2023年上海杨浦区高二（下）期末数学试题含答案

杨浦区2022学年第二学期高二年级数学期末区统考2023.6一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.抛物线y2=4x的焦点坐标是.2.抛掷一颗质地均匀的正方体骰子，得点数6的概率是.3.半径为1厘米的球的表面积为平方厘米.4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AB与A1C1所成角的大小是.225.双曲线1的两条渐近线方程分别是_____________.)为圆心，且经过M(2,3)的圆的方程是.7.如图，靶子由一个中心圆面I和两个与I同心的圆环II、III构成，射手命中I、II及III的概率分别为0.35、0.30及0.25.则不命中靶的概率为.8.“若直线a|平面α,直线b在平面α上，则直线a|直线b”是命题（填“真”或“假”）.9.已知一个圆锥的体积为3π,高为3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是.②P(A∩B)=0.12；③P(AB)=0.7；④P(A∩B)其中正确的式子是.（填序号）11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，线段A1B、B1C和C1A是该正三棱柱的三条面对角线，直线l与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是（写出所有可能的值）.12.已知数列a1，a2，a3，...，a101的各项均为正整数，其中a1=a101=4999，对于每个正整数为相同的正整数，则a100的值是_____________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，与AB相等的向量是()14.如图，已知球O的半径为5，球心O到平面α的距离为3，则平面α截球O所得的小圆O1的半径长 A.2B.3C.32D.415.下列命题：①底面是正多边形的棱锥是正棱锥；②各侧棱的长都相等的棱锥是正棱锥；③各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.316.小李购买了一盒点心，点心盒是长方体，长、宽、高分别为30厘米、20厘米和10厘米，商家提供丝带捆扎服务，有如图所示两种捆扎方案（粗线表示丝带）可供选择，免去手工费，但丝带需要按使用长度进行收费.假设丝带紧贴点心盒表面，且不计算丝带宽度以及重叠粘合打结的部分.为了节约成本，小李打算选择尽可能使用丝带较短的方案，则小李需要购买的丝带长度至少是()A.80厘米B.100厘米C.120厘米D.140厘米三、解答题17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=4，a6=-32.（1）求公比q的值；（2）求S5的值.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）若l1|l2，求l1与l2之间的距离；（2）若l1与l2的夹角大小为arccos求直线l2的方程.19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）某校高二年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人.为了了解全年级学生上学花费时间（分）的信息，按照分层抽样的原则抽取了样本，样本容量为20，并根据样本数据信息绘制了茎叶图和频率分布直方图.由于保存不当，茎叶图中有一个数据不小心被污染看不清了（如图频率分布直方图纵轴上的数据也遗失了.（1）根据茎叶图提供的有限信息，求频率分布直方图中x和y的值，指出样本的“中位数、平均数、众数、方差、极差”中，哪些已经能确定，并计算它们的值；（2）通过对样本原始数据的计算，得到男生上学花费时间的样本均值为30（分女生的样本均值为27.75（分试计算被污染的数值，并根据样本估计该年级全体学生上学花费时间的“中位数、平均数、方差”.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，高为2，点M是棱CC1上一个动点（点M与C，C1均不重合）.（1）当点M是棱CC1的中点时，求证：直线AM丄平面B1MD1；（2）当D1M丄AB1时，求点D1到平面AMB1的距离；（3）当平面AB1M将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1分割成体积之比为1:2的两个部分时，求线段MC的长度.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）如图，已知点A(,1)是椭圆上的一点，顶点C(-2,0).（1）求椭圆Γ的离心率；（2）直线BD交椭圆Γ于B、D两点（B、D与A不重合若直线AB与直线AD的斜率之和为2，直线BD是否过定点？若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.（3）点E、点G是椭圆Γ上的两个点，圆I:2+y2=r2是ΔCEG的内切圆，过椭圆Γ的顶点M(0,b)作圆I的两条切线，分别交椭圆Γ于点P和点Q，判断直线PQ与圆I的位置关系并证明.参考答案一、填空题7.0.108.假9.arccos12.490012.【答案】4900i1显然，a1边满足上式.d1又a51二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）15.【答案】A【解析】是正棱锥必须满足两个条件1）底面是正多边形（2）过顶点作底面垂线，垂足为底面正多边形中心.故选A三、解答题318.解（1）因为l1|l2，所以m=2，l1与l2之间的距二.因为l1与l2的夹角大小为arccos所以解得得m=0，中位数、众数和极差可以确定，分别为：中位数为26.5（分众数为25（分极差为36（分）被污染的数值为5，样本平均数x=29.1（分样本方差s2=82.39，可估计该年级全体学生上学花费时间的中位数为26.5分，平均数为29.1分，方差为82.39.20.（1）证法一：因为AM=3,B1M=3,B1A=5，由勾股定理B1A2=B1M2+AM2，得AM丄B1M，同理可得，AM丄D1M，所以直线AM丄平面B1MD1；法二：如图，以A为原点，AB，AD，AA1的方向为x,y,z轴的正方向，所以直线AM丄平面BMD，设点，则可计算得设平面的法向量为=(u,v,w)，从而得到平面AMB1的一个法向量是，因为（3）解作MN平行于B1A，交CD于点N，连接AN，得截面B1ANM，可得VM-ABCN=， 所以线段MC的长度为-1+5.另解：连接B1M并延长，交BC的延长线于点P，连接PA，交CD于点N，连接MN，得截面AB,MN，因为平面NMC平行于三棱锥P-AB1B的底面AB1B，得棱台NMC-AB1B，V棱台NMC-AB1B=V棱锥P-AB1B-V棱锥P-NMC由函数y=h3和y=8h-8图像可知，点(2,8)是两个函数图像的一个交点，因式分解，可得(h-2)(h2+2h-4)=0，得h=2或h=-1+i5或h=-1-·i5，（2）当直线BD不垂直于x轴时.设直线BD的方程为y=mx+n，直线的方程为y-1=k(x-)，整理得(m-k)x=1-·i2k-n，整理得(2k22-2-4k)k2-n-m-1)=0理得n=1-2m--1，直线BD理得n=1-2m--1，直线BD的方程为y=mx+1-2m--1，2当直线BD垂直于x轴时，由椭圆的对称性可知， (2,直线BD的方程为x=-1+2，直线BD也过定点P|-1+2,