（1）可得g（x）＝（x﹣1）2ex﹣1，对g（x）求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；（3）根据条件，将问题转化成g（x）的变号零点的个数，结合（2）中结果，列出x，f′（x），f（x）的变化情况表，利用极值的定义，即可求解．【解答】解：（1）导函数f′(x)=ae由于y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线为y＝0，因此f(0)=0f′(0)=0，即1−1b=0a−（2）根据第一问知，导函数f′(x)=ex−1(x−1)2，那么函数g（x）＝（易知g（x）的定义域为{x|x≠1}，又导函数g′（x）＝2（x﹣1）ex+（x﹣1）2ex＝ex（x﹣1）（x+1），令g′（x）＝0，得x＝﹣1，因此x，g′（x），g（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，1）（1，+∞）g′（x）+0﹣+g（x）↗4e↘↗因此函数g（x）的单调递减区间是（﹣1，1），单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．（3）函数f（x）的极值点个数就是f′（x）的变号零点的个数，又因为（x﹣1）2≥0恒成立，也即g（x）的变号零点的个数．根据第二问知g（x）的单调递减区间是（﹣1，1），单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞），由于g(−1)=4g（54）=e5416−1＜因此存在唯一的x1∈（﹣3，﹣1），使得g（x1）＝0，存在唯一的x2∈(54，2)，使得x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，x1）x1（x1，0）0（0，1）（1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）﹣0+0﹣﹣0+f（x）↘↗0↘↘↗所以f（x）的极值点个数为3．【点评】本题考查导数的综合应用，属于难题．21．（15分）已知集合U＝{u1，u2，⋯，um}和V＝{v1，v2，⋯，vn}（m，n≥2）且U∩V＝∅．集合T由元素（ui，vj）或（vj，ui）构成，其中i＝1，2，⋯，m，j＝1，2，⋯，n，且（ui，vj）与（vj，ui）恰有一个属于T．定义l（ui）＝d（ui，v1）+d（ui，v2）+⋯+d（ui，vn），其中d(定义l（vj）＝d（vj，u1）+d（vj，u2）+⋯+d（vj，um），其中d(（1）若m＝2，n＝3，且（u1，v1），（u2，v3），（v2，u1），（v2，u2）∈T，写出d（u1，v1），d（v3，u2）及l（v2）的值；（2）从l（u1），l（u2），⋯，l（um）中任意删去一个数，并从l（v1），l（v2），⋯，l（vn）中任意删去一个数，记剩下m+n﹣2个数的和为M，证明：M≥mn﹣m﹣n+1；（3）若m＝n≥3，l（ui）＜n且l（vj）＜n（i，j＝1，2，⋯，m），设x为U中满足l（ui）≥2的元素个数，y为V中满足l（vj）≥2的元素个数，证明：x+y≥n．【分析】（1）按照定义直接计算即可；（2）计算l（u1）+l（u2）+⋯+l（um）+l（v1）+l（v2）+⋯+l（vn）＝mn，然后假设删除的数是l（uk）和l（vp）可得l（uk）+l（vp）＝mn﹣M，然后讨论l（uk）＝n，l（vp）＝m情况即可；（3