初中九年级数学《三角形相似判定定理三：边边边》教案

初中九年级数学《三角形相似判定定理三：边边边》教案

一、教材分析

本课时选自北京师范大学出版社九年级上册第四章《图形的相似》第四节《探索三角形相似的条件》。第四章是初中阶段“图形与几何”领域中对“图形全等”的延伸与深化，更是后续学习锐角三角函数、圆中相似综合问题及平面直角坐标系中位似图形的核心基石。第3课时“三边成比例”作为三角形相似判定的最后一个基本定理，与前两课时的“两角分别相等”（AA）【非常重要】、“两边成比例且夹角相等”（SAS）【重要】共同构成了完整且严密的相似三角形判定体系。从教材纵向逻辑看，本课从边长的纯数量关系切入，引导学生剥离角的干扰，仅借助三组比值的一致性判断图形形状，是对学生数感、量感与几何直观的综合淬炼；从横向联系看，它与全等三角形的“边边边”公理形成鲜明类比，蕴含了从特殊（比值为1）到一般（比值为任意正数）的数学思想。教材例4的设计旨在直接套用定理，例5则结合网格计算与比例转换，意在强化对应关系的确认；本节内容在中考试卷中通常以中等难度题呈现，可直接作为选择题、填空题的考点，亦常与相似性质、方程思想融合于压轴题的几何证明中【高频考点】。

二、学情分析

九年级学生已系统学习了全等三角形的判定与性质、比例线段及其基本性质，并经历了本章前两课时从实验操作（度量、叠合）到逻辑论证的完整过程，初步形成了“判定几何关系需要满足特定条件”的严谨意识。学生对于利用网格计算线段长度、利用比例式进行推理已有一定经验。然而，本课时的定理证明存在显著思维跃升：前两个定理均可直接利用定义或平行线分线段成比例进行推导，而定理三“SSS”则需要构造全等三角形作为过渡媒介，这是学生首次面对“通过将未知相似转化为已知全等”的综合性证明任务，对辅助线作法、等量代换的能力要求极高，属于本节课的核心思维障碍【难点】。此外，部分学生容易混淆全等中的“SSS”与相似中的“SSS”，误以为只需任意两组边成比例即可判定相似，或在书写对应关系时出现顶点错位，这些均需在教学中通过对比辨析与反例强化加以矫正【易错点】。

三、教学目标

（一）知识与技能：准确记忆三角形相似判定定理三的文字语言与符号语言；能熟练运用“三边成比例”判定两个三角形相似，并能进行简单的证明与边长计算；理解相似与全等在判定条件上的统一性。

（二）过程与方法：通过测量、计算、观察、归纳，经历从特殊数据到一般定理的合情推理过程；在定理证明中，掌握“截长法”构造全等三角形的策略，体会转化思想与类比思想；在网格作图与变式训练中，提升几何直观与数学建模能力。

（三）情感态度与价值观：在小组互助攻克证明难关的过程中，培养逻辑思维的坚韧性与表达的逻辑性；通过动态几何软件的演示，感受数学内部的和谐统一，激发探索几何规律的持久兴趣。

四、教学重难点

（一）教学重点：三角形相似判定定理三的理解、表述及其直接应用【非常重要】【高频考点】。

（二）教学难点：定理的演绎证明，即如何通过添加辅助线将相似关系转化为全等关系进行推证【难点】。

（三）教学关键点：引导学生发现“全等是相似比等于1的特例”，并主动类比全等SSS的证明思路；精准识别对应顶点与对应边。

五、教学方法与策略

本节课秉持“以生为本，以疑为诱，以思为核”的设计理念，采用“大问题驱动—小梯度突破”的教学策略。融合启发性讲授、小组合作探究、几何画板动态演示及分层练习反馈等多种方法。教师的角色定位为“认知冲突的制造者”与“思维攀升的支架搭建者”，通过精心预设的反例与变式，倒逼学生从机械套用走向深度理解。学法指导上，着重训练学生“读图—标图—算比—判断”的操作流程，并在小组交流中强制要求使用规范的几何语言描述比例关系。

六、教学准备

（一）教具：几何画板课件（预设三边同步伸缩、比值恒定下的角不变动态演示）；磁性三角形纸板模型（边长分别为3、4、5与6、8、10）；刻度尺；量角器。

（二）学具：直尺、圆规、网格作图纸、小组探究记录单（含三组不同比例的三角形边长数据表）、双色笔。

七、教学实施过程（核心环节）

（一）温故对比，聚焦核心问题

1.课前检测与定向激活

上课伊始，教师迅速出示两组判断任务：第一组，给出△ABC与△DEF满足∠A=∠D=60°，AB/DE=AC/DF=2，要求学生口答判定定理及结论；第二组，给出三边具体数值△ABC（3,4,5），△DEF（6,8,10），不给出任何角度信息。教师提问：“现在没有任何角的度数，只有三条边的长度，你还能判断它们是否相似吗？”多数学生会凭借直觉回答“是”，教师追问：“你的依据是什么？数学中能否仅凭数据感觉下结论？”以此制造认知冲突，自然引出本节课的核心任务——探寻仅从三边数量关系判定相似的充要条件。【基础】

2.板书课题

教师在黑板正上方书写：“4.4.3三角形相似的判定——三边成比例”，并标注“SSS”类比符号。

（二）实验感知，归纳共性规律

1.网格初探，量化聚焦

利用多媒体呈现教材引例：4×4网格中格点△ABC与格点△DEF，各顶点均在格点上。学生独立计算AB、BC、AC、DE、EF、DF的长度（均为整数或简单二次根式）。小组交流计算结果，学生迅速发现AB/DE=BC/EF=AC/DF=1/2。教师顺势提问：“从边的角度看，这两个三角形满足了什么共同特征？”学生归纳出“三组对应边的比值相等”。

2.操作确认，扩大样本

学生以四人小组为单位，利用学具中的6组三角形卡片（边长均按整数倍放大或缩小，涵盖锐角、直角、钝角三角形），分别测量三个内角的度数，并计算对应边的比值。教师巡视，指导学生将测量数据填入记录单，重点关注比值相等的组别中对应角是否相等。各组汇报数据：当三边比值相等时，三个对应角均分别相等；当三边比值不完全相等时，角不相等。几何画板同步动态演示：教师任意改变△ABC的边长，系统自动生成与其三边保持固定比值（如1.5）的△DEF，并实时显示对应角的度数始终保持一致，且三角形形状不变。学生从大量具体实例中确信：三边成比例是三角形相似的充分条件。【非常重要】【热点】

3.文字与符号抽象

师生共同提炼定理：三边成比例的两个三角形相似。符号语言：在△ABC与△DEF中，若AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。教师强调“对应顶点写在对应位置”，并举例错误对应（如AB/EF）会带来的后果。

（三）演绎证明，攻坚逻辑堡垒

1.认知冲突与转化策略

教师提出问题：“刚才我们通过测量与动态演示，确信了这个结论。但在数学中，度量不能代替证明。我们如何用已经学过的相似判定定理或全等知识来证明它？”学生陷入沉思。教师引导回顾：“全等三角形‘边边边’公理是怎么证明的？——它是作为公理直接承认的。今天这个定理，我们要想办法把它和已知的知识挂钩。”少数优等生提出：“可不可以把大三角形切掉一块，使它和小三角形全等？”教师高度肯定这一想法，并板书核心思路——“截长法”。【难点】【非常重要】

2.分步板演，严密封锁逻辑漏洞

教师板书已知、求证，并带领学生完整经历证明过程。

已知：如图，△ABC与△DEF中，AB/DE=BC/EF=AC/DF。

求证：△ABC∽△DEF。

证明（设AB/DE＞1，即AB＞DE）：

（1）在线段AB上截取AM=DE，在线段AC上截取AN=DF，连接MN。

（2）∵AM=DE，AN=DF，且AB/DE=AC/DF，

∴AB/AM=AC/AN（等量代换）。

又∵∠A=∠A，

∴△AMN∽△ABC（两边成比例且夹角相等）。

∴MN/BC=AM/AB=DE/AB=1/k（设k=AB/DE）。

（3）由AB/DE=BC/EF，得BC/EF=AB/DE=AB/AM。

∴EF=BC·AM/AB=BC·DE/AB=BC/k。

又∵MN=BC/k（由MN/BC=1/k），

∴MN=EF。

（4）在△AMN与△DEF中，

AM=DE（作图），

AN=DF（作图），

MN=EF（已证），

∴△AMN≌△DEF（SSS）。

（5）由△AMN∽△ABC且△AMN≌△DEF，得△DEF∽△ABC。

证明过程中，教师每写一步均追问“这一步的依据是什么”，特别强调“如何由比例式推出线段相等”以及“全等之后如何过渡到相似”。学生跟随教师思路在草稿纸上独立复演，并同位互讲逻辑链条。

3.方法归纳与类比强化

证明完成后，教师引导学生提炼：此证法的核心是“构造一个中介三角形，使其既与大三角形相似，又与小三角形全等”。这一思想称为“化未知为已知”的转化思想。同时指出，若AB＜DE，只需将截取改为在DE上截取，本质相同。此外，教师简要提及“补短法”思路，激发学有余力学生课后探索。

（四）范例导学，规范表达程序

1.例1——直接判定，强化对应

出示例题（1）：△ABC三边长为6，8，10；△DEF三边长为3，4，5。教师引导学生按“排顺序—找对应—算比值—下结论”四步操作。学生先分别将两个三角形的边长按从小到大排列，确认对应关系后计算比值均为2，于是△ABC∽△DEF，相似比2:1。教师板演规范书写格式，强调“∽”符号的书写及相似比的标注位置。【高频考点】

变式（2）：△ABC三边长为4，5，6；△DEF三边长为8，10，12。学生独立完成，一名学生板演。针对学生可能出现的“对应边顺序错乱”问题，教师引导学生发现：只要比值相等，即使顺序不是从小到大，只要能找到一组对应使三组比一致即可，但通常按大小顺序对齐最保险。

反例呈现：△ABC三边为3，4，5；△DEF三边为4，5，6。学生迅速计算比值：3/4=0.75，4/5=0.8，5/6≈0.833，比值不全相等，不相似。教师借机强调：“必须三组比值都相等，一组不等即不相似。”【易错点】

2.例2——网格背景，融合勾股

呈现4×4网格，格点△ABC与格点△DEF，顶点均不在同一直线上。学生独立计算各边长度（需用勾股定理求斜边），发现三边对应比值均为√2，从而判定相似。教师引导学生总结：网格是提供边长计算的绝佳载体，当三边均为有理数或二次根式时，需仔细化简比值。

（五）变式串联，提升应用层级

1.逆向应用——由相似求边长

例3：已知△ABC∽△DEF，AB=8，BC=10，AC=12，且△DEF的最短边为6，求△DEF的另两边长及周长。

学生通过分析确定：最短边对应最短边，AB=8对应DE=6，得相似比4:3。进而计算EF=10×3/4=7.5，DF=12×3/4=9，周长=6+7.5+9=22.5。教师追问：“周长比等于相似比，你能验证吗？”学生计算原三角形周长30，新三角形周长22.5，比值4:3，从而归纳出重要推论：相似三角形周长比等于相似比。【重要】【高频考点】

2.开放条件——补充判定依据

例4：在△ABC与△DEF中，AB/DE=BC/EF，请添加一个条件使△ABC∽△DEF，并说明理由。

学生可能添加：①∠B=∠E（依据SAS）；②AC/DF=AB/DE（依据SSS）。教师组织辩论：“哪个条件更直接？两种添加方式分别对应哪个判定定理？”通过对比，学生明确：SSS是直接从边切入的判定，无需涉及角的信息。此环节有效打通了不同判定定理之间的联系，避免学生将判定方法孤立记忆。

3.实际建模——测量方案设计

例5（情境题）：如图，为测量池塘宽度AB，在池塘外取一点C，测得AC=50m，BC=60m，AB=80m。另取点D、E，使CD=25m，CE=30m，且D、E分别在CA、CB的延长线上，测得DE=40m。请判断△ABC与△DEC是否相似，并说明理由；若相似，请计算池塘宽AB与实际测量值DE的关系。

学生读题后，通过绘制示意图发现，△ABC与△DEC具备公共角∠C，但题目并未给出角相等，因此无法使用SAS；转而验证三边比值：AC/DC=50/25=2，BC/EC=60/30=2，AB/DE=80/40=2，三组比均为2，故△ABC∽△DEC（SSS），进而获得AB=2DE。教师引导学生反思：实际问题中，有时角不易测量而边长容易获取，此时SSS判定具有独特的实用价值。【热点】【应用意识】

（六）即时诊断，分层巩固反馈

1.限时独立演练（8分钟）

（1）在△ABC与△A′B′C′中，AB=12，BC=15，AC=18；A′B′=8，B′C′=10，A′C′=12，则△ABC与△A′B′C′。（填“相似”或“不相似”），相似比为。

（2）一个三角形三边长分别为5，12，13，与它相似的三角形最短边为15，则另两边长分别为______，______。

（3）判断题：所有等边三角形都相似。（）【基础】

（4）在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求证：△DEF∽△ABC。

2.小组互批与重点讲评

教师通过实物展台展示典型错误，尤其是第（4）题部分学生直接写“三边对应成比例”而未给出比例推导过程。教师强调：中点连线（中位线）平行于底边且等于底边一半，从而得到各边比值均为1:2，必须呈现这一推导。此外，针对第（3）题，学生极易判断为正确，教师请学生阐述理由：等边三角形各边相等，任意两个等边三角形对应边比值均为同一常数，因此必相似。【高频考点】

（七）课堂小结，网状知识建构

1.师生对话梳理

教师围绕三个层面引导学生总结：

知识层面：本节课我们学习了三角形相似的第三种判定方法——三边成比例。它与AA、SAS一起构成了三角形相似判定的完整工具包。学生齐读三种判定的符号语言。

方法层面：证明SSS定理时，我们使用了“截长构造全等”的转化策略；应用定理时，必须执行“一排序、二计算、三判断”的程序，严防对应顶点混乱。

思维层面：从全等SSS到相似SSS，体现了数学从特殊到一般的推广；将未知相似问题转化为已知全等问题，是化归思想的具体载体。

2.易错点再强化

教师通过口述反例：“若AB/DE=BC/EF，但AC/DF不等于这个比值，能否判定相似？”学生齐答“不能”。教师再次强调三组边缺一不可。【高频错点】

（八）作业布置，兼顾基础与探究

1.巩固性作业（全员必做）

教材第98页习题4.7第1题、第2题、第3题。要求书写完整判定过程，标注对应顶点。

2.拓展性作业（选做）

在5×5网格中设计两个格点三角形，使它们的三边对应成比例，且相似比为√5:1，画出图形并说明理由。

3.探究性作业（学优生挑战）

尝试用“补短法”证明三角形相似的SSS定理：在小三角形上分别延长两边，使延长后的线段与大三角形对应边相等，连接顶点构造全等三角形。写出完整的已知、求证及证明过程。

八、板书设计

黑板版面