除法与加减法的混合运算：数量关系的理解与应用（苏教版三年级数学上册教案）

除法与加减法的混合运算：数量关系的理解与应用（苏教版三年级数学上册教案）

一、教学设计理念与理论框架

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心指导，立足于发展学生的数感、运算能力、推理意识、模型意识及应用意识。教学设计超越传统的“运算顺序”机械记忆，转向对“数量关系”的深度理解与灵活构建。我们秉持“数学即生活，生活即模型”的跨学科整合理念，将数学运算嵌入真实、复杂、富有意义的问题情境中，引导学生像“数学家”一样思考，像“问题解决者”一样行动。

核心理念：

1.理解性教学：将运算顺序规则内化为对数量关系逻辑的自然推理，避免“见题套法”的浅层学习。

2.情境结构化：创设连贯的、具有挑战性的项目式情境（如“校园文创小店运营记”），使零散的知识点在解决问题的链条中形成有机整体。

3.思维可视化：借助线段图、模型图、思维导图等工具，将内在的数量关系与运算选择过程外显，促进元认知发展。

4.差异化进阶：设计分层任务与开放性挑战，满足从基础巩固到创造性应用的不同学生需求，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。

二、学情深度分析

三年级学生正处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。

1.已有认知基础：学生已经熟练掌握了表内乘除法、两位数和三位数加减法，并在上一课时初步学习了“乘法和加减法”的混合运算，对“先乘除后加减”的运算顺序有了初步接触，但理解尚不稳固，尤其在除法的介入后容易产生混淆。

2.思维特征：思维以具体形象为主，开始具备初步的逻辑推理能力，但抽象概括和灵活迁移能力仍需依托直观情境和操作活动。他们对生活中的数量关系有朴素感知，但缺乏系统化的数学表达与建模能力。

3.潜在困难点：

1.4.运算顺序混淆：容易受到算式书写顺序的干扰，从左至右计算，尤其是当除法位于算式前部时（如48÷6+2

）。

2.5.数量关系剥离：将算式与具体情境脱节，无法根据情境意义验证或解释运算顺序的合理性。

3.6.逆序建模困难：根据分步计算或结果，逆向列出综合算式存在障碍。

7.发展增长点：通过本课学习，学生将从“会算”迈向“懂理”，初步建立用混合运算解决两步实际问题的数学模型，为后续学习复杂的四则混合运算和解决问题奠定坚实的思维基础。

三、教学目标（素养导向）

维度

具体目标

知识与技能

1.结合具体情境，理解和掌握含有除法和加、减法的两步混合运算的运算顺序，能正确进行计算。

2.能联系生活实际，用“先算……再算……”的句式清晰表达混合运算的思考过程。

3.能运用混合运算的知识解决简单的两步计算实际问题。

过程与方法

1.经历“发现问题—提出问题—分析数量关系—确定运算顺序—解决问题—检验反思”的完整过程，发展解决问题的能力。

2.学会运用画线段图、示意图等方法分析数量关系，将生活问题抽象为数学模型（综合算式）。

3.在小组合作与交流中，学会倾听、质疑、补充，优化解题策略。

情感态度与价值观

1.感受混合运算在实际生活中的广泛应用，体会数学的价值，增强学习兴趣。

2.养成认真审题、独立思考、严谨计算、自觉检验的良好学习习惯。

3.在挑战性任务中体验克服困难的成就感，培养合作探索的精神。

四、教学重难点

1.教学重点：理解并掌握含有除法和加、减法混合运算的运算顺序，并能正确计算。

2.教学难点：理解运算顺序规定的合理性，能根据具体情境中的数量关系灵活确定运算步骤，并列出正确的综合算式。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含情境动画、互动练习题）、实物投影仪、板书设计磁贴、小组任务卡、评价量表。

2.学生准备：学习单、数学草稿本、彩色笔、学具小棒（可选）。

3.环境创设：将教室布置为若干“学习社区”，便于小组合作探究。

六、教学过程实施（详细展开）

第一环节：情境导入，孕伏关系（预计时间：8分钟）

【情境创设：校园文创小店开业筹备】

课件播放一段简短的校园视频，引出背景：为迎接校庆，学校红领巾社团准备开设一个“文创小店”，出售同学们设计的书签、笔记本等。今天，我们一起成为小店的首批“运营官”，解决开张前遇到的数学问题。

【问题链激活旧知】

1.问题一（复习乘加混合）：小明负责采购。一种创意书签每包5元，他买了3包，又单独买了一支4元的文创笔，一共花了多少钱？

1.2.学生活动：独立列式解答。预计出现分步：5×3=15（元）

，15+4=19（元）

。教师引导学生列出综合算式：5×3+4

。

2.3.师生互动：追问：“为什么先算乘法？”引导学生用数量关系解释：“总价=书签的总价+笔的单价”，要求书签总价必须先算5×3

。

3.4.板书回顾：5×3+4=15+4=19

先算乘法，再算加法。

5.问题二（变式孕伏）：如果小明带了50元，买了3包同样的书签（每包5元）后，还剩多少元？

1.6.学生活动：快速口答算式50-5×3

，并说明运算顺序。

2.7.教师小结：在乘法和加减法的混合运算中，我们先算乘法，也就是先算出一个整体的数量（如总价），再与另一个数量相加减。

【设计意图】从贴近学生生活的连贯情境导入，避免知识的孤立呈现。通过复习乘加、乘减的混合运算，强化“先算乘法”的规则源于对“整体数量”先求解的需求，为类比迁移到“先算除法”做好认知和理据上的铺垫。

第二环节：探究新知，建构模型（预计时间：22分钟）

【核心任务驱动：进货预算中的新问题】

情境推进：小店经理小芳拿到了首批预算。她遇到了两个难题，需要我们“运营官”团队来解决。

1.探究活动一：除法与加法的混合

问题A：小店有80元用于采购笔记本。一种普通笔记本每本4元。如果先买15本这种笔记本，剩下的钱全部用来买一种更精美的“典藏版”笔记本，每本8元。可以买几本典藏版笔记本？

（为了降低初始难度，教师可先简化问题：先算出买15本普通笔记本花了多少钱，再求剩下的钱。）

简化后问题A1：普通笔记本每本4元，先买15本，花了多少元？

简化后问题A2：80元减去花掉的钱，剩下多少元？

简化后问题A3：剩下的钱，每8元买一本典藏版，能买几本？

学生小组合作：

1.2.分析数量关系：在学习单上，尝试用自己喜欢的方式（画图、文字）表示题意。教师巡视，引导用线段图。

[总预算80元]

|——————？元——————|——————？元——————|

(15本普通笔记本总价)(典藏版笔记本总价)

每本4元每本8元

2.3.分步计算：4×15=60（元）

，80-60=20（元）

，20÷8=2（本）……4（元）

。讨论余数的意义（不够买一本）。

3.4.列综合算式：关键一步。教师提问：“能不能把‘80-4×15’这个结果，直接除以8？”引导学生写出：(80-4×15)÷8

。计算：=(80-60)÷8=20÷8=2……4

。

4.5.聚焦核心：教师将问题A进一步简化，引出本课纯粹的新知类型：

问题B：如果直接用80元买一种笔记本，每本4元，店长又额外追加了5元经费，现在总共有多少元？

1.5.6.分步：80÷4=20（元）

，20+5=25（元）

。

2.6.7.挑战：谁能列出综合算式？80÷4+5

。

3.7.8.关键讨论：这个算式怎么算？先算80÷4

还是先算4+5

？为什么？

4.8.9.学生辩论：鼓励不同想法的学生阐述理由。支持先算4+5

的可能会受从左往右顺序影响；支持先算80÷4

的可以回到问题B情境中解释：“要求总钱数，必须先知道80元原本能买笔记本后实际换来了多少现金（即80÷4的结果），再加上追加的5元。”

5.9.10.模型连接：教师引导学生与导入环节的5×3+4

进行类比：“乘法是先求几个几的‘整体’，除法是先求一个数里包含几个几的‘整体’。只要是求这个‘整体’，在混合运算中就需要先算。”从而得出：80÷4+5=20+5=25

，先算除法。

11.探究活动二：除法与减法的混合

问题C：小芳用100元买了5个同样的文创笔袋，找回20元。每个笔袋多少钱？

1.12.学生尝试：这是逆向问题。分步：100-20=80（元）

，80÷5=16（元）

。综合算式：(100-20)÷5

。这里需要小括号，教师可指出这是下节课的重点，但学生可以初步接触。

问题D（新知类型）：每个笔袋16元，小芳付了100元，买了一个笔袋后，应该找回多少元？

2.13.学生独立解决：分步：100-16=84（元）

。这实际是一步计算。教师修改问题，强化混合运算。

问题D1：每个笔袋16元，小芳有100元，买了5个同样的笔袋后，还剩多少元？

3.14.小组竞赛：看哪个小组能最快用两种方法解决（分步和综合）。

1.4.15.方法1（先乘后减）：16×5=80（元）

，100-80=20（元）

。综合：100-16×5

。

2.5.16.方法2（先除再减？）：有学生可能错误列出100÷5-16

。教师引导学生辨析其数量关系的错误：“100÷5

表示把100元平均分给5个笔袋，这不符合‘总价=单价×数量’的关系。”此辨析至关重要。

问题D2（纯除法与减）：小芳有100元，她先拿出40元买了些别的东西，剩下的钱想买5个同样的钥匙扣，每个钥匙扣最多多少元？

6.17.列式探究：(100-40)÷5

，再次涉及小括号。教师出示：100-40÷5

。提问：“如果不加括号，这个算式表示什么意思？”通过计算40÷5=8

,100-8=92

，发现与题意不符。从而强调：当需要先算减法后算除法时，必须请“小括号”来帮忙（为下节课伏笔）。然后引出本课标准式：减法在前，除法在后时，如100-48÷6

，又该怎么算？

7.18.抽象概括：出示算式100-48÷6

。让学生脱离情境，只根据运算符号讨论顺序。联系前面的结论，达成共识：除法也要先算。

【归纳总结，形成规则】

1.引导学生观察今天遇到的所有新算式：80÷4+5

，100-48÷6

。

2.提问：这些算式里都有哪些运算？它们的运算顺序是怎样的？

3.学生用自己的语言总结。

4.教师呈现精准结语：在一个算式中，如果既有除法，又有加法或减法，应该先算除法，再算加法或减法。这叫做“先乘除，后加减”。

5.深化理解：为什么“先乘除”？引导学生回归“整体量”思想：乘、除法都是先求出一个“整体的结果”（如总价、份数、每份数），加、减法是在这些整体量之间进行合并或比较。

【设计意图】本环节是突破重难点的核心。通过从复杂情境中剥离出标准数学问题，让学生在解决真实问题的过程中，自己“发现”运算顺序的必要性。重点经历了“情境感知—操作体验—抽象概括—符号表达”的完整认知过程。通过正例、反例、变式的辨析，特别是对错误列式的深度讨论，使学生对数量关系的理解与运算顺序的掌握融为一体，规则记忆建立在深刻理解之上。

第三环节：巩固应用，分层深化（预计时间：15分钟）

设计三层练习，实现从“掌握规则”到“内化理解”再到“灵活应用”的飞跃。

1.基础层：计算工坊——规则内化

1.2.说说下列算式的运算顺序，再计算。

64÷8+12

56-42÷7

15+36÷9

22÷2-5

2.3.火眼金睛：下面的计算对吗？如果不对，请改正。

45-20÷5=25÷5=5

（错误，先除后减）

16÷2+8=8+8=16

（正确）

【设计意图】巩固运算顺序的自动化技能，通过改错强化易错点。

4.综合层：小店参谋——学以致用

请根据“校园文创小店”的情境，选择合适的算式解决以下问题。

1.5.一盒彩笔有6支，营业员阿姨把2盒彩笔和单卖的4支彩笔打包成一个“绘画套装”。这个套装里一共有多少支彩笔？

A.6×2+4

B.6+4×2

C.(6+4)×2

2.6.一天营业结束，小店共收入120元。下午收入是上午的2倍。下午收入多少元？（提示：画线段图分析）

1.3.7.学生尝试列综合算式：120÷(2+1)×2

或分步。

4.8.（开放题）请你为小店设计一个包含“除法与加法或减法混合运算”的采购或销售问题，并写出算式考考你的同桌。

【设计意图】在情境中应用，特别是开放题的设计，让学生从“解题者”变为“命题者”，深度内化数量关系与运算之间的关联。

9.拓展层：思维冲浪——挑战自我

1.10.在○里填上“>”、“<”或“=”。

72÷9+3○72÷(9+3)

（对比有无括号的区别）

50-30÷5○(50-30)÷5

2.11.数字谜：□÷6+15=23

，□=?

3.12.联系生活：你的家庭生活中有哪些情况可以用到今天学习的混合运算来解决？举例说明。（如：全家聚餐，计算人均消费；购物后的找零计算等）

【设计意图】拓展题指向思维深度和广度，第1题渗透括号的作用，第2题涉及逆推思维，第3题促进数学与生活的连接，培养应用意识。

第四环节：总结反思，拓展延伸（预计时间：5分钟）

1.知识梳理：通过思维导图或知识树的形式，师生共同总结本课所学。

1.2.中心词：除法与加减法的混合运算。

2.3.分支一：运算顺序（先算除法，再算加减）。

3.4.分支二：为什么这样算？（为了先求出“整体量”）。

4.5.分支三：怎么用？（分析数量关系，画图帮助理解，先想后算，自觉检验）。

6.学习评价：发放课堂学习自评表，让学生从“知识掌握”、“参与程度”、“合作交流”、“我的疑问”几个方面进行星级自评。

7.延伸预告：今天，我们遇到了像(100-40)÷5

这样需要先算加减法的情况，我们用语言说明了，但算式里怎么体现呢？下节课，我们将请来一位重要的数学朋友——“小括号”，它能让运算顺序变得更加清晰！请大家预习课本相关内容。

8.情感升华：表扬所有“小店运营官”的出色工作，鼓励他们将数学的眼光带到生活中，发现和解决更多有趣的问题。

【设计意图】总结不是简单的重复，而是结构化、系统化的提升。评价环节关注过程与元认知。延伸预告既总结了本课的局限，又激发了后续学习的好奇心，形成知识链条。

七、板书设计（结构化、思维可视化）

主板：

除法与加减法的混合运算

——先求“整体”，再合并或比较

情境：校园文创小店

探究：

问题B：80÷4+5=20+5=25（元）

问题D2变：100-48÷6=100-8=92（元）

┌─────────────────────┐

│运算顺序：先算除法，再算加减。│

│（先乘除，后加减）│

└─────────────────────┘

理据：除法是先求出一个“整体量”。

练习区：（随讲随写关