2024-2025学年北京东城区高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}2．（4分）下列函数在区间[0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝2x C．f（x）＝lgx D．f(x)=3．（4分）对某种动物的三项指标A，B，C进行调查研究．现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为（ai，bi，ci）（i∈N*）．若（ai，bi）与（ai，ci）的散点图如图1和图2所示，那么关于（bi，ci）的散点图最合理的为（）A． B． C． D．4．（4分）甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（）A．36 B．48 C．60 D．725．（4分）为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭．如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为（）A．17 B．14 C．136．（4分）设函数f(x)=x−1，x≤a，x2−x−6，x＞a.若y＝f（A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2）∪[1，3） C．（﹣2，3） D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）7．（4分）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为X，那么X的数学期望为（）A．94 B．4 C．928．（4分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝k（x﹣x0）+ex0，其中x0，k∈R，那么“对任意的实数x都有f（x）≥g（x）”是“k＝ex0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（4分）已知正整数a，b，c，d，e满足a＜b＜c＜d＜e，且a+b+c+d+e＝50，那么b+d的最大值是（）A．22 B．23 C．24 D．2510．（4分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1），对于实数x1，x2，已知1＜x1＜x2，设M=f(x2A．x1＞2时，有M＞Q＞P B．x1＞2时，有P＞M＞Q C．1＜x1＜2时，有P＞Q＞M D．1＜x1＜2时，有M＞P＞Q二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f(x)=1x+1+lnx12．（5分）在(1−2x)6的展开式中，x13．（5分）已知函数f（x）＝p2x+q2﹣x（其中p，q是正实数）．①能使函数f（x）为偶函数的一组p，q可以为；②若函数f（x）的最小值为4，则p+q的最小值为．14．（5分）设函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），点A，B，C，D在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知曲线y＝f（x）在点B，C处的切线分别为直线AB和CD，则此函数的解析式f（x）＝．15．（5分）一组单调不减的数据a1，a2，a3，…，an（n≥3）（即a1≤a2≤a3≤⋯≤an），满足a1≠an，记这组数据a1，a2，a3，…，an的方差为D；数据a2，a3，…，an的有差为D1；数据a1，a2，a3，…，an﹣1的方差为D2；数据a2，a3，…，an﹣1的方差为D3．给出下列四个结论：①存在单调不减的数据，使得D＞D1；②存在单调不减的数据，使得D1＝D2；③存在单调不减的数据，使得D＝D2；④对任意单调不减的数据，都有D＞D3．其中正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为34，45，（Ⅰ）从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率；（Ⅲ）若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率．17．（14分）已知函数f(x)=1（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）在（a，+∞）上存在最小值，求a的取值范围．18．（13分）在某校运动会射击项目中只有甲、乙．丙三名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每轮比赛3名同学各射击1次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜．本次射击比赛中甲、乙、丙的前10轮比赛成绩（单位：环）统计如下：轮次12345678910甲10.210.710.010.29.98.810.110.2979.5乙8.610.49.49.79.88.810.09.410.610.4丙6.58.57.79.78.510.38.77.510.58.5用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”．依据表中的数据，估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数；（Ⅱ）从前10轮比赛中随机选择3轮，设X表示乙获胜的轮数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为ai，bi，ci．（t＝5，6，7，8，9，10）．定义统计量：dadbdc请直接写出da，db，dc的大小关系，19．（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N（均异于点P）．若直线PM，PN的斜率互为相反数，求直线l的方程．20．（15分）已知函数f(x)=1+x+ax2（Ⅰ）讨论函数y＝f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝1，t＜0，设曲线y＝f（x）在点A（t，f（t））处的切线交x轴于点B．（i）求出点B的横坐标（用t表示）；（ii）已知点H在x轴上，且AH⊥x轴，求证：存在唯一的点A（t，f（t）），使得△AHB为等腰直角三角形．21．（15分）已知数列A：a1，a2，…，an（n≥3），定义：Γ(A)=i=1n−1|ai+1−ai|．从A中选取第i1项、第i2项、…、第im项（i1＜i2＜…＜im，2≤m≤n﹣1）．则称数列ai1，ai2，⋯，ain为A的长度为m（Ⅰ）已知A：1，3，4，2，5，6，若数列B是数列A的长度为4的子列，写出T（B）的最大值和最小值；（Ⅱ）已知数列A：a1，a2，…，a6具有性质P，且存在唯一的长度为3的子列B，使得T（B）＝T（A），求T（A）的最小值；（Ⅲ）已知数列A：a1，a2，…，an具有性质P，且n为偶数，求T（A）的最大值，并直接写出当T（A）取得最大值时数列A的个数．

2024-2025学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBADABCCBD一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合A＝{x||x|≤2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】求解绝对值的不等式化简A，再由交集运算的定义得答案．【解答】解：∵A＝{x||x|≤2}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．【点评】本题考查交集及其运算，考查绝对值不等式的解法，是基础题．2．（4分）下列函数在区间[0，+∞）上单调递增的是（）A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝2x C．f（x）＝lgx D．f(x)=【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）＝﹣x，是正比例函数，在区间[0，+∞）上单调递减，不符合题意；对于B，f（x）＝2x，是指数函数，区间[0，+∞）上单调递增，符合题意；对于C，f（x）＝lgx，是对数函数，其定义域为（0，+∞），不符合题意；对于D，f（x）=1故选：B．【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及常见函数的单调性，属于基础题．3．（4分）对某种动物的三项指标A，B，C进行调查研究．现有这种动物若干只，设每只动物的这三项指标为（ai，bi，ci）（i∈N*）．若（ai，bi）与（ai，ci）的散点图如图1和图2所示，那么关于（bi，ci）的散点图最合理的为（）A． B． C． D．【分析】根据相关系数以及散点图相关知识可解．【解答】解：根据题意，由（ai，bi）的散点图可得A与B呈正相关，A与C呈负相关，则可推测B与C最合理的是负相关关系．故选：A．【点评】本题考查散点图相关知识，属于中档题．4．（4分）甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则不同的排法种数共有（）A．36 B．48 C．60 D．72【分析】根据排列组合相关知识可解．【解答】解：甲、乙等5人排成一列，且甲、乙均不在第一个位置，则第一个位置有3种选择，余下4人有A4则不同的排法种数共有3×24＝72种排法．故选：D．【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．5．（4分）为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭．如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为（）A．17 B．14 C．13【分析】根据条件概率相关知识可解．【解答】解：设事件A＝“已经知道这个家庭有女孩”，事件B＝“这3个小孩都是女孩”，有生男生女概率都是12则P（A）＝1−(12)3=7则已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为P(AB)P(A)故选：A．【点评】本题考查条件概率相关知识，属于中档题．6．（4分）设函数f(x)=x−1，x≤a，x2−x−6，x＞a.若y＝f（A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，﹣2）∪[1，3） C．（﹣2，3） D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【分析】分别求出函数y＝x﹣1和y＝x2﹣x﹣6的图象，结合图象求解即可．【解答】解：令x﹣1＝0，得x＝1；令x2﹣x﹣6＝0，得x＝﹣2或x＝3，又因为函数y＝f（x）恰有两个零点，如图所示：所以a＜﹣2或1≤a＜3，即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[1，3）．故选：B．【点评】本题考查了函数的零点及数形结合思想，属于中档题．7．（4分）投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分，投掷了3次，设总分为X，那么X的数学期望为（）A．94 B．4 C．92【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出X的分布列，进而计算期望即可．【解答】解：根据已知条件有X的可能取值为3，4，5，6；，所以P(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=CP(X=6)=C所以X的分布列为：X3456P18383818所以D(X)=3×1故选：C．【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望，属于中档题．8．（4分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝k（x﹣x0）+ex0，其中x0，k∈R，那么“对任意的实数x都有f（x）≥g（x）”是“k＝ex0”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】注意到g（x）＝k（x﹣x0）+ex0过定点（x0，ex0），该定点在函数f（x）＝ex曲线上，分别验证命题的充分性和必要性，得出结论．【解答】解：由已知，g（x）＝k（x﹣x0）+ex0过定点（x0，ex0），该定点在函数f（x）＝ex曲线上，若k＝ex0，即k＝f'（x0），则g（x）为f（x）在（x0，ex0）出的切线，此时满足对任意的实数x都有f（x）≥g（x），故必要性成立；若对任意的实数x都有f（x）≥g（x），即ex﹣k（x﹣x0）﹣ex0≥0对任意的实数x都成立，设h（x）＝ex﹣k（x﹣x0）﹣ex0，则h'（x）＝ex﹣k，h（x0）＝0，若k≤0，则h'（x）＞0恒成立，h（x）递增，当x＜x0时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x），不合题意，若k＞0，则由h'（x）＞0解得x＞lnk，由h'（x）＜0解得x＜lnk，所以h（x）min＝h（lnk），当lnk≠x0，即k≠ex0时，总有h（lnk）＜h（x0）＝0，即f（x）＜g（x），不合题意，故k＝ex0，故充分性成立，综上，“对任意的实数x都有f（x）≥g（x）”是“k＝ex0”的充要条件．故选：C．【点评】本题主要考查由不等式恒成立求参数取值范围，属于中档题．9．（4分）已知正整数a，b，c，d，e满足a＜b＜c＜d＜e，且a+b+c+d+e＝50，那么b+d的最大值是（）A．22 B．23 C．24 D．25【分析】由题意可知a≥1，c≥b+1，e≥d+1，利用反证法可证b+d≤23，举例说明b+d＝23，即可得结果．【解答】解：因为正整数a，b，c，d，e满足a＜b＜c＜d＜e，且a+b+c+d+e＝50，则a≥1，c≥b+1，e≥d+1，若b+d取到最大值，假设b+d≥24，则c+e≥b+1+d+1＝b+d+2≥26，可得a+b+c+d+e＝a+（b+d）+（c+e）≥1+24+26≥51，这与a+b+c+d+e＝50相矛盾，假设不成立，则b+d≤23，例如a＝1，b＝2，c＝3，d＝21，e＝23，则a+b+c+d+e＝50，且b+d＝23，所以b+d的最大值是23．故选：B．【点评】本题考查正整数的大小关系及不等式推理，综合考查逻辑推理与数感，核心是对正整数有序性和不等式运用的考查．10．（4分）已知函数f（x）＝ln（x﹣1），对于实数x1，x2，已知1＜x1＜x2，设M=f(x2A．x1＞2时，有M＞Q＞P B．x1＞2时，有P＞M＞Q C．1＜x1＜2时，有P＞Q＞M D．1＜x1＜2时，有M＞P＞Q【分析】设A，B，C三点都在函数f（x）＝ln（x﹣1）的图象上，且A，B，C三点的横坐标为x1，x2，x2+1，记点B关于原点O的对称点为点D，则M＝kAB，P＝kAC，Q＝kAD，通过画图即可求解．【解答】解：如图所示，取1＜x1＜2＜x2，设A，B，C三点都在函数f（x）＝ln（x﹣1）的图象上，且A，B，C三点的横坐标为x1，x2，x2+1记点B关于原点O的对称点为点D，则M=f(x2)−f(x其中kAB，kAC，kAD分别表示直线AB，AC，AD的斜率，由图可知M＝kAB＞P＝kAC＞0＞Q＝kAD，故排除C；现在我们说明当1＜x1＜x2≤2时，有M＞P＞Q，即可说明D正确，如图所示，当1＜x1＜x2＜2时，有M＝kAB＞P＝kAC＞0＞Q＝kAD，如图所示，当1＜x1＜x2＝2时，有M＝kAB＞P＝kAC＞0＞Q＝kAD，故D正确；对于AB，如图所示，当1＜2＜x1＜x2时，有M＝kAB＞P＝kAC＞Q＝kAD，排除AB．故选：D．【点评】本题主要考查数形结合思想以及函数恒成立问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）函数f(x)=1x+1+lnx【分析】根据对数函数的性质列出不等式组，求出x的取值范围即可．【解答】解：函数f(x)=1则x+1＞0x＞0，解得x所以函数f(x)=1故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查了函数的定义域，考查了对数函数的性质，属于基础题．12．（5分）在(1−2x)6的展开式中，x【分析】求出展开式的通项公式，令x的指数为1，进而可以求解．【解答】解：二项式的展开式的通项公式为Tr+1=C6令r2=1，则r＝2，所以x的系数为故答案为：60．【点评】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．13．（5分）已知函数f（x）＝p2x+q2﹣x（其中p，q是正实数）．①能使函数f（x）为偶函数的一组p，q可以为p＝1，q＝1（答案不唯一）；②若函数f（x）的最小值为4，则p+q的最小值为4．【分析】①，由偶函数的定义分析可得当p＝q时，f（x）为偶函数，举出实例可得答案；②，利用对号函数的性质分析可得2pq=【解答】解：①，函数f（x）＝p2x+q2﹣x，其定义域为R，若f（x）为偶函数，必有f（﹣x）＝f（x），即p2﹣x+q2x＝p2x+q2﹣x，变形可得：（p﹣q）（2x﹣2﹣x）＝0，必有p＝q，故当p＝q时，f（x）为偶函数，如p＝1，q＝1；②，根据题意，p，q是正实数，则函数f（x）＝p2x+q2﹣x≥2p×2x×q×当p2x＝q2﹣x时等号成立，即函数f（x）的为2pq，则有2pq=又由p+q≥2pq=4，当且仅当p＝q故p+q的最小值为4．故答案为：①p＝1，q＝1（答案不唯一）；②4．【点评】本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及基本不等式的性质和应用，属于基础题．14．（5分）设函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），点A，B，C，D在平面直角坐标系中的位置如图所示．已知曲线y＝f（x）在点B，C处的切线分别为直线AB和CD，则此函数的解析式f（x）＝12x【分析】根据题意易得f（x）为奇函数，从而可得b＝d＝0，进而可用导数的几何意义，即可求解．【解答】解：因为数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）过B，C，且B，C关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b＝d＝0，所以f（x）＝ax3+cx，所以f′（x）＝3ax2+c，又B处的切线方程为y+1=−1+3−1+2（x+1），即为y＝2所以f′(−1)=3a+c=2f(−1)=−a−c=−1，解得a＝c=所以f（x）=1故答案为：12【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．15．（5分）一组单调不减的数据a1，a2，a3，…，an（n≥3）（即a1≤a2≤a3≤⋯≤an），满足a1≠an，记这组数据a1，a2，a3，…，an的方差为D；数据a2，a3，…，an的有差为D1；数据a1，a2，a3，…，an﹣1的方差为D2；数据a2，a3，…，an﹣1的方差为D3．给出下列四个结论：①存在单调不减的数据，使得D＞D1；②存在单调不减的数据，使得D1＝D2；③存在单调不减的数据，使得D＝D2；④对任意单调不减的数据，都有D＞D3．其中正确结论的序号是①②③．【分析】通过特征值举例的方法逐一验证【解答】解：对于①，令a1＝1，a2＝100，a3＝100，数据a1＝1，a2＝100，a3＝100的平均数为1+100+1003∴13[（1−2013）2+2（100−数据a2＝100，a3＝100的平均数为100+1002D1=12[2（100﹣100）∴D＞D1，∴存在单调不减的数据，使得D＞D1，故①正确；对于②，令a1＝1，a2＝2，a3＝3，数据a2＝2，a3＝3的平均数为12（2+3）=∴D1=(2−数据a1＝1，a2＝2的平均数为12（1+2）=∴D2=12[（1−32）2+（2−32）2]=1∴存在单调不减的数据，使得D1＝D2，故②正确；对于③，令a1＝0，a2＝2，a3＝x，（x≥2），数据a1＝0，a2＝2，a3＝x的平均数为x+23∴D=13[（0−x+23）2+（2−x+23）2数据a1＝0．a2＝2的平均数为0+22∴D2=12[（0﹣1）2+（2﹣1）若D＝D1，则13[（0−x+23）2+（2−x+23）2+（整理得2x2﹣4x﹣1＝0，解得x=4±2当x=4+264=1+62∴存在单调不减的数据，使得D＝D2，故③正确；对于4，令a1＝﹣1，a2＝﹣1，a3＝1，a4＝1，数据a1＝﹣1，a2＝﹣1，a3＝1，a4＝1的平均数为14∴D=14[2（﹣1﹣0）2+2（1﹣0）数据a2＝﹣1，a3＝1的平均数为12∴D3=12[（﹣1﹣0）2+（1﹣0）此时D＝D3，故④错误．故选：①②③．【点评】本题考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否相互独立，已知甲、乙、丙这3台机器的产品合格率分别为34，45，（Ⅰ）从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率；（Ⅱ）从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合格的概率；（Ⅲ）若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，求这件产品合格的概率．【分析】（Ⅰ）根据题意，由相互独立事件概率的乘法公式计算可得答案；（Ⅱ）根据题意，由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件概率的乘法公式计算可得答案；（Ⅲ）根据题意，由全概率公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，甲机器的产品合格率为34从甲机器生产的产品中任取2件产品，2件产品都合格的概率P=3（Ⅱ）根据题意，设从甲机器生产的产品中任取1件，该产品为合格品为事件A，从乙机器生产的产品中任取1件，该产品为合格品为事件B，从丙机器生产的产品中任取1件，该产品为合格品为事件C，则P（A）=34，P（B）=45，P（则要求概率P＝P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=34×45×（1−35）+3（Ⅲ）根据题意，若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，任取一件产品，设该产品是甲生产的为事件D1，是乙生产的为事件D2，是丙生产的为事件D3，这件产品合格为事件E，则P（E）＝P（D1）P（E|D1）+P（D2）P（E|D2）+P（D3）P（E|D3）=1【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题．17．（14分）已知函数f(x)=1（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）若函数f（x）在（a，+∞）上存在最小值，求a的取值范围．【分析】（I）计算出f（﹣3）＝﹣9，求导，得到f'（﹣3）＝12，利用导数的几何意义求出切线方程；（Ⅱ）求导，得到函数单调性，进而求出极值情况；（Ⅲ）由（Ⅱ）得到函数单调性，结合f（3）＝f（﹣3）＝﹣9，得到a的取值范围．【解答】解：（I）f(−3)=1f'（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），故f'（﹣3）＝（﹣3﹣3）×（﹣3+1）＝12，故y＝f（x）在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为y+9＝12（x+3），即12x﹣y+27＝0；（Ⅱ）令f′（x）＝（x﹣3）（x+1）＞0，得x＞3或x＜﹣1，令f'（x）＜0，得﹣1＜x＜3，故f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上单调递增，在（﹣1，3）上单调递减，故f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝3处取得极小值，极大值为f(−1)=−13−1+3=（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上单调递增，在（﹣1，3）上单调递减，且f（3）＝f（﹣3）＝﹣9，要想f（x）在（a，+∞）上存在最小值，故﹣3≤a＜3．【点评】本题考查利用导数求解函数的极值与求解在某点上的切线方程，属于中档题．18．（13分）在某校运动会射击项目中只有甲、乙．丙三名同学参加射击比赛，共比赛20轮，每轮比赛3名同学各射击1次，规定每轮比赛射击环数最高者获胜．本次射击比赛中甲、乙、丙的前10轮比赛成绩（单位：环）统计如下：轮次12345678910甲10.210.710.010.29.98.810.110.2979.5乙8.610.49.49.79.88.810.09.410.610.4丙6.58.57.79.78.510.38.77.510.58.5用频率估计概率，假设甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”．依据表中的数据，估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数；（Ⅱ）从前10轮比赛中随机选择3轮，设X表示乙获胜的轮数，求X的分布列和数学期望E（X）；（Ⅲ）记第5轮到第10轮比赛中甲、乙、丙的比赛成绩分别为ai，bi，ci．（t＝5，6，7，8，9，10）．定义统计量：dadbdc请直接写出da，db，dc的大小关系，【分析】（I）由题意可得甲“命中靶心”的概率为610（Ⅱ）乙前10轮比赛中只有第10获胜，其余9轮均没有取得胜利，故随机变量X的值为0，1，利用超几何分布可求分布列，进而可求期望；（Ⅲ）计算da，db，dc的值即可．【解答】解：（I）甲前10轮比赛中“命中靶心”的次数为6次，所以甲“命中靶心”的概率为610所以估计甲在后10轮比赛中“命中靶心”的轮数为10×3（Ⅱ）乙前10轮比赛中只有第9，10获胜，其余8轮均没有取得胜利，故随机变量X的值为0，1，2，所以P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=1)=C所以X的分布列为：x012P77151所以E(X)=0×7（Ⅲ）由题意得a10＝9.5，a9＝9.7，a8＝10.2，a7＝10.1，a6＝8.8，a5＝9.9，所d=1由题意可得b10＝10.4，b9＝10.5，b8＝9.4，b＝10.0，b6＝8.8，b5＝9.8，所以d=1由题意可得c10＝8.5，c9＝10.5，c8＝7.5，c7＝8.7，c6＝10.3，c5＝8.5，所以d=1所以da＜db＜dc．【点评】本题考查离散型随机变量的均值（数学期望）与概率的乘法公式，属于中档题．19．（15分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（1，0）的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N（均异于点P）．若直线PM，PN的斜率互为相反数，求直线l的方程．【分析】（I）根据给定条件，求出a，b即可得椭圆方程；（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解．【解答】解：（I）由椭圆C：x2a2则b=3由椭圆C的离心率为12，得则a＝2，所以椭圆C的方程为x2（Ⅱ）依题意，直线l的斜率存在，设方程为y＝k（x﹣1），由y=k(x−1)3x2+4y2=12消去y得（4k2+3）x2﹣8设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x直线PM，PN的斜率分别为kPM=y1−32x1得y1−3整理得2kx则2k⋅4k2所以直线l的方程为y=12(x−1)，即x【点评】本题考查直线与椭圆的综合，属于中档题．20．（15分）已知函数f(x)=1+x+ax2（Ⅰ）讨论函数y＝f（x）的单调性；（Ⅱ）若a＝1，t＜0，设曲线y＝f（x）在点A（t，f（t））处的切线交x轴于点B．（i）求出点B的横坐标（用t表示）；（ii）已知点H在x轴上，且AH⊥x轴，求证：存在唯一的点A（t，f（t）），使得△AHB为等腰直角三角形．【分析】（Ⅰ）对函数求导，分类讨论研究单调性；（Ⅱ）（i）求导，求出切线方程，令横坐标等于0，求出B的横坐标；（ii）△AHB为等腰直角三角形时，AH＝HB，则|1+t+t2et|=|t2+t+1t2−t|，即et＝t2﹣t，构造函数【解答】解：（Ⅰ）f(x)=1+x+ax2exf′(x)=(1+2ax)令f′（x）＝0，则x=0或2−1当0=2−1a时，即a=12，此时f′（x）≤0，所以f（当0＞2−1a时，即0＜a＜12，当x＜2−1a时，f′（当2−1a＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞0时，f′（x）＜0，f所以f（x）在（﹣∞，2−1a），（0，+∞）上单调递减，f（x）在当0＜2−1a时，即a＞12，当x＜0时，f′（x）＜0，当0＜x＜2−1a时，f′（x）＞0，f（当x＞2−1a时，f′（x）＜0，f（所以f（x）在（﹣∞，0），(2−1a，+∞)上单调递减，f（x综上：当a=12时，f（x）在当a＞12时，f（x）在（﹣∞，0），（2−1当0＜a＜12时，f（x）在(−∞，2−1a)，（0，+∞）上单调递减，f（Ⅱ）（i）当a＝1时，f(x)=1+x+x2ex，f当x＝t时，f（t）=1+t+t2所以曲线y＝f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为y−1+t+令y＝0，则x=t3+t+1所以点B的横坐标t3（ii）证明：A(t，1+t+t2已知点H在x轴上，且AH⊥x轴，所以H（t，0），若△AHB为等腰直角三角形，则AH＝