人教A版必修第二册高一下数学-期末检测试卷(二)

期末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，第1～10题只有一项符合题目要求；第11～13题，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)1.以下事件是随机事件的是()A.下雨屋顶湿 B.秋后柳叶黄C.有水就有鱼 D.水结冰体积变大2.在△ABC中，若A＝60°，C＝45°，c＝eq\r(3)，则a等于()A.1B.eq\f(3\r(2),2)C.eq\f(2\r(3),3)D.23.设复数z＝eq\f(2i,1＋i)(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()A.280B.320C.400D.10005.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(5)D.eq\r(6)6.已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A.(3，－2) B.(3,2)C.(－3，－2) D.(－3,2)7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中积水深9寸，则平均降雨量是(注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸)()A.3寸B.4寸C.5寸D.6寸8.在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角C为()A.钝角 B.直角C.锐角 D.60°9.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(2,9)10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(6),3)11.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是()A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D.“至少有一个黑球”与“都是红球”12.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是()A.|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))B.|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))C.|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))×\o(BA,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|2)13.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(1,2)，则下列结论中错误的是()A.AC⊥AFB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A－BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)14.在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人都不感冒的概率是________，两人中有人患感冒的概率是________.15.已知非零向量a，b满足|a|＝4|b|，且b⊥(a＋2b)，则a与b的夹角为________.16.某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________.17.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a＝b，c2＝2b2(1－sinC)，则C＝________.三、解答题(本大题共6小题，共82分)18.(12分)已知|a|＝4，|b|＝8，a与b夹角是120°.(1)求a·b的值及|a＋b|的值；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?19.(12分)如图，在三棱锥A－BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，AB＝AD，AE⊥BC.求证：(1)EF∥平面ACD；(2)AE⊥CD.20.(14分)在△ABC中，cos(A＋C)＝0，sinA＝eq\f(1,3).(1)求sinC的值；(2)设∠ABC的平分线与AC交于D，若AC＝3，求BD的长.21.(14分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：处罚金额x(单位：元)50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率.(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工.现对A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？22.(15分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3,4,5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者有被抽中的概率.23.(15分)如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F.设eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→))，求eq\f(1,p)＋eq\f(2,q)的值.答案1.C2.B3.A4.C5.D6.C7.A8.C9.A10.C11.AB12.ABD13.AD14.0.20.815.eq\f(2π,3)16.417.eq\f(π,4)18.解(1)由向量的数量积的运算公式，可得a·b＝|a||b|cos120°＝4×8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－16，|a＋b|＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(42＋82＋2×－16)＝4eq\r(3).(2)因为(a＋2b)⊥(ka－b)，所以(a＋2b)·(ka－b)＝ka2－2b2＋(2k－1)a·b＝0，整理得16k－128＋(2k－1)×(－16)＝0，解得k＝－7.即当k＝－7时，(a＋2b)⊥(ka－b).19.证明(1)因为在△BCD中，点E，F分别是BD，BC的中点，所以EF∥CD，又因为EF⊄平面ACD，CD⊂平面ACD，从而EF∥平面ACD.(2)因为点E是BD的中点，且AB＝AD，所以AE⊥BD，又因为AE⊥BC，BC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，BC∩BD＝B，故AE⊥平面BCD，因为CD⊂平面BCD，所以AE⊥CD.20.解(1)由cos(A＋C)＝0，得A＋C＝eq\f(π,2)，又由A＋B＋C＝π，所以B＝eq\f(π,2)，所以sinC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－A))＝cosA＝eq\f(2\r(2),3).(2)在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(1,3)，AC＝3，所以BC＝AC·sinA＝3×eq\f(1,3)＝1，在△DBC中，sin∠BDC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋A))＝eq\f(\r(2),2)(sinA＋cosA)＝eq\f(4＋\r(2),6)，由正弦定理得，eq\f(BD,sinC)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BD＝eq\f(BCsinC,sin∠BDC)＝eq\f(\f(2\r(2),3),\f(4＋\r(2),6))＝eq\f(8\r(2)－4,7).21.解(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)＝eq\f(40,200)＝eq\f(1,5)，不处罚时，某员工迟到的概率为eq\f(80,200)＝eq\f(2,5).∴当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低eq\f(1,5).(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，设“从A类与B类员工按分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6种，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6＝24(种)基本事件，设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4种基本事件，∴P(N)＝eq\f(4,24)＝eq\f(1,6)，∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是eq\f(1,6).22.解(1)第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10，因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组eq\f(30,60)×6＝3；第4组eq\f(20,60)×6＝2；第5组eq\f(10,60)×6＝1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人.(2)设“第5组的志愿者有被抽中”为事件A.记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种等可能情况.其中第5组的志愿者被抽中的有5种，P(A)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).答第5组的志愿者有被抽中的概率为eq\f(1,3).23.解(1)设eq\o(OM,\s\up6(→))＝xa＋yb，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x－1)eq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＝(x－1)a＋yb，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a＋eq\f(1,2)b，∵A，M，D三点共线，∴eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))共线，从而eq\f(1,2)(x－1)＝－y，①又C，M，B三点共线，∴eq\o(BM,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))共线，同理可得eq\f(1,3)(y－1)＝－x，②联立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(2,5)，))故eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)b.(2)∵eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OE