2025-2026学年江苏省常州市高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省常州市高级中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.若复数（a+i）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A.2 B. C.- D.-22.数据1，2，4，5，7，9的第60百分位数为（）A.4 B.5 C.6 D.73.已知圆锥的底面面积为6π，体积为4π，则其母线长为（）A. B. C. D.4.设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A.若l⊥m，m∥α，则l⊥α B.若l∥β，α⊥β，则l⊥α

C.若l⊥m，m⊥β，α⊥β，则l⊥α D.若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α5.甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（）A. B. C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则（）

A. B. C. D.7.如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，CD⊥平面BCE，BC=EC，BC⊥EC，则AC和平面ABE所成角的正弦值为（）A.

B.

C.

D.8.在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，b2+c2-bc=3，则b-c的取值范围是（）A.（-1，1） B.（-1，1] C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数，则下列结论正确的有（）A.z对应的点在第四象限 B.

C.z的共轭复数为1-i D.z的虚部为110.下列值为的式子有（）A. B.

C. D.11.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱C1D1，A1D1，BC的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（）

A.平面PMN截正方体表面所得截面为五边形

B.平面PMN与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

C.若QB1与DB1的夹角为30°，则Q点的轨迹长度为π

D.若A1C1，B1D1交于O1，正方形A1B1C1D1的四个顶点绕着O1在上底面逆时针旋转45°得到一个十面体ABCD-EFGH（如图），则该十面体的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若，c=2，A=60°，则角C=

.13.已知某圆台的母线长为3，下底面的半径为1，若球O与该圆台的上、下底面及侧面都相切，则球O的表面积为______.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，3，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，4，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所得卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量，函数f（x）=2•-1.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）若，求的值.16.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，四边形AA1C1C是菱形，AC⊥BC，D，E分别是棱BB1，A1C1的中点.

（1）证明：AC1⊥平面A1BC.

（2）证明：DE∥平面A1BC.17.(本小题15分)

某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组[20，25），第二组[25，30），第三组[30，35），第四组[35，40），第五组[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求a的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄；

（2）现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，AC与BD交于点O.

（1）设平面SAB交平面SCD于直线l,求证：AB∥l；

（2）若，且M是棱SD的中点，点M到平面SAB，平面SBC，平面ABCD的距离分别为d1，d2，d3.求的值；

（3）若P，Q分别是线段SB、线段AC上的点，且满足，设PQ与SC所成的角为α，PQ与BD所成的角为β，求sinα+sinβ的最大值.19.(本小题17分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,∠ACB的角平分线交AB于D.

（1）若b=2a,求的值；

（2）若，证明：∠C=2∠A；

（3）若的三条角平分线相交于点O，AB=7，△OAB的面积为，求OC.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】BCD

10.【答案】ACD

11.【答案】BC

12.【答案】30°

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】π

16.【答案】∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，

BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面AA1C1C．

∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面AA1C1C．

∵四边形AA1C1C是菱形，∴A1C⊥AC1．

又AC1⊂平面AA1C1C，平面A1BC∩平面AA1C1C=A1C，

∴AC1⊥平面A1BC

取棱A1B1的中点F，连接DF，EF．

∵D，E分别是棱BB1，A1C1的中点，

∴DF∥A1B，EF∥B1C1．

∵BC∥B1C1，∴EF∥BC．

∵EF⊄平面A1BC，BC⊂平面A1BC，

∴EF∥平面A1BC，

同理由DF∥A1B，得DF∥平面A1BC．

∵DF∩EF=F，DF，EF⊂平面DEF，

∴平面DEF∥平面A1BC，

又DE⊂平面DEF，

∴DE∥平面A1BC

17.【答案】a=0.07

平均年龄为31.75；

18.【答案】因为AB∥CD，CD⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，所以AB∥平面SCD，

又因为AB⊂平面S