小学六年级数学上册第四单元《比》知识清单（填空题八大题型专项）

小学六年级数学上册第四单元《比》知识清单（填空题八大题型专项）一、比的意义与各部分关系题型（一）知识梳理【基础】★比的定义：两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。用比的前项除以比的后项所得的商，叫做比值。【重要】★比与除法、分数之间存在紧密的联系，但也有本质区别：1、联系：比的前项相当于除法中的被除数、分数中的分子；比号相当于除号、分数线；比的后项相当于除法中的除数、分数中的分母；比值相当于除法中的商、分数中的分数值。2、区别：除法是一种运算，分数是一个数，而比表示两个量之间的倍数关系。【难点】★比的后项不能为0。在体育比赛中的比分（如2：0）只是一种计分形式，不表示两个数相除的关系，不属于数学意义上的比。（二）典例精讲【例1】填空：5÷8=（）：（）=。【解析】根据比与除法的关系，被除数相当于比的前项，除号相当于比号，除数相当于比的后项，所以5÷8=5：8。根据比与分数的关系，比的前项相当于分子，比的后项相当于分母，所以5：8=。因此答案为5，8，。【答案】5；8；【例2】填空：=（）÷24=15：（）。【解析】先将化成最简分数为，根据分数与除法的关系，=3÷4。再根据商不变的性质，3÷4=（3×6）÷（4×6）=18÷24。根据分数与比的关系，=3：4，再根据比的基本性质，3：4=（3×5）：（4×5）=15：20。因此答案为18，20。【答案】18；20【例3】判断：一场足球赛的上半场比分是1：0，这是一个比。（）【解析】体育比赛中记录的比分，只表示比赛双方的得分情况，不表示两个数相除的关系，因此不是数学意义上的比。【答案】×（三）专项精练1、填空：6：（）==12÷（）=（填小数）。2、填空：甲数是乙数的1.2倍，甲数与乙数的比是（），乙数与甲数的比是（）。3、填空：把10克糖溶解在90克水中，糖与水的质量比是（），糖与糖水的质量比是（）。4、填空：在3：8中，比的前项是（），后项是（），比值是（）。5、判断：既可以看作是一个分数，也可以看作是一个比。（）6、判断：比的后项可以是任何整数。（）二、比的基本性质与化简比题型（一）知识梳理【基础】★比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这叫做比的基本性质。【高频考点】★化简比：把两个数的比化成最简单的整数比（即比的前项和后项只有公因数1）。【重要】★化简比的方法：1、整数比的化简：比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。2、分数比的化简：方法一：比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，先转化成整数比，再进行化简。方法二：用前项除以后项求出比值，再把比值写成比的形式。3、小数比的化简：方法一：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数，转化成整数比，再进行化简。方法二：先把小数化成分数，再按照分数比的化简方法进行化简。【难点】★化简比与求比值的区别：化简比的结果必须是一个比（即使写成分数形式，也读作几比几），而求比值的结果是一个数（可以是整数、小数或分数）。（二）典例精讲【例1】化简下列各比：（1）24：36（2）：（3）0.45：0.3【解析】（1）24和36的最大公因数是12，24÷12=2，36÷12=3，所以24：36=2：3。（2）方法一：和的分母分别是5和4，最小公倍数是20，×20=8，×20=5，所以：=8：5。方法二：=÷=×=，所以：=8：5。（3）方法一：0.45和0.3的小数点同时向右移动两位，变成45：30，45和30的最大公因数是15，45÷15=3，30÷15=2，所以0.45：0.3=3：2。方法二：0.45=，0.3=，：=：=（×20）：（×20）=9：6=3：2。【答案】（1）2：3；（2）8：5；（3）3：2【例2】填空：在3：4中，如果前项乘2，要使比值不变，后项应该（）；如果后项加上12，要使比值不变，前项应该（）。【解析】根据比的基本性质，前项乘2，要使比值不变，后项也应该乘2，即变成8。后项加上12，4+12=16，相当于后项乘4（16÷4=4），所以前项也应该乘4，3×4=12，相当于前项加上9（123=9）。【答案】乘2（或加上4）；乘4（或加上9）【例3】填空：把0.6：化成最简整数比是（），比值是（）。【解析】化简比：0.6=，：=：=（×15）：（×15）=9：10。求比值：9：10=9÷10=0.9或。【答案】9：10；0.9（或）（三）专项精练1、化简下面各比：（1）18：24=（2）2.5：0.45=（3）：=（4）0.75：=2、填空：把5：12的前项加上10，要使比值不变，后项应该加上（）。3、填空：2：3=（）：6=10：（）==（）（填小数）。4、判断：比的前项和后项同时乘一个相同的数，比值不变。（）5、填空：0.125：化成最简整数比是（），比值是（）。三、按比例分配题型（和的关系）（一）知识梳理【基础】★按比例分配：把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法叫做按比例分配。【高频考点】★按比例分配问题的解题方法：1、分数法：先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后用总量乘各部分量所占的几分之几，求出各部分量。2、归一法：先求出总份数，再用总数量除以总份数，求出每份是多少，最后用每份数乘各部分所占的份数，求出各部分量。【重要】★解题关键：找准总数量与总份数的对应关系。（二）典例精讲【例1】一个长方形的周长是48厘米，长与宽的比是5：3。这个长方形的长和宽各是多少厘米？【解析】长方形周长=（长+宽）×2，所以长与宽的和=周长÷2=48÷2=24（厘米）。总份数：5+3=8份。分数法：长占，长=24×=15（厘米）；宽占，宽=24×=9（厘米）。归一法：每份长度：24÷8=3（厘米），长：3×5=15（厘米），宽：3×3=9（厘米）。【答案】长15厘米，宽9厘米【例2】一种混凝土是由水泥、沙子和石子按2：3：5的比例混合而成。要配制这样的混凝土20吨，需要水泥、沙子和石子各多少吨？【解析】总份数：2+3+5=10份。水泥占，水泥：20×=4（吨）；沙子占，沙子：20×=6（吨）；石子占，石子：20×=10（吨）。或用归一法：每份：20÷10=2（吨），水泥：2×2=4（吨），沙子：2×3=6（吨），石子：2×5=10（吨）。【答案】水泥4吨，沙子6吨，石子10吨【例3】甲、乙、丙三个数的平均数是60，甲、乙、丙三个数的比是3：4：5。甲、乙、丙三个数各是多少？【解析】三个数的和=平均数×3=60×3=180。总份数：3+4+5=12份。每份：180÷12=15，甲：15×3=45，乙：15×4=60，丙：15×5=75。【答案】甲45，乙60，丙75（三）专项精练1、一个三角形三个内角的度数比是2：3：4，这个三角形的三个内角分别是多少度？它是一个什么三角形？2、学校把栽210棵树的任务，按照六年级三个班的人数分配给各班。一班有46人，二班有44人，三班有50人。三个班各应栽树多少棵？3、用48厘米长的铁丝围成一个长方体框架（接头处忽略不计），长、宽、高的比是3：2：1。这个长方体的长、宽、高分别是多少厘米？四、按比例分配题型（差的关系）（一）知识梳理【难点】★已知两个量的比和它们的差，求各分量或总量。解题关键：先找出相差的份数，再求出每份是多少，然后求出各分量或总量。公式：每份数=相差的数量÷相差的份数（二）典例精讲【例1】果园里苹果树和梨树的棵数比是7：4，苹果树比梨树多60棵。苹果树和梨树各有多少棵？【解析】苹果树比梨树多74=3份，这3份对应60棵，所以每份：60÷3=20（棵）。苹果树：20×7=140（棵），梨树：20×4=80（棵）。【答案】苹果树140棵，梨树80棵【例2】某工厂男工人数与女工人数的比是8：5，男工比女工多36人。这个工厂一共有多少人？【解析】男工比女工多85=3份，对应36人，每份：36÷3=12（人）。总份数：8+5=13份，总人数：12×13=156（人）。【答案】156人（三）专项精练1、甲、乙两数的比是9：7，甲数比乙数多12，甲、乙两数各是多少？2、红花和黄花一共有72朵，红花与黄花的比是5：3。红花比黄花多多少朵？3、学校图书馆买来一批书，其中科技书和文艺书本数的比是5：6，文艺书比科技书多60本。两种书各买了多少本？五、连比与化连比题型（一）知识梳理【拓展】★连比：三个或三个以上的数组成的比叫做连比，如a：b：c。【重要】★化连比的方法：已知甲：乙和乙：丙，求甲：乙：丙。关键是找到中间量（乙）在两个比中的份数的最小公倍数，利用比的基本性质将两个比中乙的份数化成相同的数。（二）典例精讲【例1】已知甲：乙=2：3，乙：丙=4：5，求甲：乙：丙。【解析】甲：乙=2：3=8：12（乙的3和4的最小公倍数是12，3×4=12，2×4=8）乙：丙=4：5=12：15（4×3=12，5×3=15）所以甲：乙：丙=8：12：15。【答案】8：12：15【例2】已知a：b=3：4，a：c=2：5，求a：b：c。【解析】a在两个比中分别是3份和2份，3和2的最小公倍数是6。a：b=3：4=6：8，a：c=2：5=6：15。所以a：b：c=6：8：15。【答案】6：8：15（三）专项精练1、已知x：y=2：5，y：z=3：7，求x：y：z。2、甲数和乙数的比是4：5，乙数和丙数的比是3：7，甲、乙、丙三个数的比是多少？3、如果A：B=3：5，A：C=6：7，那么B：C=（）。六、比与分数、百分数综合题型（一）知识梳理【热点】★比与分数、百分数的相互转化：1、甲是乙的几分之几（百分之几）=甲÷乙=甲：乙2、甲比乙多几分之几（百分之几）=（甲乙）÷乙=（甲：乙1）3、甲比乙少几分之几（百分之几）=（乙甲）÷乙=（1甲：乙）【重要】★找准单位“1”，单位“1”通常是比的后项或分母。（二）典例精讲【例1】填空：甲数是乙数的，甲数与乙数的比是（），乙数与甲数的比是（），甲数比乙数少（），乙数比甲数多（）。【解析】甲数是乙数的，把乙数看作5份，甲数就是4份。所以甲：乙=4：5，乙：甲=5：4。甲比乙少（54）÷5=1÷5=，乙比甲多（54）÷4=1÷4=。【答案】4：5；5：4；；【例2】填空：某班男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（）。【解析】男生比女生多，把女生人数看作5份，则男生比女生多1份，男生就是5+1=6份。所以男生：女生=6：5。【答案】6：5（三）专项精练1、填空：一本书已经看了，已看页数与总页数的比是（），剩下页数与已看页数的比是（）。2、填空：六（1）班男生人数是女生人数的80%，男生人数与女生人数的比是（），男生人数占全班人数的（）。3、填空：甲数比乙数多25%，甲数与乙数的比是（），乙数比甲数少（）%。七、比在行程问题中的应用题型（一）知识梳理【应用】★行程问题中的比的关系：1、时间相同时，路程比等于速度比。2、速度相同时，路程比等于时间比。3、路程相同时，速度比等于时间的反比（即速度比=时间的倒数比）。【重要】★相遇问题中，时间相同时，路程比等于速度比。（二）典例精讲【例1】填空：从甲地到乙地，小明要用10分钟，小刚要用8分钟。小明和小刚的速度比是（）。【解析】路程相同，速度与时间成反比。小明时间：小刚时间=10：8=5：4，所以小明速度：小刚速度=4：5。【答案】4：5【例2】填空：甲、乙两人同时从A地出发到B地，甲的速度是乙的1.2倍，甲、乙两人所用时间的比是（）。【解析】路程相同，速度与时间成反比。甲速度：乙速度=1.2：1=6：5，所以甲时间：乙时间=5：6。【答案】5：6（三）专项精练1、填空：一辆汽车3小时行驶180千米，这辆汽车行驶的路程与时间的比是（），比值是（），这个比值表示（）。2、填空：从学校到图书馆，小红要行15分钟，小芳要行20分钟。小红和小芳的速度比是（）。3、填空：客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，相遇时客车和货车所行路程的比是5：4。客车和货车的速度比是（）。八、比在几何图形中的应用题型（一）知识梳理【拓展】★平面图形中的比：1、长方形：长与宽的比→周长比、面积与边长比的平方关系。2、正方形：边长比=a：b→周长比=a：b→面积比=a²：b²。3、圆：半径比=r₁：r₂→直径比=r₁：r₂→周长比=r₁：r₂→面积比=r₁²：r₂²。4、三角形：等底时，面积比等于高的比；等高时，面积比等于底的比。【难点】★相似图形中，面积比等于对应边长比的平方，体积比等于对应边长比的立方。（二）典例精讲【例1】填空：两个圆的半径比是2：3，它们的直径比是（），周长比是（），面积比是（）。【解析】直径=半径×2，所以直径比等于半径比，即2：3。周长=2πr，所以周长比也等于半径比，即2：3。面积=πr²，所以面积比等于半径的平方比，即2²：3²=4：9。【答案】2：3；2：3；4：9【例2】填空：两个正方形的边长比是3：5，它们的周长比是（），面积比是（）。【解析】周长=边长×4，所以周长比等于边长比，即3：5。面积=边长×边长，所以面积比等于边长的平方比，即3²：5²=9：25。【答案】3：5；9：25【例3】一个平行四边形和一个三角形的底相等，它们的高的比是1：2，它们的面积比是（）。【解析】设底为a，平行四边形的高为h，则三角形的高为2h。平行四边形面积=a×h=ah，三角形面积=×a×2h=ah。所以面积比=ah：ah=1：1。【答案】1：1（三）专项精练1、填空：大圆和小圆的直径比是4：3，大圆和小圆的半径比是（），周长比是（），面积比是（）。2、填空：两个正方体的棱长比是2：5，它们的表面积比是（），体积比是（）。3、填空：一个长方形长与宽的比是5：3，这个长方形的长是25厘米，宽是（）厘米，周长是（）厘米。九、高频易错题型专项诊断（一）概念混淆型【例1】判断：比值是0.5的比只有一个。（）【典型错误】√【错因分析】没有理解比的意义。比值是0.5的比有无数个，如1：2、2：4、3：6……只要比的前项除以后项等于0.5即可。【正确解法】×【例2】判断：最简整数比的前项和后项一定都是质数。（）【典型错误】√【错因分析】最简整数比是指前项和后项的公因数只有1，即互质，但不一定都是质数，如8：9，8和9都是合数，但互质。【正确解法】×（二）单位不统一型【例3】化简比：0.5米：20厘米。【典型错误】0.5：20=5：200=1：40【错因分析】没有统一单位就进行化简。0.5米=50厘米，所以50厘米：20厘米=50：20=5：2。【正确解法】5：2（三）按比例分配条件误判型【例4】一个长方形的周长是36厘米，长与宽的比是5：4，这个长方形的面积是多少？【典型错误】长：36×=20（厘米），宽：36×=16（厘米），面积：20×16=320（平方厘米）。【错因分析】误把周长当作长与宽的和。长方形的周长=（长+宽）×2，所以长与宽的和=周长÷2=18厘米。长：18×=10（厘米），宽：18×=8（厘米），面积：10×8=80（平方厘米）。【正确解法】80平方厘米（四）比的基本性质应用错误型【例5】填空：3：8的前项加上6，要使比值不变，后项应加上（）。【典型错误】6【错因分析】前项加上6，3+6=9，相当于前项乘3，所以后项也应乘3，8×3=24，后项应加上248=16。不能直接加同一个数。【正确解法】16（五）特殊情境理解错误型【例6】判断：一场篮球比赛的比分是78：65，化简后是78：65。（）【典型错误】√【错因分析】体育比赛中的比分不是数学意义上的比，不能化简，化简后失去实际意义。【正确解法】×十、综合能力测评与思维拓展（一）综合填空题1、填空：0.125=（）：32=15÷（）==（）（填小数）。2、填空：大正方形与小正方形的边长比是4：3，大正方形与小正方形的周长比是（），面积比是（）。3、填空：一个三