2025年上海七宝中学高二（下）数学5月月考卷含答案

2024-2025学年上海市七宝中学高二年级下学期5月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填1.已知某个随机变量的分布该分布是等可能分布，则p1的值为.2.已知离散型随机变量ζ的分布为=.3.已知随机变量X，Y，若Y=2X+4，且D(Y)=16，则D(X)4.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.4，P(B)=0.7，则P(A∩B)=.5.某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则P(BA)等于.则图中阴影部分的面积为.7.在一个口袋中放有m个白球和n个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为小数点后保留一位小数）8.已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为若P且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为.9.某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动.组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为P，则P=.10.已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若P且一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M(—1,0)位置的条件下，水平方向移动2次的概率为.12.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2，且满足p1=每局之间相互独立．记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E(X)=16，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为.每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件中仅有2件次品的概率为()A.B.C.D.14.某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为()A.0.24B.0.36C.0.8D.0.1615.研究变量x，y得到一组成对数据(xi,yi)，i=1,2,...,n，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据xi=再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是()A.变量x与变量y的相关性变强B.相关系数r的绝对值变小C.线性回归方程不变D.拟合误差Q变大16.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出*)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着**)的增加，下列说法正确的是()*A.Eξ增加，Dξ增加B.Eξ增加，Dξ减小C.Eξ减小，Dξ增加D.Eξ减小，Dξ减小三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规17.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张.（1）若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率；（2）若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立.18.福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品.（1）设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望；（2）若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差.19.某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据(i=1,2,...,12)，该团队建立了两个模型：①y=α+βx2；②y=eλx+t，其中α,β,λ,t均为常数，e为自然对数的底数.xy2066770200uv4604.2031250000.30821500（1）设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型：（2i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01（ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01）)，样本相关系数回归直线y=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：20.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n(1<n<19)格的概率为Pn，试证明{Pn-Pn-1}是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值.21.已知函数=-alnx-x（1）当a=1时，求函数图像在点(1,f(1))处的切线方程；（2）若函数y=f(x)在[3,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数y=f(x)有两个不同的极值点x1，x2，其中x1>x2，且不等式f(x1)<kx2恒成立，求实数k的取值范围.2024-2025学年上海市七宝中学高二年级下学期5月月考数学试卷一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填1.已知某个随机变量的分布该分布是等可能分布，则p1的值为.【答案】【解析】【分析】根据分布列的性质及等可能性即可求解.即可解出p1=p2=p3=故答案为：.2.已知离散型随机变量ζ的分布为=_____.7【答案】8【解析】【分析】根据分布列性质求a，再由互斥事件概率和公式求解即可.故答案为：3.已知随机变量X，Y，若Y=2X+4，且D(【答案】4【解析】【分析】利用方差的线性关系公式来求解即可.故答案为：44.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.4，P(B)=0.7，则P(A∩B)=.【答案】0.42##【解析】【分析】根据独立事件和对立事件的概率公式计算可得答案【详解】由事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)=(1-P(A))P(B)=(1-0.4)×0.7=0故答案为：0.42.5.某个班级有42名学生，其中男生25名，女生17名，男生中有18名团员，女生中有10名团员.在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则P(BA)等于.【答案】【解析】【分析】应用条件概率公式求概率即可.【详解】由题设所以 故答案为：则图中阴影部分的面积为.【答案】0.3##【解析】【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】随机变量X的概率分布密度函数2πe-故图中阴影部分的面积为0.5-0.2=0.3.故答案为：0.37.在一个口袋中放有m个白球和n个红球，这些球除颜色外都相同，某班50名学生分别从口袋中每次摸一个球，记录颜色后放回，每人连续摸10次，其中摸到白球的次数共152次，以频率估计概率，若从口袋中随机摸1个球，则摸到红球概率的估计值为小数点后保留一位小数）【答案】0.7【解析】【分析】以频率估计概率，直接运算求解即可.【详解】由题意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次数共152次，摸到红球的次数共348次，所以摸到红球概率的估计值为»0.7.故答案为：0.78.已知在12件产品中可能存在次品，从中抽取2件检测，设次品数为若P且该产品的次品率不超过40%，则这12件产品的次品率为.【答案】25%【解析】【分析】先根据列式求出x，进而可求出次品率.【详解】设这12件产品中的次品数为故这12件产品的次品率为=25%.故答案为：25%.9.某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的旅客都可以参与抽奖活动.组织方准备了20个盲盒，其中有6个盲盒内有奖品.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为P，则P=.【答案】【解析】【分析】利用条件概率和全概率公式计算.【详解】设事件A为“抽奖者甲中奖”，事件B为“甲先选中的盲盒有奖”，在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余18个盲盒中有5个奖品，甲更换盲盒后P(AB)=，若甲先选中的盲盒无奖，则剩余18个盲盒中有6个奖品，则甲更换盲盒后P(AB)故答案为：.10.已知随机变量X，Y均服从伯努利分布，且X，Y的取值为0或1.若P(X=1)=P(Y=1)=，且【答案】【解析】P(X=0,Y=0)的概率，即可得.【详解】因为随机变量X，Y均服从0-1分布，且P将③代入①可得：P将③代入②可得：P故答案为：11.2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点M(-1,0)位置的条件下，水平方向移动2次的概率为.【答案】【解析】【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解.【详解】设事件A=“有且仅有一次经过M(-1,0)”，事件B=“水平方向移动2次”，按到M(-1,0)位置需要1步，3步分类讨论.①若1步到位为事件A1，则满足要求的是LU（L或U或RLL（L或U或DLD（L或R或D②若3步到位为事件A2，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL所以；所以P满足AB的情况有：LU（L或RLD（L或RLL（U或DLR（U或D）.所以所以 12.某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲、乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．若甲、乙两人每局获胜的概率分别为p1,p2，且满足p1=每局之间相互独立．记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，若E(X)=16，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为.【答案】27【解析】【分析】根据相互独立事件可得p=一3pp1p2，即可根据基本不等式得0<p1p2≤,进而结合二次函数的单调性求解0<p≤由二项分布的期望公式即可求解.【详解】解：不妨设每一轮训练通过的概率为p，则p=pp+Cp.(1p2).p2易知函数y=3x2+开口向下，对称轴，又每局之间相互独立，记甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X，所以X~B(n,p)，则甲、乙两人训练的轮数至少为27轮.故答案为：27每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件中仅有2件次品的概率为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型的概率计算公式即可得出.【详解】有2件次品的取法为CC=36，总取法为C0=120.则仅有2件次品的概率为.故选：A.14.某游戏玩家玩一款游戏，第一关通过的概率为0.6，在第一关通过的条件下，第二关通过的概率为0.4，则该玩家连续通过两关的概率为()A.0.24B.0.36C.0.8D.0.16【答案】A【解析】【分析】根据条件概率的计算公式求解即可.【详解】设第一关通过为A，第二次通过为B，故选：A.15.研究变量x，y得到一组成对数据(xi,yi)，i=1,2,...,n，先进行一次线性回归分析，接着增加一个数据=再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是()A.变量x与变量y的相关性变强B.相关系数r的绝对值变小C.线性回归方程y=x+不变D.拟合误差Q变大【答案】C【解析】【分析】由已知可得x=xn+1，y=yn+1，求出相关系数r，即可判断A，B选项，再利用回归直线方程过样本中心点可判断C选项，D利用残差平方和进行判断即可. 【详解】设变量x，y的平均数分别为x，y，可知新数据的样本中心点不变，仍为，(yi-)，则相关系数可知相关系数r的值不变，变量x与变量y的相关性不变，故A，B错误；对于C，因为，所以不变，且线性回归方程过样本中心点(x,y)，即，均不变，所以线性回归方程y=x+不变，故C正确；因为(xn+1,yn+1)即为样本中心点，即1=yn+1，可知残差平方和2不变，所以拟合误差Q不变，故D错误.故选：C.16.有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出*)个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着*)的增加，下列说法正确的是()*AEξ增加，Dξ增加B.Eξ增加，Dξ减小.C.Eξ减小，Dξ增加D.Eξ减小，Dξ减小【答案】C【解析】【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X~H(6,3,n)，可得出再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以Eξ=PDξ=1-P从而可判断出Eξ和Dξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n个球，含有红球个数X服从超几何分布，即X~H(6,3,n)，故从甲盒中取球，相当于从含有+1个红球的n+1个球中取一球，取到红球个数为ξ.随机变量ξ服从两点分布，所以Eξ=P，随着n的增大，Eξ减小；,随着n的增大，Dξ增大.故选：C.【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规17.一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机地抽取3次，每次抽取1张.（1）若抽取是放回的，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、c.求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率；（2）若抽取是不放回的，记事件A为第一次取出标记为1的卡片，事件B为第二次取出标记为2的卡片，判断事件A，B是否独立.）；（2）不独立，理由见详解【解析】【分析】（1）先根据古典概型，计算“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率，再由对立事件的概率求解即可；（2）列出样本空间，分别求出事件A,B及AB发生的概率，验证P(AB)与P(A)P(B)是否相等即可.【小问1详解】依题意，放回的随机地抽取3次，每次抽取1张共有3×3×3=27种结果，其中满足“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的(a,b,c)有：故“抽取的卡片上的数字a，b，c完全相同”的概率为，∴“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为【小问2详解】事件=2，故P因为P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件AB不相互独立.18.福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油.已知某工艺师制作出一件优秀作品的概率为，在某次福州纸伞的比赛中，该工艺师制作了4件作品.（1）设该工艺师制作的优秀作品数为X，求X概率分布列及期望；（2）若制作一件优秀作品得10分，制造一件不合格品扣5分，求该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差.【答案】（1）分布列见解析，（2）4；216【解析】【分析】（1）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出期望.（2）求出比赛中得分Y与X的关系，再利用期望、方差的性质求解.【小问1详解】依题意，制作一件优秀作品的概率为，该工艺师制作4次，其中优秀作品数为X，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X~B，所以X的分布列为：X01234P 625216625216625 625 625数学期望【小问2详解】所以该工艺师在本次比赛中得分的期望和方差分别为4和216.19.某芯片研究团队为制定下一年的研发投入计划，需要了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响，结合近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据(i=1,2,...,12)，该团队建立了两个模型：①y=α+βx2；②y=eλx+t，其中α,β,λ,t均为常数，e为自然对数的底数.xy2066770200,uv4604.2031250000.30821500（1）设{ui}和{yi}的相关系数为r1，{xi}和{vi}的相关系数为r2，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型：（2i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01（ii）若下一年销售额y需达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元?（结果精确到0.01）)，样本相关系数回归直线y=x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【解析】【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数的绝对值大小得出结论；（2i）y=eλx+t两边取自然对数，转化为线性回归方程求解，再转化为指数式即可；（ii）根据（i）的结论预测销售额y达到80亿元时研发投入即可得解.【小问1详解】则从相关系数的角度，选择模型②y=eλx+t的拟合程度会更好.【小问2详解】（i）由（1）得r2≈0.91，模型②y=eλx+t，可建立v关于x的线性回归方程，则lny=+t，又λ=≈0.018，要使下一年销售额y达到80亿元，即80=e0.02x+3.84，e4.3820≈80，故下一年销售额y达到80亿元，预测下一年的研发资金投入量x是27.1亿元.20.某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布N(μ,σ2)，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973，P(μ-（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券3万元.已知硬币出现正、反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第20格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次.若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到k+1若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到k+2直到遥控车移到第19格（胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束.设遥控车移到第n(1<n<19)格的概率为Pn，试证明{Pn-Pn-1}是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值.（2）0.81863）证明见解析，期望值为万元【解析】【分析】（1）利用每个矩形的中点值与频率之积求和即为平均值；（2）利用正态分布曲线的3σ区间来求解对应区间的概率即可；（3）利用数列的递推思想来研究概率值