基于真实问题解决的数学建模：小学六年级“比例的应用”单元整体教学设计与实施

基于真实问题解决的数学建模：小学六年级“比例的应用”单元整体教学设计与实施

  单元整体分析与规划

  一、单元内容本质与结构分析

  本单元隶属于“数与代数”领域，核心内容是比例的应用。从数学知识发展的内在逻辑看，学生此前已经理解了比的意义和基本性质，掌握了化简比和求比值的方法，认识了比例的意义和基本性质，能够解比例。本单元的学习，是引导学生将已形成的“比例”概念及解比例技能，迁移到真实世界的具体情境中，构建数学模型，解决实际问题。其本质是培养学生运用数学的思维方式，对现实世界中存在的数量关系进行抽象、建模、求解和解释的能力，是发展学生模型意识、应用意识和创新意识的关键载体。

  本单元的知识结构并非孤立的知识点罗列，而是围绕“比例关系”这一核心概念展开的、层层递进且相互关联的问题解决网络。其内在逻辑主线为：识别现实问题中的比例关系→建立比例模型（列比例式）→求解模型（解比例）→验证并解释结果的实际意义。具体应用情境主要涵盖三大经典类型：1.按比分配问题：将总量按给定比例分割，其数学模型是比例求和后的归一化分配，是比例与分数、整数运算的综合。2.比例尺问题：涉及图上距离、实际距离与比例尺三者之间的比例关系，是空间图形与数量关系的结合，是学生理解缩放、度量与表示的基础。3.正、反比例解决问题：基于两种相关联的量是成正比例还是反比例关系来建立模型，解决诸如行程、工程、购物等复杂情境问题，是函数思想的初步渗透。

  二、学习者（六年级学生）认知特征与学情分析

  六年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。他们的认知特点表现为：抽象逻辑思维能力开始显著发展，但仍需具体经验或直观表象的支撑；具备一定的归纳、演绎推理能力，能够理解和构建简单的数学模型；知识整合与迁移应用的意愿增强，乐于挑战具有现实意义的复杂任务。

  在知识储备上，学生已经牢固掌握了分数、百分数、小数的互化与运算，熟练运用常见数量关系（如速度×时间=路程、单价×数量=总价等），这为理解比例关系提供了丰富的“关系原型”。在技能上，解比例的技能已初步形成。然而，潜在的认知障碍可能存在于：1.关系识别障碍：在信息冗余或结构复杂的真实情境中，准确判断两种量是否成比例、成何种比例存在困难。2.模型建立障碍：从文字叙述到数学符号（比例式）的转换不熟练，特别是如何正确排列对应项。3.意义理解障碍：对比例解得的数值的实际意义理解模糊，尤其是比例尺、按比分配结果所代表的现实含义。4.策略固化障碍：倾向于套用固定题型解法，面对新颖、综合的实际问题时，缺乏灵活运用比例思想进行主动建模的策略。

  三、基于核心素养的单元学习目标

  依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对本学段“数量关系”主题的要求，聚焦学生核心素养的发展，设定以下单元学习目标：

  1.模型意识与应用意识：能在真实问题情境中（如地图阅读、配方调整、资源分配、规划预算等），主动发现并抽象出数量之间的比例关系，建立比例模型（方程），感受数学模型的普适价值。

  2.推理能力：能清晰阐述判断两种量成正比例或反比例关系的逻辑依据（比值一定或乘积一定），并能基于此进行合理论证，列出正确的比例式并求解。

  3.几何直观与空间观念（侧重比例尺部分）：借助图形、图表理解比例尺的意义，能进行图上距离、实际距离和比例尺的互算，并能在简单平面图上进行测量与估算，发展空间想象力。

  4.运算能力与数感：熟练、准确地解比例，并能对运算结果的合理性进行估计和判断，理解结果在具体情境中的实际意义。

  5.创新意识与跨学科视野：尝试运用比例思想解决科学、艺术、社会等跨学科领域的简单问题（如绘制简单平面图、调配溶液浓度、理解金融中的杠杆等），体验数学工具的强大功能。

  四、单元整体教学框架与课时安排

  本单元设计打破传统分课时孤立教学的模式，采用“大任务驱动，分阶段推进”的单元整体教学结构。以一个贯穿始终的核心项目——“为我们未来的‘生态教室’进行规划设计”——统领整个单元的学习。项目分解为若干子任务，对应不同的课时和知识内容，使知识学习、技能训练与问题解决融为一体。

  核心项目简介：假设班级获得一笔资金，可以改造或新建一间“生态教室”（集植物角、环保展示、阅读区于一体的多功能空间）。学生需要以小组为单位，完成从规划、设计到预算的完整方案。

  课时安排（共计8课时）：

  *第1-2课时：生态教室的“黄金布局”——学习按比分配。任务：根据教室功能区规划（种植区、展示区、阅读区的面积比），计算各区域具体面积，并进行初步布局设计。

  *第3-4课时：绘制我们的设计蓝图——学习比例尺。任务：在A3纸上绘制生态教室的平面设计图，学习确定、应用和计算比例尺。

  *第5-6课时：精打细算的采购员——学习用比例解决实际问题（正、反比例）。任务：根据预算和市场信息，计算购买不同规格花盆、肥料、板材等的花费与最优选择。

  *第7课时：方案优化与问题解决工作坊。针对项目中出现的复杂、非常规比例问题进行专题研讨与解决。

  *第8课时：“生态教室”规划方案答辩会。小组展示、交流与评价。

  五、评价设计

  采用“过程性评价与终结性评价相结合”、“量化评价与质性评价相结合”的多维评价体系。

  1.过程性评价：

    *课堂观察记录：关注学生在小组讨论、问题探究中识别数量关系、提出假设、参与建模的活跃度与思维深度。

    *学习单与工作纸：分析学生在各任务阶段完成的导学案、草图、计算过程，评估其建模步骤的规范性、策略的多样性和结果的准确性。

    *项目日志：学生记录本组在项目推进中遇到的问题、解决思路及反思，评价其元认知能力与协作精神。

  2.终结性评价：

    *项目成果评价：对最终的“生态教室”规划方案（包括设计图、预算表、说明书）进行综合评价，制定量规（Rubric），涵盖数学应用的准确性、设计的合理性、创新性、呈现的清晰度等维度。

    *纸笔测评：设计一份侧重于应用与理解的单元测评卷，包含基础性、综合性和挑战性题目，考察学生对比例应用核心思想的掌握和迁移能力。

  教学实施过程详案

  第1-2课时：生态教室的“黄金布局”——学习按比分配

  （一）课时目标

  1.在真实的分区规划任务中，理解按比分配问题的结构与意义。

  2.掌握按比分配的基本解题思路与方法（先求总份数，再求各部分占总数的几分之几），并能灵活运用。

  3.能对分配方案进行合理性检验，并提出优化建议，初步感受比例在优化决策中的作用。

  （二）教学资源准备

  1.多媒体课件：展示空教室图片、不同功能区设想图。

  2.学习任务单（一）：包含教室原始尺寸、功能区比例要求、计算区域、布局草图绘制区。

  3.实物道具：可粘贴的区域标签卡片（种植、展示、阅读）、卷尺（备用）。

  4.小组合作记录板。

  （三）教学过程

  阶段一：情境导入，提出问题（时长：15分钟）

  1.项目启动：教师以激动人心的方式宣布“生态教室”规划项目，展示空教室照片和未来设想图，激发学生主人翁意识和参与热情。

  2.呈现核心任务：教师提出第一个挑战——“黄金布局”。出示信息：我们的教室长约10米，宽约8米，总面积80平方米。经过初步讨论，大家希望将教室划分为三个主要功能区：植物种植区、环保作品展示区和绿色阅读区。为了使布局科学美观，我们决定三个区域的面积比应遵循3:4:5。

  3.明确数学问题：教师引导提问：“根据这个比例，你能知道每个区域应该分配多少平方米吗？我们如何在图纸上或实际中划分出这些区域？”将现实问题转化为数学问题：将总量80平方米，按3:4:5的比例分配，求各部分量。

  4.初步猜想与困难暴露：让学生以小组为单位，先用自己的方法尝试解决。教师巡视，收集典型做法和普遍困惑。可能的原始方法有：尝试分割、平均分后调整等，这些方法可能低效或不精确，从而自然引发对系统方法的需求。

  阶段二：探究建模，构建方法（时长：35分钟）

  1.分享与聚焦：邀请不同策略的小组上台分享其思路。重点引导讨论两种主流思路：

    *思路A（先求每份数）：把总面积看作3+4+5=12份，先求出1份的面积：80÷12=20/3(平方米)，再分别求3份、4份、5份的面积。

    *思路B（转化为分数乘法）：先求出各部分占总面积的几分之几。种植区占3/(3+4+5)=1/4，展示区占1/3，阅读区占5/12。再用总面积分别乘这些分数。

  2.方法抽象与联结：教师引导学生比较两种方法。提问：“思路A中的‘一份’是实际存在的吗？它代表什么？”（是一个虚拟的度量单位）“思路B中的分数和比有什么关系？”（比的前项除以总份数即该部分占总量的分率）。总结：两种方法本质相通，都是先求出“总份数”，将比进行“归一化”处理。鼓励学生用自己喜欢的一种方法规范书写解题过程。

  3.验证与意义回归：计算出种植区20平方米，展示区80/3≈26.67平方米，阅读区100/3≈33.33平方米后，要求学生验证：三个面积之和是否为80？比值是否化简为3:4:5？引导学生将数字结果反馈到情境中：“20平方米的种植区大概有多大？我们可以放多少盆植物？”增强数感。

  4.变式与巩固：教师提出规划调整：“如果阅读区非常重要，我们希望它比种植区多15平方米，那么三个区的面积比应该是多少？各自的面积又是多少？”此问题逆转了已知条件和未知数，促进学生逆向思考，理解比与具体数量之间的关系。小组合作解决此变式问题。

  阶段三：方案设计与初步应用（时长：30分钟）

  1.布局草图绘制：各小组根据计算出的各区面积，在学习任务单的教室平面图上，尝试绘制布局草图。提醒学生考虑区域的形状（可以是长方形、L形等）、通道、门窗位置等实际因素，面积大小需符合计算结果。此环节将数字计算与几何空间结合。

  2.小组交流与优化：小组间巡回参观草图，提出质疑或建议。例如：“你的展示区是狭长条形，真的适合摆放作品吗？”“阅读区和种植区相邻，采光好吗？”促使学生思考面积分配之外的布局合理性，理解数学方案需要接受现实约束的检验和优化。

  3.小结与延伸：教师总结按比分配的核心步骤：找总量、定总份数、求一份量或分率、算各部分量。并提问：“生活中还有哪些地方用到按比分配？”学生举例：调配消毒水、分配奖金、混凝土的原料配比等。布置课后小调查：了解一种饮料或烹饪食谱中各种成分的配比。

  （四）教学反思与设计意图

  本课时以项目子任务驱动，将枯燥的按比分配计算融入富有意义的规划活动中。通过“暴露困难-探究方法-抽象模型-验证应用-设计优化”的完整流程，让学生亲历数学建模的过程。变式练习和布局设计环节，加深了学生对比例关系灵活性的理解，并自然融合了几何与实际问题解决的考量，超越了单纯的计算训练。

  第3-4课时：绘制我们的设计蓝图——学习比例尺

  （一）课时目标

  1.在绘制平面图的任务中，理解比例尺的意义、表示方法及其在现实世界中的作用。

  2.能熟练进行比例尺、图上距离、实际距离之间的互算，掌握利用比例式求解的方法。

  3.能根据图纸大小和实际物体大小，合理选择或计算比例尺，发展空间观念和实际应用能力。

  （二）教学资源准备

  1.多种比例尺的地图、建筑平面图、产品说明书中的尺寸图实物或图片。

  2.A3绘图纸、尺规、铅笔、彩笔。

  3.学习任务单（二）：包含比例尺知识导学、计算练习区、绘图步骤指南。

  4.电子地图软件截屏（可选，展示缩放功能）。

  （三）教学过程

  阶段一：感知必要性，理解概念（时长：25分钟）

  1.问题驱动：回顾上节课的布局草图，教师提问：“我们草图上画的1厘米，代表实际多长？每个小组的草图代表的意义一样吗？如果不统一，我们如何能准确理解彼此的方案，甚至让工人按图施工？”引出需要一种统一的标准来表示图上距离与实际距离的关系——比例尺。

  2.实例观察：分发或展示各种地图、平面图，让学生寻找其中的比例尺信息。观察其不同表示形式：线段式、数字式、文字式。重点理解数字比例尺（如1:100）的含义：“图上1厘米代表实际100厘米（1米）”。通过讨论，明确比例尺是一个比，表示图上距离与实际距离的比，通常前项化为1。

  3.概念辨析：设置辨析题：①比例尺是一种尺子吗？②比例尺1:1000和1000:1哪个是放大，哪个是缩小？③比例尺有单位吗？通过讨论，深化理解：比例尺是一个抽象的比值，无单位；比值小于1是缩小，大于1是放大（地图中通常为缩小比例尺）。

  阶段二：技能学习与计算演练（时长：35分钟）

  1.互算推理：以教室实际长10米（1000厘米），宽8米（800厘米）为例。假设我们要画在A3纸（长约42厘米）上，引导学生思考选择多大比例尺合适。尝试几个比例尺：1:50（图长=1000÷50=20厘米，可行），1:20（图长=50厘米，纸不够大）。让学生体验根据纸张大小选择比例尺的决策过程。

  2.方法建模：确定使用1:50的比例尺。教师引导学生用两种方法计算图上距离：

    *算术法：利用“图上距离=实际距离×比例尺”直接计算。1000厘米×(1/50)=20厘米。

    *比例法：设图上长为x厘米，根据比例尺定义列比例式：x:1000=1:50，解比例得x=20。

    强调比例法是更通用、更体现关系本质的方法，尤其当未知量位置变化时（如已知图上距离求实际距离）。

  3.分层练习：学习任务单上设计阶梯式计算题。

    *基础层：直接应用公式或比例进行互算。

    *综合层：结合按比分配知识。如：“教室长10米，在比例尺1:200的图上，长与宽的图上距离比是多少？”（仍是5:4，因为比例尺相同，图上距离之比等于实际距离之比）。

    *应用层：解决非常规问题。如：“一张照片长4英寸，宽6英寸，要放大成宽9英寸，放大后的长是多少？”（利用对应边成比例）。

  阶段三：绘图实践与误差分析（时长：40分钟）

  1.规范绘图：小组合作，按照选定的比例尺（如1:50），在A3绘图纸上规范绘制生态教室的平面轮廓。要求使用尺规，标注尺寸（图上距离和换算后的实际距离）、画出方向标、写出比例尺。

  2.内部布局细化：根据第一课时确定的各功能区面积，计算出它们在图纸上的大致形状和尺寸，用不同颜色或图案在平面轮廓内画出分区。

  3.测量验证与误差讨论：绘制完成后，用尺测量图纸上各关键距离，根据比例尺反算出实际距离，与原始数据对比。提问：“为什么会有细微误差？”引导学生讨论绘图操作误差（铅笔粗细、测量读数）、计算舍入误差等，理解数学精确性与实践操作性的关系，培养严谨态度。

  4.交流与评价：展示各小组的设计蓝图。开展互评：比例尺使用是否正确？标注是否清晰？布局是否合理美观？将数学准确性作为评价的重要标准。

  （四）教学反思与设计意图

  比例尺的学习紧密结合了“绘图”这一真实且富有成就感的任务。从理解概念的必要性，到技能的学习与计算，再到最终的绘图实践与误差分析，形成了一个完整的“理解-应用-创造”循环。将比例尺计算与几何绘图紧密结合，有效发展了学生的空间观念和动手能力。误差分析的环节，引入了对数学应用复杂性的初步认识，培养了批判性思维。

  第5-6课时：精打细算的采购员——学习用比例解决实际问题（正、反比例）

  （一）课时目标

  1.能在购物、预算等复杂情境中，准确判断两种相关联的量是成正比例还是反比例关系。

  2.能根据正、反比例的意义列出比例方程（乘积式或比值式），并解决实际问题。

  3.体验用比例策略优化决策的过程，如选择性价比高的购买方案。

  （二）教学资源准备

  1.模拟市场信息表：包含不同规格花盆的单价与数量关系、不同品牌肥料的价格与重量、板材的售价与面积等。

  2.项目预算总表模板。

  3.学习任务单（三）：包含正反比例关系判断指南、典型例题分析区、采购决策记录区。

  4.计算器（用于处理复杂数字）。

  （三）教学过程

  阶段一：关系判断与模型回顾（时长：20分钟）

  1.情境引入：“蓝图已绘好，接下来要采购物资了。我们有一笔总预算，需要购买花盆、肥料、板材等。市场上同种商品常有不同规格和包装，如何做出最经济的选择？这就需要利用比例关系来分析和计算。”

  2.关系辨析热身：呈现多组相关联的量，让学生判断是正比例、反比例还是不成比例。例如：①单价一定，总价与数量；（正）②总价一定，单价与数量；（反）③面积一定，长与宽；（反）④一个人的年龄与身高；（不成）⑤速度一定，路程与时间；（正）⑥路程一定，速度与时间；（反）。重点引导学生说出判断依据：看两个量的比值（商）一定还是乘积一定。

  3.模型对比：复习正比例关系模型：y/x=k(一定)，列比例式为y1/x1=y2/x2；反比例关系模型：x×y=k(一定)，列比例式为x1×y1=x2×y2。强调列式时对应关系要准确。

  阶段二：策略应用与问题解决（时长：50分钟）

  1.任务发布：发放“模拟市场信息表”和预算约束（如总预算2000元用于购买花盆和肥料）。花盆信息：小号盆每个5元；大号盆一箱8个，共36元。肥料信息：A品牌500克装，每袋15元；B品牌2千克装，每袋50元。板材信息：每平方米售价40元。

  2.小组探究：各小组需要完成：

    *任务A（正比例）：如果确定全部买小号花盆，200元能买多少个？如果买大号箱装盆，360元能买几箱？总共能得多少个盆？列比例式解决。

    *任务B（反比例/决策优化）：比较买小号盆和买大号盆。要买40个盆，买小号的和买大号的各自总价是多少？哪种方案更省钱？引导学生发现，当数量确定时，单价与总价成正比例，但比较不同规格需要计算“单价”。大号盆的单价=36÷8=4.5元，低于小号盆5元，因此大号盆更划算。此过程融合了求单价（除法）和用正比例算总价。

    *任务C（综合决策）：在预算内，如何搭配购买小号盆和大号箱装盆，使得买到的盆总数最多？这是一个简单的线性优化问题雏形，鼓励学生通过列表枚举、尝试调整比例来寻找最优解。

    *任务D（反比例应用）：如果用固定预算购买肥料，A品牌和B品牌能购买的重量分别是多少？理解“单价×数量=总价（一定）”是反比例关系，但这里更直接比较每元能买的重量（价值）。

  3.教师点拨：巡视中，重点指导判断关系困难的小组。集中讲解易错点：如“总工作量一定，工作效率和工作时间成反比”，在采购情境中，“总金额一定，单价和可购买数量成反比”。引导学生区分“单一规格内的比例关系”和“不同规格间的性价比比较”。

  阶段三：预算编制与汇报（时长：30分钟）

  1.编制初步预算：各小组根据探究结果，结合设计图中对物品数量的估算（如需要多少个花盆、多少平米板材），在预算总表模板上填写一项或两项主要物品的预算明细，计算小计。

  2.小组汇报策略：邀请小组汇报他们的采购决策逻辑。重点汇报：遇到了哪种比例关系？是如何列式解决的？最终选择基于哪些考量？（价格、数量、便利性等）

  3.总结提升：教师总结用比例解决实际问题的通用步骤：审题，识别关联量→判断比例关系→设未知数，列出比例方程→解比例，检验答案→回归情境，解释结果。强调比例是解决一类问题的有力工具，但最终决策还需结合实际情况。

  （四）教学反思与设计意图

  将正反比例的学习置于预算决策的真实财务情境中，极大地增强了学习的挑战性和实用性。任务设计具有层次性，从直接的正比例应用到需要略作转换的反比例应用，再到需要综合判断的优化决策，思维层次逐步提升。通过采购决策，学生不仅练习了比例解法，更初步接触了资源有限条件下的优化思想，为后续学习更复杂的数学模型埋下伏笔。

  第7课时：方案优化与问题解决工作坊

  （一）课时目标

  1.针对项目推进中遇到的复杂、非常规比例问题，进行深度探究与解决。

  2.发展从复杂情境中提取关键信息、灵活构建比例模型的能力。

  3.鼓励一题多解，在交流中拓宽解题思路，提升思维灵活性和批判性。

  （二）教学过程（以探究式、讨论式为主）

  1.问题征集与筛选：课前或课初，征集各小组在完成项目过程中遇到的、尚未解决的“疑难杂症”比例问题。教师从中筛选出2-3个具有代表性、思维价值高的问题。

  2.工作坊研讨：将全班分为几个大组，每个大组专注研究一个问题。

    *问题示例一（复合比例）：“我们的生态教室墙面需要粉刷一种环保涂料。已知涂料原液和水的比例是1:4。现在我们有5升原液，但工人建议为了更坚固，可以按1:3的比例调配。如果我们要调出和原来一样多的涂料总量，需要加入多少升原液或水？”此题涉及比例变化前后总量的守恒与调整，需要学生厘清多个量之间的关系。

    *问题示例二（比例与方程综合）：“购买装饰用的小彩灯，第一种每米5元，第二种每米8元。我们一共花了86元，且两种彩灯的长度比是3:2。两种彩灯各买了多少米？”此题需要将按比分配思想与方程思想结合，设未知数后利用总价关系列方程。

    *问题示例三（开放设计）：“阅读区的书架设计。我们希望书架的层高比是2:3（放矮书和高书的层）。如果书架总高1.8米，包括4层，每层高度分别是多少？（提示：需要分配的是总高度，但层数对应的份数需要根据比来推导）”此题需要学生理解比与份数在具体情境中的灵活对应。

  3.小组探究与解法共享：各小组分析问题、尝试建立模型、寻找解法。鼓励用多种方法（算术、比例、方程）。随后，各小组派代表上台讲解他们的解题思路和过程，其他小组提问、质疑或提供替代方案。

  4.教师提炼与归纳：教师全程参与讨论，在关键点进行追问和引导。最后，对研讨的问题进行方法论的提炼：如何应对信息复杂的问题？（画线段图、列表整理数据）如何将非标准比例问题转化为标准模型？（设未知数、寻找不变量）比例思想如何与其他数学思想（方程、函数）结合？

  第8课时：“生态教室”规划方案答辩会

  （一）课时目标

  1.综合展示本单元项目学习的最终成果，进行系统的梳理、表达与交流。

  2.在答辩与互评中，反思比例知识的应用过程，提升综合素养与沟通能力。

  3.体验项目完成的成就感，进一步激发数学学习兴趣和探索精神。

  （二）教学过程

  1.成果布展与准备：各小组将最终成果（包括设计蓝图、详细预算表、采购决策说明、项目日志摘要等）制成展板或PPT。小组成员分工准备讲解答辩。

  2.方案陈述：每个小组有8-10分钟展示时间，需重点阐述：①设计理念与布局（体现按比分配）；②设计图的比例尺与应用（体现比例尺计算）；③预算制定与关键采购决策（体现正反比例解决问题）；④项目过程中遇到的挑战及如何用数学方法解决。

  3.答辩与质疑：陈述结束后，其他小组和教师作为“评审团”进行提问。问题可围绕数学应用的准确性（“你们计算各区域面积时，总份数是多少？”）、方案的合理性（“选择1:50的比例尺，图纸能放下所有细节吗？”）、决策的经济性（“为什么认为买大箱花盆最划算？请用数据证明。”）等方面展开。答辩小组需回应。

  4.评价与总结：使用课前制定的评价量规，结合过程性评价记录，进行小组自评、互评和教师评价。评选“最佳设计奖”、“精打细算奖”、“数学应用严谨奖”等。最后，教师进行单元整体总结，高度肯定学生在项目中展现的数学建模能力和实践精神，将比例的应用价值升华到更广阔的科技、工程、经济领域，鼓励学生继续用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。

  单元作业设计（分层）

  基础巩固层（必做）：

  1.教材配套练习中关于按比分配、比例尺、正反比例解决问题的典型题目。

  2.编写一个生活中用到比例的小故事，并提出一个需要比例解决的问题。

  综合应用层（选做）：

  1.家庭测量项目：测量自己家客厅的长和宽，选择合适的比例尺绘制一张简单的平面图，并计算客厅的实际面积。

  2.厨房小实验：按照一个在线食谱（如蛋糕）的比例，尝试按比例缩减或扩大配方，制作一份家庭装或迷你装点心，并记录原料用量的变化过程。

  拓展挑战层（选做）：

  1.研究性学习：了解“黄金分割比”（约0.618:1）在建筑、艺术、设计中的应用，找一找身边符合黄金分割比的物品或图案，写一份简短的调查报告。

  2.数学建模小论文：尝试